Математическая модель динамики системы "семяпровод - зерно"

Для получения дифференциального уравнения, что раскрывает колебательный процесс семяпроводов вдоль которого перемещается зерно, возьмем за основу следующие условия:

• а)    площадь поперечного сечения семяпроводов, масса его единицы длины и жесткость являются неизменными величинами;

• б)    его материал удовлетворяет линейный закон упругости;

• в)    зерно вдоль патрубка движется с постоянной скоростью, которое моделируем сплошной средой: "нулевой жесткости";

• г)    естественные сечения патрубка всегда расположены перпендикулярно к его нейтральной оси, то есть депланация поперечного сечения отсутствует;

• д)    отклонения отдельных точек патрубка возникают в направлении перпендикулярном средней линии патрубка (перемещение точек параллельно нейтральной оси недеформированного патрубка - не применяем);

• е)    отклонения точек оси патрубка произвольного естественного сечения происходит в одной плоскости («в плоскости колебаний»).

Принимая во внимание указанные предположения, отклонения точек оси патрубка, при поперечных его колебаниях, однозначно определяются одной функцией двух переменных – координаты x времени t . Будем считать, что u = u ( x , t ) - отклонение нейтральной оси патрубка с координатой x в произвольный момент времени, а распределение сил, которые действуют на условно выделенный элемент деформированного патрубка длиной dx указаны на рис.1.

Рис.1. Распределение сил, действующих на условно выделенный элемент патрубка

• m - масса единицы длины патрубка;

• m, - масса единицы длины условной материальной линии - потока зерна, что движется вдоль патрубка;

• E - модуль упругости материала патрубка;

• I    - момент инерции поперечного сечения патрубка относительно оси, совпадающей с нейтральной осью в недеформированном положении патрубка (указанная ось является перпендикулярной плоскости колебаний);

M - изгибающий момент сечения с координатой x ;

М + ^Mdx - изгибающий момент сечения с координатой x + dx ;

d x

Q - перерезывающие усилия в сечении с координатой x ;

d Q

Q + dx - перерезывающие усилия в сечении с координатой x + dx ; д x

• 0 1 - угол наклона, который образуется с осью OX касательная к нейтральной линии нормального сечения с координатой x ;

0 2 - угол наклона, который образуется с осью OX касательная к нейтральной линии нормального сечения с координатой x + dx ;

dq = q ( x , t ) dx - составляющая равнодействующих внешних сил в плоскости OXZ, которые действуют на условно выделенный элемент патрубка, а q ( x , t ) - их интенсивность.

Тогда проекция ускорения центра выделенного элемента на ось OZ du           du что для малых

равна     , то есть a =    . Принимая во внимание, dt2                    z dt2

ди колебаний рассматриваемого элемента патрубка     и ft будут также дx ди

Sin ft = —

¹    д x

малыми величинами и они связаны соотношением [1,2]

ди  д2 и sin ft = — + —-dx. К тому же, учитывая связь между перерезывающей силой 2   дx   дx2

dM

Q и изгибающим моментом M: Q =--, уравнение "динамического dx равновесия" выделенного элемента патрубка с зерном приобретает следующий вид:

д Q

- N sin ft - dq_in —— dx + N sin ft + q ( x, t ) dx = 0       (1)

д x

Для патрубка вдоль которого движется зерно, проекция силы инерции dq_in OZ определяется соотношением:

,           d2 u (x, t) ,       д2 u (x, t) , dq. = m---\—- dx + m---У—- dx

in      ¹ dt ²                  д t ¹

d ²

В последнем соотношении символ — полной производной по времени соответствующей функции. Пусть упругие свойства материала патрубка удовлетворяют нелинейный технический закон упругости [2]:

а = E £ + ц£ )

д и ( x, t )

где £1 = —-—- - относительное удлинение патрубка, а параметр ^ дx характеризует отклонение его упругих свойств от линейного закона.

Здесь и ниже будем считать его малым по сравнению с модулем упругости E .

Принимая во внимание, что du (x, t) _ ди (x, t) д u (x, t) dx dt ” д t       дx dlt ’ d2 u (x, t)   a2 u (x, t)

dt ²          a t²

a ² u ( x , t ) ( dx ^ ²      a ² u ( x, t ) dx   a u ( x , t ) d ² x

a x ² V dt J       a t a x dt      a x dt ²

для случая постоянной скорости движения зерна вдоль патрубка dx

(    = V = const )

dt уравнение (1) принимает вид:

a ² u ( x, t )           a ² u ( x, t )                a ² u ( x, t )

(m + m,) —V + 2mV —- (N - V2)—V + v       17   at2          1     atax                   ax2

a

+ ax

a x

(  (

EI

V V

a ² u ( x, t ) ax²

+ Ц

r i        3\A a 2u (x, t) । ax

^{V J}

= q ( u , x , t ),

где EI - жесткость на изгиб патрубка.

Пренебрегая    сжимающей    силой, полученное    выше

дифференциальное уравнение представим в виде:

ei a ² ( a ² u ) ³ m + m 1 d x ² _Vd x ² _?

m

+-- q ( u, x, t ).

m + m

a ² u     m,   ( a ² u a ² u ₂) EI a 4 u

+ ¹ 2V + VV ² +

8 t ²    m + m_x V    a x d t   d x ²    J m + m_x d x ⁴

Найти аналитическое решение даже соответствующей линейной модели приведенного выше уравнения (без учета правой части) известными классическими методами [3] не удается. Поэтому ниже будем исследовать динамический процесс системы «патрубок - движущийся поток зерна» за малой скорости движения последнего. Это позволяет представить предложенную модель динамического процесса в общем виде:

d ² u    ₂ д ⁴ u     Л n d u a²u a³u ²

+ а 2^ =-p F u, 0 ,  ,^,^

at2      ax4        V     at ax2 ax3 J a u

_ (   „ au a ² u

F u,0,—,—^,  .

V     a t a x ² a x

■³ J

- аналитическая, 2 n

периодическая к v t = 0

функция:

_(  „ au a2u a3u pF u,0,—,—^,—^

V      a t a x² a x³ J

ei a ² (a ² u ) ³ mA-т dx ² dx²

i m I /m| L/ x V LV x J

_"L_ 2 V m + m_x V    axat

a u _Tz2        m,

+ —у V  +------ q ( u , x , t ).

a x    J m + m

Ее можна представить в виде:

(    d u 8 ² u 8 ³ u )

F u, 0 , ,   ,—

(     d t  a x ²   d x ³ J

N

__ X ¹    in v t

= / e F

n n=-N

du d2 u d3 u u,--,--7,—7

(  d t  d x ²   d x ³ J

, 1              „    8 u 82 u 83 u где коэффициенты Fn u,—,—^,— ^ dt  8x  dx'

\

■³ J

в конечной сумме правой части

последней зависимости являются некоторыми полиномами по отношению к

8 u 8 u 82 u 83 u u,       ,       ,         , dt 8x 8x2

Для уравнения (5) будем рассматривать краевые условия, что соответствуют шарнирному закреплению концов патрубка [3], то есть u (x, t) x=0 = 0, ^-u (x, t)x=0 = 0 .

I x=l         8x

Таким образом, исследования колебаний механической системы «патрубок - движущийся поток зерна» свелось к построению и анализу решения уравнения (5) при наличии краевых условий (7).