Математическая модель оценки глубины ванны расплава в процессе 3D‑печати по технологии селективного лазерного сплавления

В настоящее время аддитивные технологии и, в частности, селективное лазерное сплавление (Selective Laser Melting, SLM) широко применяются в различных сферах для получения изделий сложной геометрии из металлических и керамических материалов. Качество конечного продукта (плотность, микроструктура и отсутствие дефектов) напрямую определяется тепловыми процессами, возникающими при локальном высокоинтенсивном лазерном воздействии на материал. В зависимости от особенностей реализуемого процесса происходит образование ванны расплава, ее затвердевание и, как следствие, формирование пористости, трещин и остаточных напряжений [1, 2].

Численное моделирование теплопереноса и фазовых переходов является ключевым инструментом для анализа и оптимизации режимов SLM, особенно в условиях, когда экспериментальные измерения затруднены из-за экстремально высоких температур и малых пространственновременных масштабов [3, 4]. Значительный объем исследований посвящен математическому моделированию лазерного сплавления с учетом теплопроводности, гидродинамики расплава, испарения и формирования свободной поверхности [5–7]. В частности, для лазерной обработки тугоплавких керамических материалов, таких как оксид алюминия (Al₂O₃), разработаны модели, учитывающие температурозависимые свойства, скрытую теплоту фазовых переходов и граничные условия конвективного и радиационного охлаждения [8, 9].

Несмотря на достигнутый прогресс, большинство существующих моделей ориентированы на получение детальных численных распределений температуры, скорости или геометрии расплава. В то же время для инженерного анализа и быстрого прогнозирования технологических режимов (например, для определения глубины проплавления или оценки температуры в заданной точке) крайне полезны простые, но адекватные аналитические или эмпирические зависимости, связывающие ключевые параметры процесса.

В настоящей работе получена аналитическая зависимость между температурой в точках оси симметрии ванны расплава оксида алюминия и их удалением от поверхности образца при воздействии одиночного лазерного импульса. Задача решается на основе численного моделирования нестационарного теплового поля в программном комплексе COMSOL Multiphysics для диапазона энергий импульса от 0,5 до 2 Дж с последующей статистической обработкой результатов и оценкой значимости полученной зависимости.

Постановка задачи

В основу моделирования теплового поля T ( x , y , t ) положено нестационарное уравнение теплопроводности с объемным источником тепла от лазера:

дТ (д^Т д2Т\.

Р^р я? - ^ яТа +(1)

' at \дх2 оу2)

где ρ – плотность алюмооксида (кг/м³), C_p – его удельная теплоемкость (Дж/(кг·К)), k – теплопроводность (Вт/(м·К)). Удельная теплоемкость при постоянном давлении:

СР = Ср,0 + 5mLm + (^) Н'((Т - Тт), ДТ) + 6VLV + (Ь) Н'((Т - ТД ДТ)(2)

зависит от теплоемкости C_p,0 = 880, функций нормализации температуры плавления δ_m и нормализации температуры испарения δ v :

Ч-ЧЯ

'm лтЧ

5V =

ч-чя лтЧ ’

скрытой теплоты плавления L m = 1067,43 Дж/г, скрытой теплоты испарения L v = 1066,5 Дж/г, температуры плавления T_m = 2324 K, температуры испарения T_v = 3273,15 K, полуширины кривой ΔT = 30 К и функции Хевисайда Hˊ [9–10]. Температурозависимые коэффициенты ρ , C p , k определяются кусочно-аналитическими функциями [9].

На рис. 1 представлена геометрия модели. Стрелками сверху (граница 1, рис. 1) обозначена область воздействия лазера, плотность теплового потока которого характеризуется гауссовым распределением (Вт/м2):

Здесь Ф = 100 мкм – стандартное отклонение гауссова лазерного луча, xr = 1000 мкм – опорная точка, соответствующая центру лазерного луча, D = 0,6 мм – диаметр луча, B = 0,25 – поглощательная способность, Pw = 0,5 мс – длительность импульса, Ep – энергия импульса. Также на границе 1 наблюдаются естественное конвекционное охлаждение и излучение (пульсирующий лазерный источник тепла), которые задаются равенством:

-к— = рр_д - h(T - т_а) - мт⁴ - т_а⁴),                          (5)

где β – прямоугольная функция параметра включения и выключения лазера, σ = 5,67·10^–8 Вт/ (м²·К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана, ε = 0.7 – излучательная способность, T_a = 293,15 К – температура окружающей среды, h = 10 Вт/(м²·К) – коэффициент теплоотдачи.

