Лоренцева задача на группе SE(2)

Согласно общей теории относительности, гравитационное поле задается в метрике лоренцевой сигнатуры на 4-мерном пространственно-временном многообразии, а световые лучи представляют собой светоподобные геодезические этой пространственно-временной метрики. С математической точки зрения, теория гравитационного линзирования, таким образом, является теорией светоподобных геодезических в 4-мерном многообразии с лоренцевой метрикой [1 –3] .

Важной исследовательской задачей является исследование лоренцевой геометрии. Например, в [4] сопоставляются методы и результаты ло-ренцевой геометрии с методами и результатами римановой геометрии. Результаты из римановой геометрии Чигера–Громова о конечности, утверждающие, что существует лишь конечное число типов диффеоморфизмов многообразий, удовлетворяющих определенным геометрическим ограничениям, обобщаются на лоренцеву геометрию. В [5] исследуются геометрические характеристики плоской периодической структуры с тремя степенями свободы. В [6] для некоммутативной геометрии найдена лоренцева версия известной формулы расстояния Коннеса.

В лоренцевой геометрии информация может распространяться вдоль кривых с векторами скорости из некоторого острого конуса. Естественной является задача отыскания лоренцевых длиннейших, максимизирующих функционал типа длины вдоль допустимых кривых. Поэтому важной задачей является описание лоренцевых длиннейших для всех пар точек, где вторая достижима из первой вдоль допустимой кривой. Эта задача полностью исследована лишь в простейших случаях для лоренцевых структур постоянной кривизны (пространства де Ситтера и пространства анти де Ситтера) [3] , левоинвариантной лоренцевой структуры в R n⁺¹ для пространства Минковского R n⁺¹ [7] , для левоинвариантных лоренцевых структур на двумерной разрешимой группе Ли [8] и для левоинвариантных лоренцевых структур на группе Гейзенберга [12] .

Статья посвящена исследованию лоренцевой задачи на группе Ли SE(2) = R2 Xi SO(2), где R2 — пространство положений, а SO(2) — пространство ориентаций. Решается задача поиска лоренцевых длиннейших, максимизирующих функционал длины вдоль допустимых кривых. Для этой задачи доказано отсутствие глобально оптимальных траекторий. Доказана полная управляемость рассматриваемой системы. Применен принцип максимума Понтрягина. Доказана интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновой системы принципа максимума. Получена параметризация анормальных и нормальных экстремальных траекторий эллиптическими функциями Якоби.

2.    Постановка лоренцевой задачи на SE(2)

Группа SE(2) является трехмерной группой Ли и задается множеством матриц:

cos в

— sin в 0

sin в cos в

x

y

(x,y) G R ² , в G [0, 2п]

Общая постановка задачи оптимального управления о нахождении лоренцевых длиннейших приведена в [3, 11, 12] . В этой статье приведем частный случай постановки лоренцевой задачи на SE (2):

(1) (2) (3)	x = u 1 cos в + u 3 sin в, y = u 1 sin в — и з cos в, в = U 2 ,
(4) (5)	u l >  uu2 + u 3 , q(0) = q o = (0,0,0),      q(t i ) = q i ,
(6)	J ( y ) = У ^ u 2 - u 2 — u 3 dt ^ max .

3.    Полная управляемость

Воспользуемся следующим предложением.

Следствие 1 (из Теоремы 6.7 [14] ). Пусть дана управляемая система

• (7)    q = ^u 1 X 1 ^{( q )} + ^u 2 X 2 ^{( q )} + ^u 3 ^X 3 ^{( q ) ,}     q ^G SE²) ^{u G U C R} 3 ,

и линейная оболочка множества { u 1 X 1 (q)+u ₂ X ₂ (q)+u 3 X 3 (q) | (и 1 , u ₂ , и з ) G U } есть касательное пространство T_qSE(2) для любого q G SE(2), тогда система (7) вполне управляема.

Предложение 1. Управляемая система (1) – (4) вполне управляема.

Доказательство. Выберем векторы ⃗v 1 , ⃗v 2 , ⃗v 3 ∈ U, чтобы их линейная оболочка совпадала с пространством R ³ :

u 1

V 1 =

0 , 0

Очевидно, что линейная оболочка множества U есть R ³ . Поэтому { u 1 X 1 (q) + U 2 X 2 (q) + U 3 X 3 (q) | (U 1 ,U 2 ,U 3 ) G U } = T_qSE (2) для любого q G SE(2). Согласно следствию 1, система (1) - (4) вполне управляема. □

4.    Оптимальность траекторий

Теорема 1. Для лоренцевой задачи на SE(2) (1) - (6) не существует глобально оптимальных траекторий.

