Математическая модель процесса передачи информации в экономической макросистеме

Использование макросистемного подхода к процессам ресурсо-обмена позволило получить оценки эффективности функционирова- ния термодинамических и экономических систем в условиях ограниченной продолжительности (или интенсивности) протекающих в них процессов [1]. Эти процессы представляют собой процессы ресурсооб-мена, причем ресурсы подчиняются закону сохранения: общий запас ресурса в замкнутой системе во времени не изменяется. Это означает что в ходе ресурсмообмена между двумя подсистемами A и B , запасы ресурса NA и NB связаны соотношением

dNA   dNB dt        dt

Однако, существует ресурс, для которого уравнение (1) не выполняется: этот ресурс –– информация. Действительно, если подсистема A передает информацию подсистеме B , то запас информации у A не уменьшается, а у B –– растет. Вместе с тем, общее количество семантической информации [2] в системе остается неизменным, изменяется только распределение информации по подсистемам. Далее

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №10-06-00161a.

рассмотрена математическая модель системы, в которой происходит обмен информацией и предложены показатели эффективности передачи информации, учитывающие ограничение на продолжительность процесса обмена. С использованием этой модели получены условия оптимальности для задачи определения интенсивности рекламной деятельности предприятия.

• 2.    Макросистемный подход к описанию процессов обмена

Рассмотрим систему, состоящую из подсистем, таких что внутри каждой из подсистем процессов обмена ресурсами не наблюдается. Подсистемы могут быть однородными или состоять из элементов, находящихся между собой в состоянии равновесия при любом изменении запасов ресурсов. Такая система называется макросистемой [1] . Подсистемы обладают запасами ресурсов, эти запасы изменяются за счет ресурсообмена между подсистемами. будем предполагать систему замкнутой, в такой системе не существует обмена ресурсами между системой и ее окружением.

Для построения математической модели макросистемы требуется [1] :

• •    выделить среди переменных, характеризующих подсистемы, экстенсивные и интенсивные переменные;

• •    записать для подсистем уравнения состояния, связывающие экстенсивные переменные, и найти выражения, позволяющие с помощью уравнения состояния определить интенсивные переменные;

• •    выразить через интенсивные переменные величины потоков ресурсов между подсистемами;

• •    записать систему балансовых уравнений; среди этих уравнений выделить одно, содержащее неотрицательное слагаемое, характеризующее необратимость процесса.

• 3.    Математическая модель передачи информации

Используя такую методику, рассмотрим систему передачи информации, как макросистему.

Рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем A и B , обменивающихся друг с другом информацией. Каждая из подсистем заинтересована в решении определенных задач и характеризуется функцией P , описывающей результативность решения (экономический эффект, вероятность решения задачи и т. д.) в зависимости от имеющейся у подсистемы информации. В зависимости от вида этой функции подсистема заинтересована в передаче, получении или охране информации от другой подсистемы.

Пусть подсистема A передает информацию подсистеме B . Объем информации, находящийся в распоряжении подсистем можно разделить на

• •    информацию, которая имеется только у подсистемы i (i е { A, B } ); обозначим запас такой информации K _i ;

• •    информацию, переданную подсистеме B ; обозначим количество этой информации –– J _A ;

• •    информацию, которая воспринята подсистемой B (обозначим количество такой информации I ) - эта информация является общей для подсистем A и B .

Результативность решения задач подсистемой A зависит от информации, имеющейся в ее распоряжении и переданной информации подсистеме B , однако, эта подсистема не может контролировать восприятие информации подсистемой B . Поэтому целесообразно использовать оценку результативности подсистемой A, так что P a = P a (K a , J д') . Для подсистемы B зависимость результативности решения задач P b = P b ( K b ,I ).

В замкнутой системе количества информации K a + J a , K b не изменяются во времени, поэтому по одному аргументу из уравнений состояния можно сократить. Таким образом, уравнения состояния подсистем A , B , можно записать как

• (2)                  P a = P a ( J a ) P b = P b (I ).

Введем также величину S A , представляющую собой потери информации, то есть часть информации, которая была передана подсистемой A , но не воспринята подсистемой B .

Изменения величины P i (i е { A, B } ) за счет обмена информацией представляют собой ценность информации [3] :

dPA       dPB vA = IJA, vB = "IT

Положительное значение v i i е { A, B } соответствует положительной мотивации i-ой подсистемы к обмену информацией, в случае, когда v i < 0, i-ая подсистема препятствует передаче или приему информации. Поэтому интенсивность потока информации q A (v A ,v B ) можно представить в простейшем случае, как

q A (v A ,v B ) = a(v A + v B ).

