Максимизация дисконтированного накопленного дохода для двух газовых месторождений

Особое место в номенклатуре полезных ископаемых занимает природный газ. Хорошее, достаточно полное его изложение содержится в монографии [1]. В ней описаны всевозмож-нвш подходы к разработке газовых залежей, основанные на последних мировых и отечественных научных, технических и технологических достижений в добыче газа и учитывающие различные этапы эксплуатации месторождений.

Природный газ - особо ценный продукт. Содержится он глубоко под землей в газообразном состоянии, в достаточно чистом виде, при высоком давлении и температуре. Кроме метана и газоконденсата, в газообразной смеси могут присутствовать в ограниченном количестве также другие элементы: сера, азот, гелий и углекислый газ.

Добыча природного газа на месторождении - достаточно сложная, дорогостоящая проЦеДУРа- Добывается он из скважин при постоянном отслеживании процесса извлечения природного газа из недр земли. Основные затраты ложатся на период, предшествующий крупномасштабной добыче газа. Необходимо провести следующие работы: обустроить месторождение, создать на нем подходящую инфраструктуру, покрыть месторождение равномерной сеткой скважин.

В течение всего периода разработки газового месторождения необходимо в каждый момент времени отслеживать добычу газа на каждой скважине, представлять процессы, проходящие внутри залежи, и моментально реагировать на появление нежелательных явлений в пласте месторождения. Необдуманная максимизация добычи газа на каждой скважине может приводить в дальнейшем к резкому уменьшению максимального отбора газа. В этом случае необходимо проводить сложные восстановительные работы. Бывает еще хуже - полное выбытие скважины из разработок без возможности ее восстановления.

В процессе разработки газового месторождения возникает необходимость проводить на скважинах как плановые, так и внеплановые регламентные работы. Плановые отключения скважин на месторождении необходимо организовать в такой последовательности, при которой давление в залежи уменьшается равномерно. При внеплановых отключениях скважин необходимо регулировать добычу газа на рядом расположенных скважинах, а также пересмотреть порядок плановых отключений.

Прогнозировать реальную добычу газа из залежи, опираясь только на процессы, проходящие внутри пласта, можно на период около трех месяцев. Прогноз на более длительный период приведет нас к серьезным ошибкам в добыче газа. Необходимо пересмотреть подход к построению модели на достаточно длительный период, что и было сделано в работах [2-4]. Данный подход опирается на сохранение материального баланса. В нашем случае сохранению материального баланса подвергаются запасы газа. Модель основана на предположении о пропорциональности между изменениями среднего дебита скважин и текущей добычей природного газа. Модель прошла пробную численную реализацию на реальных примерах и получила высокую оценку.

Автор настоящей статьи совместно со Скиба Н.К. решил проблему максимизации накопленной добычи при ограничении на пропускную способность трубопроводов. Данная работа связана с другой важной задачей: максимизация длины полки [5, 6]. Интересно отметить, что решение последней задачи определяется порядком ввода месторождений. Однако можно выбрать такой порядок, который приведет к минимизации длины полок. При этом он однозначно определен.

Принцип максимума Понтрягина с учетом различных его интерпретаций является основой для решения практических задач такого типа. Применить принцип максимума можно при условии существования оптимального решения таких задач. Для этого мы используем соответствующую теорему из монографии [9].

В отличие от ранее исследованных задач, в настоящей статье решается задача с учетом коэффициента дисконтирования и глубин залегания газоносных пластов.