На границах 2 и 3 накладываются условия конвективного теплообмена, на границах 4 и 5 – радиационные потери, на границе 6 – краевое условие:

ЗТ                        „,

-к — = h(T - Та) - ЧТ4 - т41(6)

ЗТ                      „„

-к — = h(T - Та) - ае(Т4 - Т4\(7)

В начальный момент времени во всей расчетной области температура равна температуре окружающей среды T(x, y,0) = T0 = 293,15 K.

В работе [11] исследована реакция керамического материала на воздействие одиночного лазерного импульса в 1 Дж с гауссовым профилем плотности мощности. В результате моделирования были получены температурные распределения в точках 1–8 расчетной области (рис. 2) и установлена локализация зоны расплава относительно аппроксимирующих парабол. В [11] отмечено, что температура в ванне расплава по мере удаления от границы 1 (рис. 2) уменьшается нелинейно. Это представляет отдельный интерес с технологической точки зрения и, следовательно, задача установления аналитической зависимости между температурой в отдельно взя- – 817 –

Рис. 1. Двумерная геометрия модели (1 µm = 10–6 м)

Fig. 1. Two-dimensional geometry of the model (1 µm = 10–6 м)

Рис. 2. Точки, исследованные в [11]

Fig. 2. Points investigated in [11]

той точке ванны расплава и ее удаленностью от поверхности воздействия требует отдельного рассмотрения.

Методология исследования

В качестве исходных данных для математического моделирования использованы параметры лазера JK 701 Lumonics и керамического образца из оксида алюминия (Al₂O₃) [9]. Проведена серия замеров температуры ниже центра области воздействия лазерного импульса (рис. 1, 2) при различных значениях энергии импульса лазерной установки, с целью установления в точках оси симметрии ванны расплава аналитической зависимости между температурой и расстоянием до границы 1. Используя полученные данные, определены уровень статистической значимости F эм и доля дисперсии результативного признака R ².

Численное решение поставленной задачи проведено в программном комплексе COMSOL Multiphysics [12], широко используемом при моделировании сложных термодинамических процессов, характерных для селективного лазерного плавления и обладающих необходимыми вычислительными возможностями.

Анализ и обсуждение результатов

На основе имитационного моделирования в COMSOL Multiphysics для энергии импульса лазерной установки E p в диапазоне от 0,5 до 2 Дж была определена температура в точках оси симметрии ванны расплава, начиная с глубины l₀ = 10^–5 м с равным шагом до дна ванны, т.е. до тех пор, пока в замеряемых точках Т>2324 К в начальные моменты времени (рис. 3).

В ходе регрессионного анализа для полученных данных установлена функциональная зависимость вида:

где l – расстояние от точки до поверхности ванны расплава (10^–6 м), T – температура материала . В табл. 1 в зависимости от энергии импульса определены параметры a, b и для каждого случая рассчитаны оценка уровня средней ошибки аппроксимации A (%) и множественный коэффициент детерминации R ²:

Рис. 3. Распределение температур в точках оси симметрии ванны расплава на глубине (1) – 2·10–5 м, (2) – 3,8·10–5 м, (3) – 5,4·10–5 м, (4) – 5,8·10–5 м при энергии импульса лазерной установки: а) 1 Дж b) 2 Дж

Fig. 3. Temperature distribution at points of the axis of symmetry of the melt bath at a depth of (1) – 2·10–5 m, (2) – 3,8·10–5 m, (3) – 5,4·10–5 m, (4) – 5,8·10–5 m at a laser system pulse energy of: a) 1 J b) 2 J

