В настоящее время потребительский интерес к композитной полосовой продукции, состоящей из разнородных материалов, постоянно возрастает [1]. Это связано с уникальностью свойств такой продукции, которые недостижимы при производстве полос из монометаллов. Однако процесс получения многослойной продукции существенно осложняется по сравнению с прокаткой монополос, что приводит к необходимости поиска новых, нестандартных технологических решений, в том числе и на основе математического моделирования.

К негативным последствиям процесса прокатки биметаллических полос можно отнести появление и непредсказуемость в настоящее время кривизны полосы на выходе из очага деформации [2]. Поскольку при прокатке биметаллических полос имеет место не-симметрия свойств металлов по высоте очага деформации, из-за которой и появляется кривизна полосы, наиболее подходящим способом получения таких является несимметричная прокатка с противоположным влиянием несимметрии контактных условий [3].

Одним из вариантов такой несимметричной прокатки является прокатка с кинематической несимметрией контактных условий, получаемой за счет рассогласования окружных скоростей рабочих валков [4]. Следует отметить, что в настоящее время известно достаточно большое количество исследований, посвященных моделированию процессов прокатки с кинематической несимметрией контактных условий [5–7]. Однако работы, одновременно учитывающие несимметрию механических свойств прокатываемого металла и кинематических контактных условий, а также различие в усилиях, действующих на рабочие валки, практически отсутствуют.

Поэтому целью данного исследования является разработка математической модели несимметричной прокатки биметаллических полос, позволяющей прогнозировать в том

числе появление и характер кривизны полосы на выходе из валков.

1. Материалы и методы

Для достижения поставленной цели необ-

ходимо прежде всего описать границы, или геометрию, очага деформации [5]. При этом будем рассматривать прокатку композитного материала, состоящего из мягкого (алюминиевого) и твердого (титанового) слоев с более толстым мягким слоем. Мягкий слой контактирует с рабочим валком, имеющим меньшую скорость (ведомым), соответственно твердый слой контактирует с рабочим валком, имеющим большую скорость (ведущим). Схема рассматриваемого очага деформации приведена на рис. 1.

Рассматриваемыми геометрическими параметрами очага деформации при этом яв-

ляются: уравнение, описывающее границу контакта твердого слоя биметалла с ведомым валком; уравнение, описывающее границу контакта мягкого слоя биметалла с ведущим

валком; уравнение, описывающее границу

контакта твердого и мягкого слоев по линии сплавления биметалла, и уравнения для оп-

ределения вспомогательных геометрических параметров. В результате получено следующее:

• 1)    уравнение для определения границы контакта твердого слоя биметалла с ведомым прокатным валком :

2) уравнение для определения границы

контакта твердого и мягкого слоев по линии сплавления внутри биметалла :

• У_{2 =} ^М М _∙ X +ℎг Т ^-т;

• 3)    уравнение для определения границы контакта мягкого слоя биметалла с ведущим

прокатным валком :

=

ftp-^i 2∙ I

∙

∙   +    ;

2 ’

• 4)    длина очага деформации:

I=     ∙(ℎО -ℎ1);

Рис. 1. Геометрический очаг деформации с указанием действующих на него сил Fig. 1. Geometric deformation zone with the forces acting on it indicated

• 5)    угол захвата со стороны прокатных валков:

  ^α=

  
  

  _;

  R ^;

  
  

• 6)    угол на контактной границе твердого слоя с мягким:

P_ 0 , 5 ∙(ftp-^i) ( ftpТв~^iТ)

Принятые обозначения соответствуют рис. 1.

С учетом полученных уравнений рассмотрим условия равновесия очага деформации согласно расчетной схеме, представленной на рис. 1.