1.    Построение модели и постановка задачи

Рассматривается непрерывная динамическая аппроксимационная модель эксплуатации двух газовых месторождений [1] с взаимовлиятощими скважинами [2, 3]. Принимаются следующие приблизительные допущения:

Мы делаем следующие аппроксимирующие предположения:

• •    каждому месторождению соответствует одна залежь;

• •    предполагаем наличие полной инфраструктуры на каждом месторождении;

• •    в любой момент t газовое месторождение покрывается равномерной сеткой добывающих скважин;

• •    мы предполагаем, что на месторождениях отсутствуют текущие эксплуатационные затраты;

• •    мы не учитываем строительство отдельных контрольных и наблюдательных скважин;

• •    бурение, строительство и ввод скважины в эксплуатацию происходят в один и тот же момент времени;

• •    весь извлекаемый запас газа может быть добыт с помощью любого числа скважин;

• •    каждая скважина на месторождениях имеет одинаковый текущий дебит;

• •    мы можем разрабатывать два месторождения одновременно;

• •    мы финансируем только бурение новых эксплуатационных скважин;

• •    мы не учитываем ремонт и естественную убыль добывающих скважин;

• •    резерв скважин не создается.

Вводим следующие обозначения для двух газовых месторождений. Индекс i принимает значение 1 пли 2:

• 1)    константа Т означает копен, пер иода планирования [0, Т ]:

• 2)    фазовая переменная q i (t) обозначает среднее количество газа, извлекаемое скважиной из i-й залежи в момент времени t (средний дебит скважины);

• 3)    фазовая переменная N i (t) обозначает действующий фонд скважин, используемый в момент t для извлечения газа из i-й залежи;

• 4)    переменная ri i (t) обозначает количественный прирост действующего фонда скважин N i (t) в единицу времени, используемых для извлечения газа из i-й залежи, начиная с момента t:

• 5)    фазовая переменная V(t) обозначает запас газа, сохранившийся в момент t после частичного его извлечения из i-й залежи;

• 6)    управление ^ i (t) означает механическую скорость бурения скважин для i-й залежи в момент t:

• 7)    переменная Qi(t) обозначает текущую добычу газа из i-й залежи в момент времени t:

• 8)    постоянная К означает капиталовложения, вложенные в обустройство новых скважин в единицу времени;

• 9)    постоянная h i означает среднею глубину расположения Тго пласта;

• 10)    постоянная C i означает стоимость обустройства скважины на г-й залежи;

• 11)    постоянная с означает рыночную стоимость единицы объема газа;

• 12)    постоянная р означает показатель дисконтирования;

• 13)    постоянная (3 означает удельные капиталовложения в расчете на единицу длины скважины;

• 14)    постоянная P означает максимальные совокупные механические возможности по скорости бурения скважин всеми имеющимися буровыми установками;

• 15)    постоянные q 0 N i и V ⁰ являются начальными значениями соответствующих фазовых переменных.

Стоимость обустройства одной скважины является результатом произведения удельное капиталовложение 3 ^на глубину залежи hi'.

с i = Ph .

Количественный прирост ni (t) действующего фонда скважин Ni (t) задается следующей дробью:

ni (t) = Р (t)/hi.(2)

Динамика фазовых переменных Ni(t), N 2 (t), q i (t), q 2 (t), V i (t) и V2(t) в модели определяется из решения соответствующих дифференциальных уравнений:

Ni (t) = ni (t) = Pi (t)/hi,(3)

qi (t) = -Ni (t)qi (t^/V? = -Ni (t)qi (t)o0(4)

V (t) = -Ni (t)qi (t) = -Qi (t).(A

Управления P i (t) и p 2 (t) в модели подвергаются ограничениям:

0 < Pi(t) + p2(t) < P,(6)

0 < Pi (t) < P.( 7)

Для фазовых переменных V1(t), V₂(t), q 1 (t), q ₂ (t), N 1 (t) и N 2 (t) в модели задаются начальные условия:

Vi0 > 0,(8)

qf > 0,(9)

N0 = 0.(10)

Заметим, что в описании выражения (4) мы использовали обозначение, облегчающее в дальнейшем написание формул:

of = А.(Ill

Неравенства (6) являются общим ограничением для модели (3) - (10). Заметим, что равенство нулю начальных значений действующего фонда добывающих скважин для всех газовых месторождений является вполне естественным предположением. В то же время средние дебиты добывающих скважин для разных месторождений могут отличаться друг от друга.

