Математическая модель штрафных функций для экстремальных задач

Широкое применение экстремальных задач оптимизации вызывает необходимость разработки надежных и эффективных методов их расчета. Одним из численных методов нелинейного программирования является метод штрафных функций. Идея метода проста и весьма универсальна, незаменима для нахождения начальных, приближенных решений.

Метод штрафных функций решает задачи нелинейного программирования путем исследования последовательности задачи без ограничений, т.е. подавлением ограничений.

Штрафную функцию представим в виде

1 m, P ⁽ x ) = f ⁽ x ) - ^ ( x ) c ⁽ x ) + S ^ -( c i⁽ x )) 2 i = 1

где ^ >  0, i = 1, m (i = 1,^^^, т)являются параметрами штрафа.

Штрафная функция есть гладкая функция точных штрафных Флетчера для случая, когда присутствуют ограничения типа равенств. Параметр штраф увеличивается на каждой итерации, пока он не становится меньше заданного допуска. Задачу с ограничениями заменяем на последовательность неограниченных подзадач для минимизации функции штрафных.

Наличие функциональных ограничений (ограничений неравенств) в существенной степени затрудняет решение задач оптимизации, так как в большинстве случаев поиск оптимальной точки осуществляется вдоль граничных поверхностей нелинейной формы [1].

Идея метода штрафных функций состоит в замене целевой функции обобщенной функцией, значения которой совпадают со значениями исходной функции внутри допустимой области, но при приближении к границе области, а тем более при выходе из нее резко возрастают за счет второго слагаемого обобщенной функции – штрафной функции, порожденной ограничениями исходной задачи.

Штрафные функции строятся таким образом, что обеспечивают быстрое возвращение в допустимую область. Методы штрафных функций сводят задачу на условный экстремум к решению последовательности задач на безусловный экстремум.

Штрафные функции применяются с целью преобразования экстремальной задачи с ограничениями в задачу безусловной оптимизации. Метод позволяет найти стационарные точки, которые могут даже не принадлежать множеству допустимых планов исходной задачи. Чтобы частично устранить эту несогласованность необходимы условия, гарантирующие отсутствие стационарных точек штрафной функции, не принадлежащих множеству допустимых планов [2]. Рассмотренный подход применим, если известна начальная допустимая точка исходной задачи.

Реализация предложенного метода и алгоритма компьютерного численного анализа осуществлена в виде пакета прикладных программ, в котором учитывались следующие основные требования: наибольшая общность постановок задач из рассматриваемого класса, эффективность в отношении точности решения, экономичность по затратам машинного времени и использованию памяти, компактность и удобство в задании исходной информации, возможность расширения решаемого класса задач. В отдельном постпроцессорном модуле реализована функция визуализации полученных результатов.