При этом условие равновесия проекций действующих сил на направление Оx примет вид:

V                 _{∙        ∙}             ¹   _∙        ∙-    ∙        ∙        ∙            ¹   _∙ a h

• ∑ =τ0 _ a∙соѕ ∙  +       ∙sin ∙ -τq∙      ∙cos ∙  +       ∙sin ∙+

0 cos— 2          COS2 2        0 COS2 2         COS2 2

2                               2                                  22

+ τ1 a∙cos7 ^∙ b -τi ^∙ Ct ∙cos7 ^∙ b =          + Polb tg 7 ^∙ b ^- /о ^∙ Po ^∙ (l ^- ^yo) ^∙ b +

COS       "            COS        ""

+ Pilb tg 2∙b+ /1 ∙ Pl ∙ *yl ∙b- flpl (I- %yi )b=0, откуда получаем зависимость

/о ∙Xyo+t∙ ^■A ∙( I Xyo )

Pl =     ∙ /1 ∙ (l XyJ I ∙tg^-fl ∙

Условие равновесия проекций действующих сил на направление Oy можно записать в виде:

V V — T- Zvo ∙     ∙-   ∙     ∙ a h         ∙     ∙-∙

∑  =-τ0     ∙sin ∙  -τо∙      ∙sin ∙ +PO z™“∙cos ∙ -τ      ∙sin ∙-

COS— 2           COS— 2          COS— 2          COS— 2

2                                  2                                22

^Y1 ∙   ∙-    ∙   ∙  - ∙∙  ∙  ∙-∙∙-A

• -τ 1 _∙        ∙sin ∙ -         ∙cos ∙   =-    ∙    ∙     ∙tg ∙ -   ∙    ∙   -      ∙tg ∙ +

cos ∙D     Z        COS— ^                 '2             '‘

+ Po ∙I∙b- fi ∙ Pi ∙ (f - •^yl) ∙tg ∙b- fl ∙ Pl ∙ •^yl ∙tg ∙b- Pl ∙I∙b = 0, откуда получаем зависимость

/1 ^∙ (l ^xyl) ^∙tg^+A ^∙^yi + 1

Po =     ∙if + a f         \ . ct.

l-fo ^{∙ x}yO ^∙tg--fo ^∙ 0~X_Yo) ^∙ tgy

Считается, что для условий холодной деформации закономерности трения предпочтительно описывать законом Амонтона – Кулона [8], тогда

Л∙ (l Xyl) I ∙ tg~/l ∙^Y1    fo ∙Xyo + t ∙ tg^-fo ∙( I Xyo )

/1 ∙(^ ^XY1)∙ ^+fl ∙Xyl+i     I fo ∙ ^tgI ∙^YO /о ∙(^ ^yo)∙   ^.

Полученное уравнение (3) является условием осуществления процесса несимметричной прокатки тонких полос из труднодеформируемых сплавов при отсутствии продольных усилий, при- ложенных к концам полосы.

Для дальнейшего исследования необходимо определить составляющие баланса мощностей, что невозможно без построения кинематически возможного поля скоростей. В настоящее время известны различные варианты построения полей скоростей для несимметричной прокатки [9]. Основополагающей схемой для построения актуального поля скоростей является схема, приведенная на рис. 2. При этом стоит отметить, что положение нейтральных углов заранее неизвестно и подлежит определению.

Рис. 2. Расчетная схема очага деформации Fig. 2. Calculation scheme of the deformation zone

Поскольку при листовой прокатке поперечным течением металла можно пренебречь, усло- dU_x dU_y вие несжимаемости примет вид =-   .

ay

В качестве кинематических граничных условий для рассматриваемого очага деформации (см. рис. 2), соответствующего процессу несимметричной прокатки биметаллических полос, примем следующее:

• 1)    ^Uy М | У=Уо =0;

• 2)    Uy М | y=+h = _М∙tgα;

• 3)    Uy Т |      = Т ∙tgα;

М      Т

• 4)    -^4 = или Uy_M = и _уТ; ^{М Т}

• ^{5)    U} yM    ^U xM ' tg^e;

• 6)    и_ут = U_xt ■ tge.