Буровая компания осуществляет капитальные вложения в разработку месторождения. Мощность буровых установок является существенным ограничением темпов разработки. С учетом (1) и (2) получаем следующую формулу:

К = Cini(t) + C2n2(t) = ft [fil(t) + p2(i)] = fifi.                         (12)

Если в реальности капиталовложения К меньше значения ftp, то мы уменьшаем совокупную скорость буровых установок Р до соответствующей величины. Этого можно достигнуть, исключив из работ часть буровых установок, поскольку на них отсутствует финансирование. Поэтому считаем верным последнее равенство. В результате получаем fil (t)+P2(t)=P.(13)

Воспользовавшись (2), (9) и (10), из дифференциальных уравнений (3) и (4) получаем следующие выражения:

Ni(t) = Ni(0) + С m(№ = С ^dt,(14)

• J 0              JO

qi(t) = gOe-^^n^ = q^M-) ^^.

Из выражений (14) и (15) вытекает неотрицательность фазовых переменных N i (t) и положительность фазовых переменных q i (t).

Предположим, в период [0, т ] разрабатывается только одно из двух месторождений. Пусть оно имеет номер i. Максимальная накопленная добыча получается при fi i (t) = fi. Для второго месторождения с номером k = i выполняется fi^ip) = 0- Воспользовавшись (9) и (10), мы перепишем выражения (14) и (15) следующим образом:

Ni(t) = fit/hi;(16)

qi(t = qi exp[-a0fit2/(2hi)].(17)

Текущая и накопленная добыча газа для i-ro месторождения представятся в виде

Qi(t) = qi$t exp[-aOfit2/(2hi)]/hi;(IS)

J 0                0                         ai         ai

Дисконтированный накопленный доход для двух газовых месторождений на конечном интервале [0, Т ] определяется по формуле

• 2 гт2

D = сУ2    Qi(t)e-ptdt = V / qi(t)Ni(t)e-ptdt.(20)

i=i 70                   i=i 70

Здесь и далее мы полагаем с = 1, что уменьшает на единицу количество введенных параметров. Постоянная продажная цена единицы объема газа не влияет на решение оптимизационной задачи. Влияние оказывается только на значение функционала (20), числовое значение которого можно получить умножением правой части равенства (20) на реальную стоимость единицы объема газа.

Без потери общности предполагаем h2q0 Р hiq0.                                           (21)

Задача 1. Разрабатываются два месторождения. Требуется максимизировать функционал (20) при дифференциальных связях (3)-(5), ограничениях (6), (7) с начальными условиями (8)-(10). Управлениями являются две переменные rdi(t) и ^(t), которые относятся к классу измеримых функций.

Сформулированная задача относится к классу задач оптимального управления. Горизонт планирования Т фиксирован. Правый конец допустимой траектории не закреплен и свободен. Прежде чем приступить к использованию основного аппарата решения задачи оптимального управления, необходимо решить проблему существования максимального решения. Из монографии [9] вытекает, что сформулированная практическая задача имеет оптимальное решение.

Приступаем к поиску оптимального решения. Для этого воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Введем в рассмотрение четыре сопряженные переменные: #i(t)e^-pt, #2(t)e^-pt, pi(t)e^-pt и p2(t)e^-pt. В дальнейшем вспомогательные функции #i(t), #2(t), pi(t) и p2(t) мы будем называть сопряженными переменными, как это было принято в статье [10].

Выпишем гамильтониан и четыре сопряженные уравнения:

Н = [qiNi + q2N2 - #iaiqiNi - faazqzN + Рг^ + Р2Т2]e pt;(22)

П1

^^i = p#i + (ai#i - 1)Ni;(23)

#’2 = p#2 + (ap#2 - 1)N2;(24)

pi = ppi + (ai#i - 1)qi;(25)

p2 = PP2 + (a2#2 - 1)q2.(26)

Условия трансверсальности для сформулированной практической задачи представятся

#i(T) = #2 (Т) = pi(T) = Р2(Т) = 0.(27)

Максимум гамильтониана (22) достигается при условии

^i +^2 = А(28)

2.    Анализ сопряженных переменных

В данном разделе исследуются основные свойства сопряженных переменных. Мы определяем границы их локаций.

