Локальное определение коэффициентов универсальной деформации катастрофы А3

В настоящей работе рассмотрены первое и второе приближения для коэффициентов универсальной деформации катастрофы S = A3 - каустическое остриё («клюв»). Выражение для универсальной деформации этой особенности имеет вид:

F^= j (^ + X ^ + Y ^), (1)

где j = ± 1, а X и Y - коэффициенты универсальной деформации.

Рассмотрим фазовую функцию Ф ( п , а , в ) в окрестности особой точки с координатами ( а _о , в _о ) , в которой универсальная деформация имеет вид F _z = j ^ 4 . Справедливо тождество (см., например, [1; 2]):

ЛФ = Fz + j0 ,

в котором Л - большой параметр задачи ( Л >>1 как аргумент не рассматривается), а 0 ( а , в ) - фаза бегущей волны. Для упрощения вычислений введем функцию ц = j ЛФ . Тогда основное тождество приобретает вид:

ц ( п ( а , в ), а , в ) -^ 4 - X ( а , в )^⁴ - Y ( а , Ж - 0 ( а , в ) = 0 . (3)

Для определения коэффициентов X ( а , в ), Y ( а , в ) и фазы бегущей волны 0 ( а , в ) нами был разработан метод локальной асимптотики [2; 6; 7]. Следует отметить, что первое линейное приближение было ранее рассмотрено нами в работах [7–9] для случая, когда фазовая функция Ф зависит только от одного внутреннего параметра. Для случая, когда фазовая функция Ф зависит от двух внутренних параметров, линейное приближение было рассмотрено в работах [10–12]. Второе приближение к фазе бегущей волны рассматривалось в работах [13; 14]. В работе [14] было показано, что учёт только второго приближения для фазы 0 ( а , в ) недостаточно. Целесообразно также учитывать поправки второго порядка и для коэффициентов X ( а , в ), Y ( а , в ) . В данной работе рассмотрено как первое, так и второе приближение.

Найдем методом локальной асимптотики выражения для коэффициентов X ( а , в ), Y ( а , в ) и фазы 0 ( а , в ) .

Введем обозначения:

д k ц Цк = ^Т дп

( а о , в о )

d =dkn , k д^k

( а о , в о )

, ( k = 1, 2, …).

В первую очередь отметим, что (см. [6; 7]) в особой точке ц1 = ц2 = ц3 = 0, ц4 ^ 0 .

Учитывая (4), нетрудно установить, что для того, чтобы получить d ₁, необходимо продифференцировать тождество (3) в особой точке четыре раза по ^ , для определения d ₂ – пять раз и так далее.

Выполняя вычисления, находим (см. также [2; 6]):

d = d = 4В d2 =-—Ь-d2, d3 = fЬ. - ±ц6)d3,

• ¹ >4    2     10 Ц 4     3 1 400 ц 2 20 Ц 4 J

, _ ^{f 2} Ц 5 Ц 6      ⁶ Ц 3     ¹ Ц 7 ) ,4

Ua = d , ⁴ ( 25 ц 2     125 ц 4 35 ц ₄ J

• ^{f 9} Ц 5 Ц 7     ³ ц 6    ¹¹⁷ Ц 2 Ц б , ¹⁹⁸⁹ Ц 4     ¹ Ц ₈ ) _И5

• ds =++ d .               (6)

• ⁵ ( 140 ц 2     80 ц 2   800 ц 4     32000 ц 4   56 ц ₄ J

Таким образом, в формировании второго (квадратичного) приближения участвуют восемь производных исходной функции по внутреннему параметру. Для линей-

ВЕСТНИК РОСНОУ. Серия «Сложные системы …»

ного приближения необходимо пять производных, хотя универсальная деформация имеет четвертый порядок.

Пусть µ ₄ > 0 . Тогда из (6) находим, что j = sign Φ ₄ . Будем искать приближенные выражения для X ( α , β ), Y ( α , β ) и θ ( α , β ) в виде:

Y ( α , β ) ≅ Y α Δα+ Y β Δβ+ 1 2 ( Y αα ( Δα )² + 2 Y αβ ( ΔαΔβ ) + Y ββ ( Δβ )² ) ,

X ( α , β ) ≅ X α Δα+ X β Δβ+ 1 2 ( X αα ( Δα )² + 2 X αβ ( ΔαΔβ ) + X ββ ( Δβ )² ) , θ ( α , β ) ≅ θ ( α o , β o ) + θ α Δα + θ β Δβ + 1 2 ( θ αα ( Δα )² + 2 θ αβ ( Δα Δβ ) + θ ββ ( Δβ )² ) .    (7)

В формулах (7) индексами α и β обозначены соответствующие производные коэффициентов и фазы бегущей волны в особой точке. Ниже эти обозначения сохранятся и для производных других функций.