Также кинематика очага деформации должна удовлетворять условию постоянства секундных объемов ( U_х ■ S_x = const), причем оно должно выполнятся для каждого из слоев.

Определим продольную компоненту вектора скорости материальных частиц для мягкого слоя U_x m . Согласно условию постоянства секундных объемов получим

^S x М ' ^U xM = ^S xMy1 ' ^U b 1 ' ^cosa •

При этом, площадь произвольного поперечного сечения мягкого слоя S_x m будет равна

Sxm = Ь • [(у + * ■ tga) + (^ + % ■ tgp)] = b • (у + х • tga + у - ^т + х • tgp), или

М =  ∙[ℎ -ℎ Т +(tgα+tgβ)∙ ] .

В результате путем подстановки получим, что вектор скорости для мягкого слоя U_x m равен

Т (           )∙

^{М =}          Т (         )∙    ^{∙ в}

■ cosa.

Дальше определим вертикальную компоненту вектора скорости для мягкого слоя U yM . Поскольку из условия несжимаемости следует ^_хх = - уу 4 ;у компоненты тензора скоростей деформаций), вертикальная компонента вектора скорости U_yM может быть получена следующим образом:

_М=∫ξ _М =-∫ξ _М .

В свою очередь ^ххМ равна

ξ М =

М дх

Т (           )∙

(          Т (           )∙ )

∙ в

■ (tga + tge) • cosa,

откуда

М =

--

.     .  .      • ^U b 1 • (tga ⁺ tge) • cosa) d %,

или

М ⁼

Т ()∙

∙    ∙  ∙(tgα+tgβ) ∙cosα+ .

(         Т (           )∙ )

Константу интегрирования определим, опираясь на первое граничное условие ( U _уМ|_У=У0 = 0) ^:

-

Т ()∙

∙    ∙   ∙(tgα+tgβ) ∙cosα .

(         Т (           )∙  )

В результате, учитывая, что =      ^Т , получим для мягкого слоя:

Т (           )∙

^М     (        Т (          )∙ )      ^в

-

^-^ Т ) • (tga + tge) • cosa.

Аналогично построим поле скоростей для твердого слоя:

Т ⁼

Т ⁼

Т ()∙

Т ()∙

Т ()∙

( Т ()∙ )

■ U_b0 • cosa;

У

-

^{∙ ∙}     ∙(tgα-tgβ)∙cosα-

-

Т (           )∙

-------------• U_b0 • sina.

Т (          )∙        ^в

Таким образом, построено кинематически возможное поле скоростей для процесса несимметричной прокатки биметаллических полос, которое описываются формулами (4)-(7).

Построенное кинематически возможное поле скоростей позволяет определить интенсивность скоростей деформаций сдвига ^ для каждого из слоев биметалла, необходимую для расчета мощности формоизменения.

Для мягкого слоя интенсивность скоростей деформаций сдвига примет вид

ℋ м = 2^ххМ^+ξ хуМ = 2^(( UxМ)^′х) ² +( 2 ∙(UyМ)^′х) ² .

Для твердого слоя интенсивность скоростей деформаций сдвига примет вид

ℋТ=2 Ji хх Т^+ξ хуТ = 2^« их Т )^′ х) ² +( 2 ∙( UyТ)^′х) ² .

Уравнение баланса мощности, описывающее процесс несимметричной прокатки биметаллических полос без приложения тянущих сил к концам полосы, содержит следующие составляющие:

– мощность формоизменения в очаге деформации N ф ;

– мощность сил трения на контакте с ведомым валком ^ тО ;

– мощность сил трения на контакте с ведущим валком N ti .

Как известно [10], мощность формоизменения в общем случае определяется выражением

N ф ⁼∫ Z ^T s ℋ dV.