Проведем следующие операции с дифференциальными уравнениями (23) и (24). Умножаем обе их части на фазовые переменные qi и q2. Воспользовавшись (4), приходим к следующим двум дифференциальным уравнениям:

4 ^[ q i ^{( t )} # i ^{( t )}] = q i ^{( t )} # i ^{( t )} p ^{- N} i ^(t) q i ^(t) , г = 1, 2. at

С дифференциальными уравнениями (29) проведем операции умножения обеих частей на коэффициент exp[-pt] с дальнейшим интегрирован!хем результатов от величины t до значения Т. Принимая во внимания условия трансверсальности(27), получаем qi(t)#i(t)e pt = qi(Т)#i(T)e pT + J

^Т N i (^)q i (^)e^{- p} ^ d^ = f^T N^q^-^Ppa d^, г = 1, 2.

' t                                        (30)

Из неотрицательности фазовых переменных q i (t) и N i (t) следует неотрицательность в правых частях равенств (30). Значит, сопряженные переменные # i (t) неотрицательны при t G [0,Т) n#i(T) =0.

Из (29) с учетом (4) приходим к следующим результатам:

^[( q i ^{( t )} # i ^{( t ) -} q i ^{( t ) /a} i )] = q i ^{( t )} # i ^{( t )} p, ^г = 1, 2. at

Принимая во внимание (27), проведем операцию интегрирования обеих частей последнего равенства от величины t до значения Т:

q i (t)/a i - q i (t)^ i (t) = j pq i (^)^ i (^)d^ + q i (T)/щ, i = 1, 2.

Посколвку q(t) >  0 при любых коне hhbix значениях t, то из последнего соотношения вытекает неравенство У(t) < ^. С учетом выше доказанной неотрицателвности ^i(t) ввиекает 0 С У(t) <  у ^на полуинтервале [0,Т). Найдены пределы, в которвш заключены сопряжен-HBie переменные уд (t).

Аналогичные операции проводим с сопряженными переменивши Vi (t). Решив дифференциальные уравнения (25) и (26), в результате получим следующие интегральные выражения для сопряженных переменных ц%(t):

V i (t) = f [q i (€) — » i q i (£MЮК^-*)#, i = 1, 2.                (31)

Отсюда вытекает ^(t) >  0 пр и t G [0,T). После проведения ряда операций с дифференциальными уравнениями (23) и (24) мы приходим к следующим равенствам:

|t [a i q i (t)yj i (t) - q i (t)] = ^pq^ty^t'), i = 1, 2.

Продифференцируем no t уравнения (25) и (26). С учетом последнего соотношения получаем

V i (t) - pV i (t) = a i pq i (t)^^), i = 1, 2.

Умножим последнее равенство на коэффициент e^-pt. Принимая во внимание (4) и (25) -(27), произведем преобразование достигнутого результата путем интегрирования его от величины t до значения Т:

V i (t) = e ^{- pT - t )} V i (T ) - f a i pq i (^ i (^e^-^^ =

= - e-P^ ^- q(T ) - T a i pq i (^ i (^e ^-}^     i = 1, 2.

Из последнего соотношения вытекает убывание сопряженных переменных ^ i (t)-

3.    Анализ особого режима функционирования разработок месторождений

При максимизации гамильтониана (22) возможны три варианта соотношений между сопряженными переменными ^1 и ^2 с весовыми коэффициентами h 2 и h i соответственно: 1) пусть h2Vi = h i V2, тогда Pi + Р2 = Р и Pi может принимать любые значения в промежутке от 0 до Р'.

• 2)    пусть h₂^_i > h _i ^₂- тогда Р₁ = Р:

• 3)    пусть h₂^_i < h _i ^₂- тогда Р₂ = Р.

Рассмотрим подробно первый вариант. Пусть h2Vi = hiV2                                      (32)

в течение некоторого ненулевого промежутка времени. В этом случае из (25) и (26) вытекает следующее равенство:

(а у У 1 - 1)q i h 2 = (0 2 ^ 2 - 1)q 2 h i .