Доказательство. Если существует периодическая траектория, содержащая нетривиальную времениподобную дугу, то оптимальных траекторий не существует, так как значение функционала неограниченно возрастает при увеличении количества периодов. При этом в качестве начальной точки можно брать единицу группы SE (2) в силу левоинвариантности задачи. Построим такую периодическую траекторию.

Возьмем времениподобную траекторию, соответствующую управлению (и 1 ,и ₂ ,и з ) = (1,0, 0) с начальным условием q(0) = q o :

• (8)                      (x,y,3)(t) = (t, 0,0), t G [0,T]

5.    Экстремальные траектории

для некоторого T >  0. В силу полной управляемости системы существует ее траектория с началом q(T ) и концом q o . Конкатенация этой траектории с траекторией (8) даст периодическую траекторию с нетривиальной времениподобной дугой (8) . Поэтому в задаче (1) – (6) не существует глобально оптимальных траекторий.                             □

Несмотря на отсутствие глобально оптимальных траекторий, интерес представляет изучение локально оптимальных траекторий в данной задаче. Для этого далее описаны экстремальные траектории принципа максимума Понтрягина. Для исследования локальной оптимальности экстремальных траекторий необходимо изучить сопряженные точки. Этот вопрос весьма нетривален (т.к. экстремальные траектории параметризуются эллиптическими функциями Якоби), и отложен для дальнейшего изучения.

Запишем общий вид функции Понтрягина hU = (Р, 52 UiXi) + vy ul — u2 — u3, p G T*M, v < 0.

i =1

Как следует из принципа максимума Понтрягина [10 , 11] , экстремальные управление u(t) и траектория q(t), t G [0,T], удовлетворяют следующим условиям:

∂hν      ∂hν u, q= u;

∂q      ∂p

• (1 )    Гамильтонова система p

  (2) Условие максимума h U (_t)

  
  

Mtlqtty) = max h U (p( ^t ) ^, q(t)); u ∈ R ^{3 u}

• (3)    Условие нетривиальности (p(t),v ) = (0, 0) V t G [0,T].

Обозначим h i = (p,X i ). Тогда функция Понтрягина выражается следующим образом:

h U = u i h i + U 2 h 2 +

u 3 h 3 - ν u ² ₁

u

u

В формулировке ПМП, не ограничивая общности, достаточно рассмотреть два случая: v = 0 — анормальный случай и v = — 1 — нормальный случай.

• 5.1.    Анормальный случай принципа максимума Понтрягина

Пусть v = 0. Покажем, что экстремали являются траекториями гамильтонова векторного поля с гамильтонианом H = 2 (—h l + h 2 + h 3 ), при этом H = 0, h i <  0.

Если h 1 >  — у/h 2 + h 3 , то функция h u (p, q) неограничена сверху, потому не достигает максимума на множестве U . Если h 1 <  — у/ h 2 + h 3 , то функция h _u ( p, q ) достигает максимума на множестве U при u 1 = u ₂ = и з , что дает тривиальную экстремальную траекторию q(t) = q o . Нетривиальные экстремальные траектории получаются только в случае

• (9)                h i =    \ h ² ' h ² ,      (h i ,h 2 ,h 3 ) = (0, 0, 0),

при u1 = —hi, u2 = h2, из = h3. В этом случае гамильтоново векторное поле для гамильтониана hu совпадает с гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом H = 2 (—hi + h2 + h3). Условия (9) означают, что H = 0, hi < 0.

Вертикальная подсистема (для переменных h i ) имеет вид:

hi = {H,hi} = —h2h3, h2 = {H, h2} = —2hih3, h3 = {H,h3} = h2hi, где {·, ·} есть скобка Пуассона [11]. Введем замену hi = —r, h2 = r cos ф,     h3 = r sin ф.

Тогда вертикальная подсистема примет вид: r = r2 cos ф sin ф, ф = —r(1 + sin2 ф).

Такая система имеет первый интеграл r ² (1 + sin ² ф) = C ² . Тогда решение можно получить с помощью эллиптических функций:

ф = — — am(K — yCCt),

k =

C

У 1+cn ² (K — ^2Ct)

.

