Математическая модель распространения инфекционных заболеваний

С точки зрения математики, эпидемический процесс и его динамика могут быть рассмотрены несколькими способами, например, системой дифференциальных уравнений. Решения этой системы будут характеризовать динамику изменения численности в рассматриваемых подгруппах популяции.

Постановка задачи. Необходимо построить математическую модель наиболее подходящую для рассмотрения случая с COVID-19. Также появляется возможность оценить влияние дополнительно рассмотренных аспектов течения болезни. Для этого необходимо подробнее рассмотреть эпидемиологию данного заболевания.

От тел умерших людей заразиться COVID-19 практически невозможно – для этого нужно иметь дело с биологическими жидкостями умершего, так как болезнь передается воздушно-капельным путем. Также стоит брать во внимание тот факт, что органы власти и религиозные организации корректируют условия захоронения для того, чтобы максимально ограничить распространения вируса. Поэтому можно не брать во внимание группу людей, заразившихся через не похороненные тела, поскольку их процент будет очень мал [4-6].

Также мал процент людей, которые заразились COVID-19 повторно после выздоровления. В настоящей математической модели не будет учитываться повторное заражение, поскольку этот вопрос недостаточно исследован.

Вопрос о естественном иммунитете на данный момент также исследован недостаточно. ВОЗ не выявила зависимость между наличием антител к COVID-19 и наличием естественного иммунитета. Однако в данной математической модели будет предполагаться, что небольшой процент людей в исследуемой области имеет естественный иммунитет к заболеванию, поскольку разные новостные источники сообщают о его наличии.

Разделим популяцию на шесть групп:

• 1.    Группа S - восприимчивые индивидуумы;

• 2.    Группа Е - индивидуумы, имеющие вирус в инкубационном периоде;

• 3.    Группа I - инфицированные индивидуумы;

• 4.    Группа Н - госпитализированные индивидуумы;

• 5.    Группа D - умершие индивидуумы;

• 6.    Группа R - иммунные (выздоровевшие) индивидуумы.

Рассматриваемая модель будет учитывать рождаемость и смертность. Как в случае модели SIR, 1/ц можно интерпретировать как коэффициент средней продолжительности жизни. Рассмотрим:

1.    Ц1 = к^; 2.    Ц2 = (1 - к)^, где k – коэффициент доли индивидуумов с естественным иммунитетом. За счет коэффициентов ц1 и ц2, группы S и R могут пополняться за счет рождаемости, тогда как группа D не может на это влиять. Смертность рассматривается в группах S, Е, I, Н и R. В начальный момент времени, небольшая часть индивидуумов будет находиться в классе R, как имеющие естественный иммунитет, в дальнейшем эти kN человек так и будут оставаться в группе иммунных индивидуумов.

Рис. 1. Схема возможных переходов индивидуумов из группы в группу модели SEIHDR, где S - группа восприимчивых, Е - группа латентных I - инфицированных, Н - группа госпитализированных, D - группа умерших, R - группа невосприимчивых индивидуумов.

Рассмотрим скорости перехода поподробнее:

• 1.    P f SI/N описывает изменение размера популяции группы S за счет заражения индивидуумами из группы I, p_HSH/N описывает изменения размера популяции группы S за счет заражения индивидуумами из группы;

• 2.    аЕ описывает изменение размера популяции группы Е за счет окончания инкубационного периода вируса у индивидуума и перехода заболевания в инфекционную стадию;

• 3.    y_H9 1 I описывает изменение размера популяции группы I за счет госпитализации заразившихся индивидуумов;

• 4.    Y_DH8 2 H описывает изменение размера популяции группы H за счет смерти индивидуумов в медицинских учреждениях;

• 5.    y_d(1 — 9 1 )8 1 I описывает изменение размера популяции группы I за счет смерти индивидуумов вследствие болезни вне медицинских учреждений;

• 6.    Y i _H(1 — 8₂)Н описывает изменение размера популяции группы H за счет выздоровления индивидуумов в медицинских учреждениях;

• 7.    у₁(1 — 9 1 )(1 — 8 1 ) I описывает изменение размера популяции группы I за счет выздоровления индивидуумов вне медицинских учреждений.

Рождаемость в группах S и R описывается как ^₂(N — D(t)) и ^ 1 (N — D(t)) соответственно. Смертность описывается как ^E(t), ^I(t), ^H(t), ^R(t) в группах E, I, H и R соответственно.

Общий размер популяции N должен остаться неизменным, т.е должно соблюдаться правило: S(t) + E(t) + I(t) + H(t) + D(t) + R(t) = const = N.