С учетом полученных ранее выражений для послойных значений ℋ мощность формоизменения будет равна

Nф=∫ τО ℋТdV+∫zτi ℋМ dV, или

N Ф = / ( ; ∫ *^ь ∙τ О •2J(( их Т )^′ х ) ² +( 2 ∙( Uy Т )^′ х ) ²dydx +

+∫ ; ∫ y^ ∙τ i •2j( ихМ)′ х ) ² +( 2 ∙( Uy М )′ х ) ²dydx .                                     (8)

Интеграл по объему в этом выражении может быть вычислен с помощью численных методов, поскольку подынтегральное выражение является нетабличным.

Полезная мощность сил трения на контактной поверхности с ведомым валком вычисляется как мощность сил трения на скорости металла, то есть

N to = /₍ X^YO b ■4∙(Uв О ^- UxТ)dx+∫ X   ^-b ∙τ О ∙(Uв О ^- UxТ) dx ,

О                                         Jc YO или

_                      ^b' ^т о ■ U в о■ cosa■(h 1 Т + ⁽ tga-tgP )∙ ^x Yо ) . 1 I h 1 Т + ( tga-tgP )∙ I

тО = b ∙τo■Uво■I --о-----------!--In I----------------- t(         ( в 0                   tga-tgP                          h1Т

Аналогично для полезной мощности сил трения на контактной поверхности с ведущим валком можно записать

Nti = Л XY1 -b ∙τ1∙(Uв1- UxМ)dx+∫ '  -b ∙τi∙(Uв1- UxМ) dx , или

N ti

^- b ∙τ i■ U в1

h1-h1Т+( tga+tgP)∙хГ1∙cosα∙ln (h1-h1Т+( tga+tgP)∙ l-∙cosα∙ln ( tga+tgP                           h1 -h1Т

Согласно уравнению баланса мощностей сумма выражений (8)–(10) должна быть равна нулю. Таким образом, если их просуммировать, получится уравнение, содержащее две неизвестные величины Xyo и X yi .

Таким образом, приведенное поле скоростей построено с точностью до двух параметров X yo и X yi . Поскольку одно уравнение не позволяет определить две неизвестные, необходимо установить связь между X y0 и X yi .

Поскольку одна из неизвестных относится к мягкому слою, а вторая – к твердому слою, для определения связи между ними, очевидно, необходимо использовать условия на линии сплавления. С этой целью рассмотрим закономерности изменения компонент вектора скорости в сечении, соответствующем координате нейтральной точки на контакте с ведомым валком (рис. 3).

Рис. 3. Разложение вектора скорости Fig. 3. Decomposition of the velocity vector

На линии сплавления имеет место разрыв поля скоростей. При этом, как известно, нормальная к поверхности разрыва составляющая вектора скорости разрыв иметь не может. Следовательно, вектор скорости на линии сплавления должен быть направлен по касательной к линии сплавления и величина этого вектора должна быть одинаковой как для мягкого, так и для жесткого слоя. Из этого следует, что

т  (           )∙ т  (           )∙

∙ в

∙cosα=

U в Ocosa

или

_в             т (           )∙

^{%Y 1}     и в 1     ti 1 - >г i т+ Ctg a+tg p )    ’

Заключительным этапом в разработке данной математической модели является выведение расчетной формулы для определения численного значения кривизны полосы. Для этого воспользуемся рис. 4.

В таком случае определим длину каждого слоя полосы на выходе из очага дефор-

Рис. 4. Схема выхода полосы из труднодеформи-руемых сплавов из очага деформации

Fig. 4. Diagram of the exit of a strip of difficult-to-deform alloys from the deformation zone

Для мягкого слоя:

l м = H im ■ t = (RKp + hi) ■ ш.

мации.

1. Для твердого слоя:

где ω=

М ∙

^R Кр ⁺ h i ’

IТ = ^1Т ’ t = /?Кр ■ ш,

∙ где ω= ^Т Кр

откуда получим, что радиус искривления полосы из труднодеформируемых сплавов можно определить следующим образом:

n _ ^1 Т∙ ^1

Кр=У1М -Ut Т, где ^1T =     |x=o ;

• ^1M =     |x=o .