С учетом (4) преобразуем (23) и (24). В результате получаем

|t ^[(ац01 — l)qi^] = paiihq i ;

|t [(« 2 ^ 2 - 1)q2] = P« 2 ^ 2 q 2 .

Продифференцировав обе части равенства (33) по tn сравнив результаты дифференцирования с (34) и (35), получаем

a i ^ i q i h 2 = a 2i ^ 2 q 2 h i .

Из (33) и (36) приходим к равенствам

q i h 2 = q 2 h i ;

«1^1 = « 21 ^ 2 .

С учетом результатов дифференцирования обеих частей равенства (37) по t, дифференциальных уравнений (4) и равенства (37) получаем

« 1 N 1 = « 2 N 2 .

Продифференцировав (39), с учетом дифференциальных уравнений (3) получаем

«1 П 1 = а 2 П 2 ,

«2

^гд^{е n} 1 = i—’; h1 «2 + h 2 « 1

Мощности буровых установок на каждом определяются следующими формулами:

^П 2    h 1 « 2 + h2«1 ^.

месторождении в этом случае постоянны и

Л -     ^h 1 « 2

1   h1«2 + h2«1 ’

’’2 = щщщ«Л

Определим формулы значений дебита скважины при особом режиме функционирования разработок месторождений. В этом случае величины дебита скважины изменяются по законам:

q 1 ^{( t )} = q0 exp^[-       « 1 « 2 ----- ’^t2];

2(h1«2 + h2«1)

q 2 ^{( t )} = q⁰ exp' « 1 « ² —г ’^t2].

2(h1«2 + h2«1)

Равенство (39) также выполняется в начальный момент, т.е. «1У1(0) = «2N2(0) = 0.

Рассмотренную выше траекторию, у которой начальные значения дебита скважины пропорциональны глубинам залегания месторождений q0h2 = q0hi

и которая имеет нулевые начальные действующие фонды скважин N0 = N 2 = 0, мы будем называть особой оптимальной траекторией. Она удовлетворяет на отрезке [0, Т ] равенствам (32), (37) - (45) и условиями трансверсальности (27). Особая оптимальная траектория является аналогом магистрали в теории оптимального экономического роста. Другую оптимальную траекторию, не относящуюся к особой оптимальной траектории, мы будем называть обычной оптимальной траекторией.

4.    Вывод формул для вычисления сопряженных переменных

С учетом условий трансверсальности (27) проинтегрируем дифференциальные уравнения (29) от t до Т. Приходим к следующим интегральным соотношениям:

^ i (t)q,(t)e^-1t = f Q i (d)e ^{- p6} dd = Л q^N^e^-16dd = тц Л q , (d)de - ¹⁶ dd, i = 1, 2. t                         Jt                                  Jt

Обратим внимание на то, что сумма ^ 2=i ^ i (0)q , (0) равна максимальному значению функционала (20). Установим вклад каждого месторождения в максимальный накопленный доход на особой оптимальной траектории. Пусть D - максимальное значение функционала. С учетом (37), (38) при t = 0 приходим к следующим формулам:

^i(0)qi(0) = ^ q i (d)N i (d)e ^{- 1} dd = -^+L-D;

^2(0)q2(0) = ^ q ₂ (d)N ₂ (d)e^-f}edd = —^—^D.

Принимая во внимание (29) и (27), проинтегрируем сопряженные уравнения (25) и (26) путем их интегрирования от величины т до значения Т:

Г т

/   q i (t)e~^{p{ 1 t}

-

^т ) dt -I [^ a i q i (d)N i (d)e ^{- p ( 6 - T} ) dd]dt =

(Т - т)q i (T)e ^{- 1 ( T - т} ) +р£(t - т)q i (t)e ^{- 1 ( t - T} ) dt,

^2

⁽ т) = I q 2 ⁽ t)e ^Р^ ^т)dt -I [^

- 2 q 2 (d)N 2 (d)e - ^{16 :} ) dd]dt

(Т - т)q 2 (T)e ^{- 1 ( T - т} ) + р I ^T (t - т)q 2 (t)e ^{- p ( t - T} ) dt.