Тогда, учитывая все вышеописанное, SEIHDR-модель описывается следующим набором дифференциальных уравнений:

dS(t) dt dE(t) dt dI(t) dt dH(t) dt dD(t) dt dR(t) dt

• 1  ,                                      Ч        Z              X

• -- (P i S(t)I(t) + p_HS(t)H(t)) + h₂(N - D(t)) - pS(t), 1

N (PiS(t)I(t) + 0HS(t)H(t)) - aE(t) - pE(t), aE(t) - (Ун0 + Yi(1 - ^iK1 - ^i) + yD(1 - 0i)81')I(t) - ^(t),

Ун^Ю - (y dh^ + Y ih⁽ 1 - ^H^t) - pH^t),

Y d⁽ 1 - WiKt) + Y dh^ H^,

yi(1 - ^iK1 - Si^Kt) + Yih(1 - S2)H(t) + Pi(N - D(t)) - PR(t),

где P i , P_H, a, Y_H,Y_DH , Y_i , Y d , Y_iH , 0 1 , S 1 , S₂ определяются аналогично вышеописанным моделям, а начальные условия следующие:

S(0) = So > 0,

E(0) = Eo > 0,

I(0) = I o >0,

H(0) = H o >0,

D(0 = D o >0, R^ = kN + R₀ >0, t = 0.

Численное моделирование. Для параметризации вышеописанных математических моделей распространения COVID-19, использованы данные по двум странам - Китай и Италия (см. табл. 1). Результаты получены с помощью пакета прикладных программ MATLAB, где будет применяться функция ode45, позволяющая численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используя при этом, формулы Рунге-Кутты пятого и четвертого порядка.

Таблица 1

Исходные данные по эпидемиям

Параметр	Китай	Италия
Коэффициент контакта в обществе, ^l	0.328	0.393
Коэффициент контакта в госпитале, ^н	0.00008	0.05699
Инкубационный период, а	8.5 дней	8.5 дней
Время до госпитализации, ун	1.25 дней	2.5 дней
Время от госпитализации до смерти, yDH	9.4 дней	9.4 дней
Инфекционный период, для выздоровевших, yl	18.75 дней	18.75 дней
Инфекционный период, для умерших, yD	10.65 дней	11.90 дней
Время от госпитализации до выздоровления, ylH	20 дней	21.25 дней
Доля летальных случаев	3.44%	7.27 %
5 1	0.0198	0.0464
5 2	0.0164	0.0335
Доля случаев госпитализации	65%	51.73%
0 1	0.111	0.126
Средняя продолжительность жизни, ^	74.7 лет	81.8 лет
Население, N	1.409.342.854	60.015.664

Для Китая использовалась статистика трехнедельного временного промежутка – с 02.02.2020 по 23.02.2020 – именно в это время был зарегистрирован пик заболевания [7; 8]. Аналогично для Италии – с 16.03.2020 по 05.04.2020 – зарегистрирован пик заболевания [9; 10].

Китай. Параметры модели следующие: p_l = 0.328, р_н = 0.00008 , а = 0.1176, y_l = 0.0533 y_D = 0.0939 , y_H = 0.8 , y_DH = 0.1063 , y_lH = 0.05 , t = [0,183] , N = 1409342854 , 5 1 = 0.0198 , 5 2 = 0.0164 , 0 1 = 0.111, ^ = 0.000036 . Так как вопрос о естественном иммунитете еще недостаточно хорошо изучен, то возьмем параметр к = 0.05.

Далее, на графиках: синий цвет обозначает группу 5, красный - группу Е, желтый -группу 1, фиолетовый - группу Н , зеленый - группу D , голубой - группу R . Ось ординат означает размер популяции, а ось абсцисс – время в днях.

5(0) = 0.95N - kN, Е(0) = 0.04N, /(0) = 0.01N,

Н(0) = 0, 0(0) = 0, Я(0) = kN.

Рис. 2. График распространения COVID-19 для Китая. Синий цвет обозначает группу 5, красный -группу Е, желтый - группу /, фиолетовый - группу Н, зеленый - группу D, голубой - группу Я.

Ось ординат означает размер популяции, а ось абсцисс – время в днях.

Италия. Параметры модели следующие: р_г = 0.393 , ^_н = 0.0570 , а = 0.1176, у , = 0.0533 y_D = 0.0840 , у_н = 0.4 , y_DH = 0.1063 , у_/н = 0.0471 , t = [0,183] , N = 60015664 , 5 1 = 0.0464 , 5 2 = 0.0335 , 0 1 = 0.126 , ^ = 0.000033 . Так как вопрос о естественном иммунитете еще недостаточно хорошо изучен, то возьмем параметр k = 0.05.

5(0) = 0.95N - kN,

Е(0) = 0.04N, /(0) = 0.01N, Н(0) = 0, D(0) = 0,

Я(0) = kN

Рис. 3. График распространения COVID-19 для Италии. Синий цвет обозначает группу 5, красный - группу Е, желтый - группу /, фиолетовый - группу Н, зеленый - группу D, голубой - группу Я.

На основе полученных результатов и тех знаний, что мы имеем относительно Китая и Италии на данный момент, можно сделать вывод о том, что модель, как инструмент прогноза, довольно точно описывает динамику болезни в том или ином регионе.

Данные, взятые с официальных источников, в каком-то смысле учитывают социальную структуру, поэтому можно заметить, что болезнь, при соблюдении карантинного режима и большого количества госпитализаций, быстро заканчивается при относительно небольших потерях среди населения.

Также можно заметить, что индивидуальные данные для каждой из стран отражают индивидуальную динамику изменения численности групп индивидуумов, при этом точность прогнозирования, в обоих случаях, примерно одинаковая.