Таким образом, решение вертикальной подсистемы имеет вид h1

C

У 1 + cn ² (K — ^ 2Ct)

h2 = rsn(K — yCCt), h3 = rcn(K — vCCt).

Это решение в частном случае приведено на рисунке 1 .

Рисунок 1. График динамики системы при h 1 (0) = 1 ,h ₂ (0) = 0 ,Ы 0) = 1 ,t G [0 , 10].

Горизонтальная подсистема q = —h 1 X 1 + h ₂ X ₂ + h 3 X 3 имеет решения

• (10)               x = —r cos в + rcn(K — ^2Ct) sin в,

• (11)                y = —r sin в — rcn(K — V 2Ct) cos в,

• (12)              в = rsn(K — V2Ct)

• 5.2.    Нормальный случай принципа максимума Понтрягина

Пусть v = - 1. Покажем, что экстремали являются траекториями гамильтоновой системы с функцией Гамильтона H = 2 ( — h i + h 2 + h f ), при этом H = — 2 , h i < 0.

Рассмотрим условие максимума ПМП для гамильтониана hu = uihi +

u 2 h 2 + u 3 h 3 +  u

u

u

ч max u1 ≥ u22 +u23

Пусть h 1 >  У h 2 + h 2 . Тогда, полагая u = k(h _i ,h ₂ ,h ₃ ), получаем h u ч + да при k ч + то . Поэтому в этом случае экстремалей нет.

Пусть — У h 2 + h f < h 1 < У h 2 + h f . Полагая u 1 = ky/h2 + h f , u ₂ = kh ₂ , u ₃ = kh ₃ , получаем h u = ky/h 2 + h f (h 1 + У h 2 + h f ) ч + м при k ч + то . Поэтому в этом случае экстремалей нет.

Пусть h 1 = — У h 2 + hf. Повороты вокруг оси h 1 являются симметриями задачи. Применяя такие повороты, можно получить —h 1 = h ₂ >  0, h ₃ = 0. Полагая u 1 = р ch ф, u ₂ = р sh ф, u ₃ = 0, получаем h u = p(h 1 (sh ф — ch ф) + 1) ч + да при р ч + то . Поэтому в этом случае экстремалей нет.

Пусть h 1 <  — Уh 2 + h 2 . Если u 1 = Уu 2 + u ^ >  0, то h u <  0. Пусть u 1 >  У u 2 + u f . Положим h 1 = —р chф, h ₂ = р sh ф cos^, h ₃ = р sh ф sin^, u 1 = r ch (9, u ₂ = r sh 6 cos y , u ₃ = r sh 0 sin y . Тогда h u = r [1 — р(ch ф ch 6 — sh ф sh 9 cos(^ — y ))] . Если р <  1, то h u ч + м при r ч + то , поэтому в этом случае экстремалей нет. Если р >  0, то h u достигает максимального значения при r = 0, поэтому в этом случае нетривиальных экстремалей нет. Наконец, если р = 1, то h u принимает максимальное значение при y = ^, 6 = ф; при этом u 1 = — h 1 , u ₂ = h ₂ , U 3 = h f . Равенство р =1 означает, что H = 2 (—h 2 + h 2 + h f ) = — 2 , h 1 <  0.

Гамильтонова система ПМП имеет вид

(13)	h 1 = — h 2 h 3 ,
(14)	h 2 = — 2h i h 3 ,
(15) (16) (17)	h s = h 2 h i , x: = —h i cos 6 + h 3 sin 6, y = —h i sin 6 — h 3 cos 6,
(18)	6 = h 2 .

Это в точности гамильтонова система с гамильтонианом H. В силу этой системы h l + h 3 = const, обозначим h 1 = r cos ф, h 3 = r sin ф. Тогда

ф = h 2 , h ₂ = — r ² sin 2ф.

• 5.2.1.    Интегрируемость гамильтоновой системы

Теорема 2. Гамильтонова система (13) – (18) интегрируема по Лиувиллю.

Доказательство. Для доказательства достаточно найти 3 первых интеграла гамильтоновой системы, которые находятся в инволюции (скобка Пуассона равна нулю) и независимы (градиенты линейно независимы почти всюду) [15] .

