Локальная устойчивость упругого стержня в среде с постоянным сопротивлением
Автор: Смирнов П.Н.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 1 т.27, 2026 года.
Бесплатный доступ
В статье рассматривается анализ деформированной формы локальной потери устойчивости подкрепленного гибкого стержня, происходящей вследствие ограниченного расширения при нагреве. Множество упругих опор стержня моделируется как упругая среда, которая оказывает постоянное сопротивление продольным и поперечным перемещениям стержня. Стержень бесконечной длины разбивается на участок выпучивания и прилегающий участок сжатия. Длина участков неизвестна и подлежит определению в ходе решения. Часть потенциальной энергии, накопленной при сжатии, тратится на работу внутренних сил при изгибной деформации после потери устойчивости, что приводит к падению величины сжимающей силы на участке выпучивания. Задача поиска функций перемещения и критического значения безопасной температуры нагрева ставится в форме системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно деформаций на участках гибкого стержня. Решение производится методом конечных разностей, который переводит систему дифференциальных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система замыкается граничными условиями и условиями трансверсальности. Достаточное количество узлов сетки для составления разностной схемы определяется итерационной процедурой, которая сравнивает два соседних решения. Критерием сравнения является кортеж площадей под графиками искомых функций, которые вычисляются численным интегрированием методом трапеций. Полученное решение сравнивается с классическим решением задачи устойчивости аналогично нагруженного стержня, которое не учитывает продольных перемещений, и с известным решением из области эксплуатации длинномерных железнодорожных путей, не учитывающих сопротивление продольным перемещениям на участке выпучивания. Уточнение результатов, полученное предложенным модифицированным методом расчета параметров деформированной формы гибкого стержня, имеет важное значение для контроля предкритического состояния моделируемой системы.
Локальная потеря устойчивости, стержень в упругой среде, нелинейные деформации, метод конечных разностей
Короткий адрес: https://sciup.org/148333110
IDR: 148333110 | УДК: 539.3 | DOI: 10.31772/2712-8970-2026-27-1-82-94
Local stability of an elastic beam in a medium with constant resistance
This article deals with the analysis of the deformed shape of local stability loss of a reinforced flexible beam, occurring due to constrained expansion during heating. The multiple elastic supports of the beam modeled as an elastic medium, which provides constant resistance to both longitudinal and transverse displacements of the rod. The infinitely long beam divided into a buckling region and an adjacent region under compression. The lengths of these regions are unknown and should be determined during the solution process. A part of the potential energy accumulated during compression is expended on the work of internal forces during bending deformation following the loss of stability. This leads to a reduction in the magnitude of the compressive force in the buckled region. The problem of determining the displacement functions and the critical value of the safe heating temperature is formulated as a system of nonlinear differential equations concerning the deformations in the regions of the flexible beam. The solution obtained using the finite difference method, which transforms a system of differential equations into a system of linear algebraic equations. This system takes the closed form with boundary conditions and transversality conditions. A sufficient number of grid nodes for constructing the difference scheme determined through an iterative procedure that compares two adjacent solutions. The criterion for comparison of solutions is a tuple of areas under the graphs of the sought functions, which are calculated through numerical integration using the trapezoidal rule. The obtained final solution compared with the classical solution to the stability problem of an evenly loaded beam, which does not take into account longitudinal displacements. Additionally, it is contrasted with the known solution in the field of operation of continuously welded railway tracks, which also disregards resistance to longitudinal displacements in the buckled region. The refined results obtained by the proposed modified method for calculation of the parameters of the deformed shape of a flexible beam is important for monitoring the pre-critical state of the modelling system.