Таблица 1. Значения параметров соотношения (9) для различных энергий импульса. Оценка средней ошибки аппроксимации и множественного коэффициента детерминации

Table 1. Values of the parameters of relation (9) for different pulse energies. Estimate of the average approximation error and the multiple determination coefficient

E p (Дж)	a ·10–8	b ·10–8	A (%)	R 2
0,6	-35298	-365978199	2,66	>0,99
0,7	-23277	- 381453239	0,07
0,9	-18079	- 385520937	0,08
1,0	-17290	- 381940451	0,17
1,2	-13909	- 387126327	0,13
1,4	-12225	- 385993575	0,21
1,6	-10579	- 387112849	0,24
2,0	-9077	- 383346850	0,39

Здесь l i – эмпирический показатель глубины для текущей точки ванны расплава, n – число замеров. Полученные результаты показали допустимую ошибку аппроксимации менее 10 % и высокую долю дисперсии результативного признака (более 99 %).

Также заметим, что параметр a зависит от E_p следующим образом:

a(E_p) = 17 ■ 10“^s - Ер”¹. (12)

Полученное выражение a(E p ) имеет низкую ошибку аппроксимации менее 3 % и высокий процент дисперсии результативного признака (более 99 %). Таким образом, из соотношений (9), (12) и результатов табл. 1 следует, что аппроксимирующая функция зависимости от температуры в отдельно взятой точке оси симметрии ванны расплава ее удаленности от поверхности воздействия лазера имеет вид:

IgZ = -17 ■ 10“5 ■ Ep-1 ■ Г - 3,8. (13)

Соотношение (13) верно и статистически значимо для значений E_p в диапазоне от 0,5 до 2 Дж и T > 2324 К, что подтверждается критерием Фишера (табл. 2) – все эмпирические значения F_эм превышают табличное F_таб при уровне значимости 0,01. Также в ходе исследования отмечено снижение средней ошибки аппроксимации при наименьших значениях энергии импульса лазерной установки E_p от 0,5 до 0,6 Дж. Для остальных E_p замечено незначительное повышение, не превышающее 1,5 %. Высокое значение множественного коэффициента детерминации составляет более 99 %.

Необходимо отметить, что ограничения на указанный диапазон импульса лазерной установки продиктованы ее техническими возможностями (от 0,5 Дж) и физико-химическими характеристиками образца (до 2 Дж). Очевидно, что чем выше энергия лазерного импульса, тем глубже ванна расплава и выше начальная температура на поверхности материала. При этом необходимо учитывать, что для энергии импульса свыше 2 Дж в образованной ванне расплава с глубиной порядка 10–4 м более 60 % образца находятся в состоянии кипения. Это требует введения в используемую математическую модель дополнительных условий или построении новой.

Таблица 2. Значения параметров соотношения (13) и оценка его статистической значимости в зависимости от энергии импульса

Table 2. Values of the parameters of relation (13) and assessment of its statistical significance depending on the pulse energy

E p (Дж)	a ( E p )·10–8	A (%)	F эм	таб
0,6	-28333	0,93	25,89	4,74
0,7	-24286	0,45	100,83
0,9	-18889	0,31	225,37
1,0	-17000	0,58	81,61
1,2	-14167	1,13	58,43
1,4	-12143	1,29	26,08
1,6	-10625	1,39	36,34
2,0	-8500	1,47	51,91

Заключение

Разработанная модель позволяет проследить для лазерной установки с малыми энергиями импульса из диапазона от 0,5 до 2 Дж динамику теплового воздействия на керамический образец из оксида алюминия в зоне ванны расплава. Полученная аппроксимация отражает аналитическую зависимость между температурой и глубиной расположения точки в центре ванны расплава, позволяет расширить представления об особенностях физико-химических процессов, проходящих внутри ванны расплава и уточнить информацию о фазовых переходах. Предложенная техника в дальнейшем может быть использована для получения аналогичных результатов при исследовании теплового воздействия лазерного импульса на других образцах, и в зависимости от их температуры плавления предполагает возможность увеличения энергии импульса.