где α –– размерный коэффициент пропорциональности.

Интенсивность потока информации q A определяет изменение запасов информации у подсистемы A:

dJ A dt

dK A

-г- = q A ^{( v}A^,vB )- dt

Интенсивность получения информации подсистемой B q B < q A (v A , v B ), так как существует доля информации, не воспринимаемая получателем [4] . Эта доля возрастает с увеличением интенсивности информационного потока. При обратимом процессе обмена информацией, когда q A = 0 вся переданная информация может быть воспринята; в случае, когда q A ^ го , доля воспринимаемой информации стремится к нулю:

• (6)         q B = p(q A )q A ;   lim p(q A ) = 1, lim p(q A ) = 0.

q A →0            q A →∞

Величина p(q A ) может иметь вероятностный смысл, как вероятность того, что элементарное количество информации, отправленное подсистеме B , будет ею воспринято. Одной из возможных функций p ( q A ), является экспоненциальная

p(q A ) = e ^kq A .

В каждый момент времени значение p показывает эффективность процесса обмена, однако среднее значение p за все время процесса неинформативно. Для определения показателя эффективности информационного обмена запишем баланс для величины S A = J A — I :

dS A = ⁽1 ^— p⁽q A ))q A = ст > 0-

Величина σ представляет собой скорость потерь информации за счет необратимости связанной с восприятием информации. По аналогии с термодинамическими и экономическими системами эту величину можно назвать диссипацией информации.

Нетрудно показать, что величина σ и показатель эффективности p связанны монотонно. Выразим σ через p. Получим

0 и dσ dp

a = — — (1 — p) In p.

dσ

Производная — = dp

—7" [1 - p(1 + lnp)] Поскольку p E [0,1] то Inp < выражение в квадратных скобках всегда положительно. Поэтому < 0 при всех возможных значениях p.

• 4. Предельная эффективность информационного обмена в замкнутой системе

Информация является одним из основных факторов, влияющих на поведение экономических агентов [5] . Одним из процессов информационного обмена в экономических системах является рекламная деятельность. Задача рекламодателя –– обеспечить максимальную эффективность рекламы, при заданном объеме доведенной до потребителя информации о товаре. При этом ценность этой информации для потребителя может меняться (снижаться вплоть до отрицательных значений при недобросовестной рекламе или повышаться, когда информация, содержащаяся в рекламе, совпадает с ожиданиями потребителей):

• (10)                             v b = v b (I ).

Это означает, что потребитель рассматривается, как пассивная подсистема с заданной функцией P b (I ), а рекламодатель—как активная подсистема, имеющая возможность произвольно изменять v A . В качестве критерия оптимальности выберем среднее за промежуток времени т значение диссипации информации ст. Задачу рекламодателя можно формализовать следующим образом:

a = I [ 1 — p ( q A ( vA/v B (I ) ))] q A ^ V A , V B (I) ) dt ^ m^x 0

при условии

• (12)    I = pUa ( v a ,v b (I ) ) )q A ( v A ,V B (I ) ) , I (0) = I o ,   I ( t ) = I f .

Значение I F задано, так как общее количество доведенной до потребителя информации фиксировано.

Поскольку направление потока информации в ходе процесса не изменяется, можно провести замену переменной интегрирования в задаче (11) , (12) :

dt

dI

p(q A (v A ,V B (I )))q A (v A ,V B (I ))

С учетом этой замены задача примет изопериметрическую форму. Учтем также, что управление v A не содержится явно в задаче (11) , (12) . Поэтому, в качестве управления можно использовать поток информации q A . Перепишем постановку задачи:

I F

IF f dI _

J p(q A )q A      .

I 0

/1 - p⁽q A )

---—-— dI ^ max p(q A )            q A

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

• ⁽¹⁵⁾                 L =   ^{1    1 -} p ⁽ q A ) ^- — ,

p(qA)               qA dL а условие -— = 0, определяющее оптимальное решение приводит к dqA требованию

q A

E (q A ) + ¹

λ

= const,

dp q A dq A p

где E(q A ) =

представляет собой величину эластичности вос- приятия информации потребителем. Для зависимости p(qA) вида (7)

решение задачи имеет вид

^{1 -} kq A ------- = const.

q A

Это решение совместно с ограничением на время процесса позволяет найти оптимальную зависимость v a ( I ), а с учетом (13) искомую функцию V A (t).