5.    Изолированность особой оптимальной траектории

В данном разделе выявляется изолированность особой оптимальной траектории от других траекторий, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Мы наблюдаем отсутствие соприкосновений обычных траекторий с особой оптимальной траекторией.

Покажем, что не существует другой подозрительной на оптимальность траектории, которая входит или исходит из особой оптимальной траектории. В этом случае управления другой подозрительной на оптимальность траектории удовлетворяют следующим равенствам: d _i (t) = Р ii P₂(t) = 0. пли P₂(t) = ^ ii d _i (t) = 0.

Рассмотрим особую оптимальную траекторию в момент времени t. В момент времени t выполняются равенства (32), (37)-(39). Умножим обе части сопряженного уравнения (25) на h2. В результате получаем h2^>i = ph2^i + h2(ai^i - 1)qi.

Умножим обе части сопряженного уравнения (26) на hi. В результате получаем hiP2 = phiP2 + hi(—2^2 - 1)q2.

Находим разность из двух последних уравнений h2Vi - hip>2 = p(h2^i - hip2) + h2(ai^iqi - qi) - hi(—2^2q2 - q2)

Продифференцируем уравнение (48) по t. Воспользовавшись (34) и (35), приходим к следующему соотношению:

h2pi - hip2 = p(h2pi - hip2) + ph2ai^iqi - phid2^2q2.(49)

Продифференцируем уравнение (49) no t. С учетом (4), (24) и (25) получаем hbp'i - hip = p(h2pi - hip) + paih2(p^iqi - qiNi) - pa2hi(p^2q2 - q2N).(50)

Найдем четвертую производную от разности функций h2pi(t) и hip2(t). Для этого продифференцируем уравнение (50) по t. С учетом (3), (4), (24) и (25) приходим к равенству h2p14 - hip^4 = p(h2pi - hip) + paih2[(p2^iqi - pqiNi) + paiqiN - Qini]-

-pa2hi[(p2pq2 - pq2N) + pa2q2N2 - q2U2].(51)

Разложим разность h 2 p i (t) - h i p 2 (t) в сколь угодно малой окрестности момента времени t ( M t = 0) в ряд Тейлора:

h 2 p i (t + M t) - h i p 2 (t + M t) = h 2 p i (t) - h i p 2 (t) +               ———— Mt^k + o( M t ⁴ ). (52)

t=i

В момент времени t правые части уравнений (48) - (50) обращаются в нуль. При условии (41) правая часть уравнения (51) обращается в нуль. Из этого следует, что момент времени t + M t принадлежит особой оптимальной траектории. Мы двигаемся вдоль особой оптимальной траектории.

Пусть n i (t) = ph i и n 2 (t) = 0, тогда из (51) вытекает, что h2pi4) <  h i p^- Отсюда и из (52) следует строгое неравенство h ₂ p _i (t + M t) < h _i p ₂ (t + M t) для всех M t = 0, что противоречит условиям максимума гамильтониана. Аналогичный вывод получаем при условии ⁿ 2 (t) = ^/h 2 и n i (t) = 0. Значит, через любую точку особой оптимальной траектории проходит только одна единственная оптимальная траектория.

6.    Обычный режим

В этом разделе мы исследуем обычный режим. Это рассмотренные выше варианты 2 и

• 3.    Начальные значения дебита скважины удовлетворяют следующему неравенству:

• ^qi = ^q 2

  
  
  
  

• h i = h 2 .

За счет перенумерации месторождений условие (53) можно свести к условию qi hi который однозначно определяет обычный режим.

Начальные действующие фонды скважин равны нулю. В этом случае сопряженные переменные удовлетворяют неравенству

Pi(t) = p2(t) hi =

за исключением, возможно, некоторого количества точек, где они пересекаются.