• 2. Численная реализация математической модели и анализ результатов

По итогу, зная радиус искривления полосы на выходе из очага деформации и используя известную формулу для определения кривизны, можно получить численное значение кривизны полосы из труднодеформируемых сплавов:

Кр= R _Кр .                                (  )

В результате получаем математическую модель процесса несимметричной прокатки полос из труднодеформируемых сплавов, позволяющую прогнозировать появление кривизны биметаллических полос на выходе из очага деформации.

С целью оценки и проверки работоспособности полученной математической модели произведены расчеты для определения энергосиловых параметров и кривизны при несимметричной прокатке алюмотитановых полос. При выполнении расчетов использовались данные, приведенные в табл. 1, а полученные результаты расчетов представлены в табл. 2.

Для тех случаев, когда сумма мощностей не равна нулю, можно рассмотреть варианты более детального расчета. Например, учесть в уравнении баланса мощности среза в плоскости входа (13) и в плоскости выхода полосы (14):

Таблица 1

Таблица 2

Исходные данные для расчетов полученной математической модели

Table 1

Initial data for calculations of the resulting mathematical model

Образец	Параметр
	ℎ0, мм	ℎ1, мм	ℎ0М, мм	ℎ1М, мм	ℎ1Т , мм	b , мм	и в1, м/с	и в0, м/с	Ku	/о	A
1	0,4	0,1	0,31	0,23	0,08	40,0	0,02	0,022	1,1	0,1	0,1
2	0,4	0,1	0,31	0,23	0,08	40,0	0,02	0,024	1,2	0,1	0,1
3	0,4	0,1	0,31	0,23	0,08	40,0	0,02	0,026	1,3	0,1	0,1

Результаты расчетов по разработанной математической модели

Table 2

Results of calculations using the developed mathematical model

Расчетный параметр	Образец
	1	2	3
Координата нейтрального сечения на контакте ведомого валка ( X γ Q ), мм	0,82	0,96	1,02
Координата нейтрального сечения на контакте ведущего валка ( X γ ), мм	0,75	0,60	0,45
Отношение координат нейтральных сечений ( γ ) X γ1	1,09	1,60	2,26
Отношение координаты нейтрального сечения на контакте ведомого валка к длине очага деформации ( γ - )	0,29	0,34	0,36
Отношение координаты нейтрального сечения на контакте ведущего валка к длине очага деформации ( γ - )	0,26	0,21	0,16
Мощность формоизменения (TV ф ), кВт	1,569	0,976	0,445
Полезная мощность сил трения на контактной поверхности с ведомым валком (TV τ [■) ), кВт	0,810	0,837	0,913
Полезная мощность сил трения на контактной поверхности с ведущим валком (TVτ1 ), кВт	2,267	1,913	1,448
Сумма мощностей	0,11	0,10	0,09
Прогнозируемая кривизна полосы на выходе из очага деформации, мм	18,50	28,57	30,30

^CO =∫;o ^τ_s UydS =∫?o Т ^τ s Т UydS +

+∫_;oМ^τ s М UydS ;                    (13)

^ci =∫ ^τ £ Uy dS =∫ Т ^τ s Т UydS +

+∫ М ^τ s М UydS .                    (14)

Заключение и выводы

Анализируя результаты математического моделирования, представленные в табл. 2, можно сформулировать некоторые выводы.

1. Для уменьшения кривизны полосы опережение на контакте ведомого валка с

твердым слоем должно быть больше, чем на контакте ведущего валка с мягким слоем.

• 2.    Выбранный скоростной режим прокатки обеспечивает допустимые значения нейтральных углов, входящих в длину очага деформации по оси Ox .

• 3.    С увеличением рассогласования окружных скоростей прокатных валков происходит уменьшение кривизны, что соответствует действительности.

Таким образом, можно сделать вывод, что математическая модель показала эффективную работоспособность в отношении тонких полос из труднодеформируемых сплавов.