Обозначим через X G Vec(SE(2)) правоинвариантное векторное поле, равное д^ в единице группы, тогда X = —y dx + x ду + дде ■ Пусть f (А) = ( А,Х(q) ) есть правоинвариантный гамильтониан.

Рассмотрим гамильтонианы H = 1/2(—hl + h2 + h3), C = 1/2(h1 + h3) и f . Очевидно, что они находятся в инволюции. Для проверки их независимости вычислим в канонических координатах минор

⃓ ∂H    ∂C∂f

∂ψx   ∂ψx

M = дн  дсdf

∂ψ y    ∂ψ y ∂ψ y .

∂H   ∂C∂f

∂ψ θ    ∂ψ θ

В точке 0 = 0, фх = 1, фу =0, x = 1, y = 0, фд = 1 имеем M = 1. Поэтому полином M почти всюду отличен от нуля.

• 5.2.2.    Интегрирование вертикальной подсистемы

В этом пункте мы интегрируем уравнение маятника (19) , (20) . Условия H = — 1 , h 1 <  0 означают, что

(21) h22 — r2 cos 2ф = —1 и cos ф < 0. Из равенства (21) получаем r > 0.

Обозначим

2ф = Y,

^ 2h 2 = c,    V2rt = s,    ‘ = d~. r                               ds

Тогда уравнения (19) , (20) переписываются в виде

Y ‘ = c,     c ' = — sin y.

Уравнение маятника (22) имеет первый интеграл c2

E

— cos y.

Равенство (21) принимает форму r ² E — — 1, откуда E G [ — 1,0).

Эллиптические координаты

В соответствии с общей конструкцией, разработанной в [16], мы вводим эллиптические координаты (ф, k) на области E G [—1, 0), где k — перепараметризованная энергия, а ϕ — время движения маятника (22). Мы используем функции Якоби ат(ф, k), сп(ф, k), sn(ф, k), dn(ф, k), Е(ф, k) — f^ dn2(t, k)dt; кроме того, K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода [17]. Положим k =         = /sin2 Y + 7 ^ 10,1/^2).

sin — — — ksn(ф, k),

γ cos — — —dn(ф, k), c — kcn(ф,k),     ф G [0, 4K(k)].

Параметризация траекторий вертикальной подсистемы

В эллиптических координатах поток маятника (22) выпрямляется:

ф ' — 1, k ' — 0.

Таким образом, вертикальная подсистема нормальной гамильтоновой системы (22) интегрируется тривиально: достаточно подставить ф _s — ф + s, k = const в формулы эллиптических координат. Получаем следующую параметризацию траекторий системы (22) :

sin —— s — — ksn(ф s ,k), cos — s — — dn(ф s , k), c ss — kcn(ф s , k).

5.2.3. Интегрирование горизонтальной подсистемы

Горизонтальная подсистема гамильтоновой системы ПМП имеет вид

θ ^′

c

2,

x ^′

cos ^Y cos 9 + sin ^Y sin 9 | ,

2                2         ,

y ^′

( cos ^Y sin 9 + sin ^Y cos 9 ^ . — 22+2

Интегрируя эту систему, получаем следующие выражения для экстремальных траекторий:

cos 9 s = dn^ s dn^ + k ² sn^ s sn^,    sin 9 s = ksn^ s dn^ — kdn^ s sn^,

x s

— —= (dn^(s + 2E(^) — 2E(^ _s )) + 2k 2 sn^(cn^ s

— cn^)),

y s

k

—= (2dn^(cn^ — cn^ s ) + s snф — 2sn^(E(^ s ) — E(^)).

6.    Заключение

В данной работе проведено исследование лоренцевой задачи на группе SE (2). Получены важные теоретические результаты:

• (1)    доказана полная управляемость рассматриваемой системы;

• (2)    доказано отсутствие глобально оптимальных траекторий;

• (3 )    применен принцип максимума Понтрягина, доказана интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновой системы ПМП в нормальном случае;

• (4 )    в анормальном и нормальном случаях получена параметризация экстремальных траекторий с помощью эллиптических функций Якоби.

Ввиду отсутствия оптимальных траекторий в рассмотренной задаче на группе SE (2) возникает естественный вопрос о поведении аналогичной лоренцевой задачи на односвязной накрывающей группы SE (2). Этот вопрос отложен для дальнейших исследований.

Авторы благодарны анонимному рецензенту за полезные замечания по изложению в работе.