Умножаем все части равенств (46) и (47) на h2 и hi соответственно. Определяем разницу двух полученных функций hip2(t - h2pi(t) =

• = [hi92 ( т ) - h z q^T )]( т - ■ ■      ' + р£[h^e) - M1WP - t)e ^{- p ( e - t} ) de.    (56)

Пусть Т1,Т2,... ,тп - точки всех пересечений траекторий hi ^1 > Т2 > • • • > pn. С учетом равенств hi^2 (Ti) = h2Vi(Ti)

для i = 0,1, 2,... ,п преобразуем (об):

Гт=т0                   й-тл. .      Гт=т0

• [h i q 2 (e) - h2qi(e)] ----ⁱ¹ • ' de =         [h i q 2 (e) - h2qi(e)] ----ⁱ² e-P^ede.     (57)

J T i 1                              ^{T    T i} 1              J T i ₂                              ^{T T i} 2

Здесь i 1 = i₂.

Обычная оптимальная траектория характеризуется последовательным бурением одного месторождения, затем другого месторождения. Далее после некоторого перерыва возвращаемся к бурению первого уже разбуренного месторождения и т. д.

Предлагается следующая пошаговая процедура численного поиска оптимальной траектории. На каждом шагу мы численно решаем задачу максимума непрерывной функции на временном отрезке [0, Т ]. Численно обычную оптимальную траекторию находим следующим образом. Сначала решаем задачу максимума без переключений. Затем с одним переключением. Далее с двумя переключениями и т. д. Процесс останавливается, когда при шаговом переходе максимальные значения функций совпадают. В этом случае максимум функции совпадает с максимумом функционала, который существует в соответствии с теоремой существования.

Заключение

В статье строится непрерывная динамическая аппроксимационная модель эксплуатации двух газовых месторождений. Мы делаем упрощающие предположения и вводим обозначения, используемые в описании модели. В модели мы учитываем глубины залегания залежей, капиталовложения и т.д. Управляющими параметрами являются совокупные мощности буровых установок, используемые на каждом месторождении. Общая мощность всех буровых установок является связующим ограничением. Совокупный дисконтированный доход от продажи газа является критерием оценки производственной деятельности двух месторождений.

Поставленная в статье практическая проблема относится к классу задач оптимального управления. Положительно решается проблема существования оптимального управления. В основе поиска решения задачи лежит известный принцип максимума Понтрягина. Поиск оптимального решения начинается с определения сопряженных переменных, гамильтониана и условий трансверсальности. Сопряженные переменные подвергаются анализу. Определяются области их локаций и особенности их поведения.

Мы максимизируем гамильтониан. При максимизации выделяются две области. В первой области начальные дебиты пропорциональны глубинам залегания залежей. Эта область содержит одну единственную особую оптимальную траекторию. Мы бурим одновременно два месторождения с постоянными темпами согласно полученным в статье формулам. Доказывается, что в особую оптимальную траекторию не входит и не исходит траектория из второй области. Особая оптимальная траектория полностью изолирована. Особая оптимальная траектория является аналогом магистрали в теории оптимального экономического роста.

В другой области начальные дебиты не пропорциональны глубинам залегания залежей. Эта область содержит обычные оптимальные траектории. В этой области в зависимости от начальных значений дебитов оптимальным образом разрабатываются одно или два месторождения. При разработке двух залежей в каждый момент все буровые мощности задействованы толвко на одном месторождении. В процессе оптимальной разработки месторождений происходит полное переключение бурения с одного месторождения на другое. Таких переключений на всем плановом периоде может быть не одно.

Предлагается следующая пошаговая процедура численного поиска оптимальной траектории. На каждом шагу мы численно решаем задачу максимума непрерывной функции на временном отрезке.

Численно обычную оптимальную траекторию находим следующим образом. Сначала решаем задачу максимума без переключений. Затем с одним переключением. Далее с двумя переключениями и т. д. Процесс останавливается, когда при шаговом переходе максимальные значения функций совпадают.

Мы аналитически определили оптимальную траекторию для первой области. Для второй области мы предложили численную реализацию поиска оптимального решения.