Определим коэффициенты, входящие в (7). Для того чтобы найти Y _α или Y _β , необходимо продифференцировать тождество (3) один раз по ξ, один раз – по α или β и положить:

α=α o , β=β o , ξ= 0.                             (8)

Тогда находим, что:

Y α =µ 1 α d , Y β =µ 1 β d .                               (9)

Для определения коэффициентов Y _αβ , Y _αα , Y _ββ , необходимо продифференцировать тождество (3) один раз по ξ , один раз по α , один раз по β или два раза по α или β соответственно, а потом учесть (8):

Y αβ ^=µ 1 α d β ^{+ µ} 1 β d α ⁺ ( ^µ 1 αβ ⁺ η β^µ 2 α ⁺ η α^µ 2 β ) d ,

Y _αα = 2 µ _{1 α} d _α + ( µ _{1 αα} + 2 η_αµ _{2 α} ) d , Y _ββ = 2 µ _{1 β} d _β + ( µ _{1 ββ} + 2 η_βµ _{2 β} ) d .                         (10)

d

α

µ _{1 α} d ₄ 3 µ _{2 α} d ₂ µ _{2 α} d ₃ 3 µ _{2 α} d ₂( µ _{3 α}+η_αµ ₄) µ _{2 α} d ( µ _{4 α}+η_αµ ₅) -  --      -

4 µ ₄ d ³ 4 µ ₄ d ³ µ ₄ d ²          2 µ ₄ d                 4 µ ₄

В формуле (10) возникли неизвестные производные d _α , d _β , η_α , η_β . Для определения η_α , η_β продифференцируем тождество (3) три раза по ξ , один раз – по α , или один раз – по β и учтем (8).

Получим:

µ 1 α d 3    µ 2 α d 2    µ 3 α          µ 1 β d 3    µ 2 β d 2    µ 3 β ηα =-      -      -     , ηβ =-     -      -     .        (11) µ 4 d 3     µ 4 d 2     µ 4           µ 4 d 3    µ 4 d 2     µ 4

Для определения производных d _α , d _β продифференцируем тождество (3) четыре раза по ξ , один раз – по α , или один раз – по β и учтем (8):

Величина d _β получается из d _α заменой α на β .

Перейдем теперь к вычислению X ( α , β ). Для того чтобы найти X _α или X _β , необходимо продифференцировать тождество (3) два раза по ξ, один раз – по α или β и учесть (8). Получим:

X _α= 12 ( µ _{1 α} d ₂ +µ _{2 α} d ² ) , X _β= 12 ( µ _{1 β} d ₂ +µ _{2 β} d ² ) .               (13)

Как и в формулах (9), все необходимые величины уже определены. Для определения коэффициентов X _αβ , X _αα , X _ββ , необходимо продифференцировать тождество (3) два раза по ξ , один раз – по α , один раз – по β или два раза по α или β соответственно, а потом учесть (8). В результате получим:

^X ав = 2 ( ^ 1 а ^d 2 в + ^ 1 в ^d 2 а + ² ^ 2 а ^d в ^d + ² ^ 2 в ^d а ^d + (М" 1 ав + ^ 2 а ^Пв + ^ 2 в ^Па ) ^d 2 +

+ ( ^2ав + ^3а Пв + Цзв Па + W ) d2 ),

X ^аа   2 ⁽М. d ^{2 а +} 4 ^ 2 . d ^а d ⁺ К. ⁺ 2 ^ 2 . ^{П а} ) d ^{2 +} ( Ц 2 ^{аа +} 2 ^ 3 . ^{П а +} Ц ₄ Ч 1 ) d ² ) ,

X вв = 2 ( ² ^ 1 в d 2 в ^{+ 4} ^ 2 в d в d ^{+ (} М- 1 вв ⁺

2^2в Пв ) d2 +(^2вв + 2^3в Пв + ^4Пв ) d )- (14)

Неизвестными в формулах (14) являются d _{2 α} , d _{2 β} . Для их определения продифференцируем тождество (3) пять раз по ξ , один раз – по α , или один раз – по β и, как обычно, учтем (8):

d

2α

1 10 µ ₄ d ³

( µ _{1 α} d ₅ + 10 µ _{2 α} d ₂ d ₃ + 5 µ _{2 α} d ₄ d + 30 d ₂ d _α d ² µ ₄ + 15 ( µ _{3 α}

+η_αµ ₄ ) d ₂ ² d +

+ 10 ( µ _{3 α}+η_αµ ₄ ) d ₃ d ² + 5 µ ₅ d _α d ⁴ + 10( µ _{4 α}+η_αµ ₅) d ₂ d ³ + ( µ _{5 α}+η_αµ ₆) d ⁵ ) .      (15)

Величина d _{2 β} получается из d _{2 α} заменой α на β .

Рассмотрим определение с точностью до членов второго порядка включительно фазы бегущей волны θ ( α , β ) .

Величина θ ( α _o , β _o ) легко находится из тождества (3):

θ(αo,βo)=µ(η(0,αo,βo),αo,βo),(16)

где η (0, α _o , β _o ) =η ₀ – значение внутреннего параметра задачи в особой точке.

Для определения θ_α и θ_β , продифференцируем тождество (3) один раз по α или по β соответственно и учтём (8). Тогда:

θα = µα, θβ = µβ.(17)

Для определения коэффициентов θ_αβ , θ_αα , θ_ββ , необходимо продифференцировать тождество (3) один раз по ξ , один раз – по α , один раз – по β и учесть (8). Получим:

θαβ =µ1αηβ+µ1βηα+µαβ, θαα =2µ1αηα + µαα, θββ =2µ1βηβ + µββ.(18)

Таким образом, в работе получены формулы, позволяющие рассчитывать параметры универсальной деформации волновой катастрофы типа A₃ (каустическое остриё, или «клюв» – cusp): коэффициенты X ( α , β ), Y ( α , β ) и фазу бегущей волны θ ( α , β ) . Рассмотрены как первое (линейное), так и второе (квадратичное) приближение. В работе мы ограничились случаем двумерного пространства внешних параметров задачи ( α , β ) . Обобщение полученных формул на пространства большей размерности очевидно и не требует дополнительных вычислений.