Математическая модель свободного растекания пластического слоя на плоскости

EDN: ARBWJS

= V A'(iv) —— dx   dx \dx удовлетворительно описывает различные физические процессы (диффузия тепла в сплошной среде, тепломассообмен [3, 4], горение [5] и фильтрация). В частности, если в (1)

K(w) = cwm,(2)

уравнение часто используется для описания нестационарного теплообмена в стационарной среде при условии, что коэффициент температуропроводности является степенной функцией температуры. Существует множество точных решений уравнения (1), подчиняющихся условию (2). Для случаев, когда m = 1,-1,-2,-4/3,-2/3,такие решения можно найти в [6, 7].

Для труднодеформируемых металлов пластические свойства повышаются с помощью нагревания. Для определения характеристик горячих процессов приходится решать уравнение теплопроводности. Подобный опыт имеется и у автора [8, 9]. Дополнением к процессам горячего течения слоев является технология жидкой штамповки, которая дает возможность влиять на формирование структур при кристаллизации расплава под высоким давлением, как правило, процессы образования центров кристаллизации идут в двухфазной зоне при температурах выше температуры кристаллизации расплава в обычных условиях [10, 11]. После образования твердой корки на поверхноя- тях контакта с инструментом металла идут процессы течения затвердевшего слоя по поверхностям [12, 13] и разработанные математические модели могут быть применены и для расчета контактных давлений на стадии дожатия кристаллизовавшегося металла.

Заметим, что свободное растекание тонкого пластического слоя по плоскостям, описываемое параболическим уравнением (2), приводит к постановке задачи нахождения неизвестного контура области, занятой растекающимся пластическим слоем

F(x,y, t) = 0. (3)

По истечении времени dt в фиксированный момент t + dt уравнение (3) также считаем спра- ведливым. Границы контура в этом случае определяются следующим соотношением:

dF dF dF

й7 + ^Г + руГ = °’

dt dx * dy где vи i? скорости точек границы, в момент времени t. Если принять V за скорость точки в направлении, перпендикулярном контуру, в – за угол, образованный касательной к контуру и осью Ox (рис. 1 а), то уравнение (4) преобразуется к виду:

a )

Рис. 1. К восстановлению границы области течения dF    /dF      dF\

(5) dt     xdx       dy/

Согласно рисунку 1 б, криволинейный участок контура области течения обозначен    , коррелирующий участок проекции ребра давления –   . Примем за длину линии тока между контуром об ласти течения и проекцией ребра давления.

Установим элементарный объем металла, протекающий за время  через участок границы длиной

Через нормальную скорость перетекающий объем выразится соотношением:

Приравняв правые части соотношений (6) и (7), находим нормальную составляющую скорости течения:

vn

dA /    1 dd a — 1--a — dt\   2 ds

где

A(t) = In

hfto)

ВД

– безразмерное модифицированное время, dA    1 dh dt     h dt а         – заданный закон изменения толщины слоя.

В общем случае определение a для произвольного контура сопряжено с рядом математических сложностей. Для простоты рассмотрен контур в виде симметричной кривой относительно оси x, в этом у случае длина линии тока          (см. рис. 1 а).

Тогда (10) получит вид:

у dA

V — —^:—z-- " cosd dt

После подстановки (9) в (5), получим:

1 у dB

1---——

2 cos0 ds

dF у dA

dt cos0 dt

i у dd

2 cosQ ds

= 0.

В работе [5] функцию (1) задают в виде                            , где

– кусочно-гладкий выпуклый контур симметричный относительно горизонтальной оси x. При этом dtp dF dx dy dF _ dtp dF dt dt ' dx

Кривизна определяется отношением:

2’ д2 ф

Известные функции подставим в (12):

dtp

1+-^

ОЛ         Z

= 0.

Поскольку при t = 0 h = h₀ и1 = 0, начальным условием для ф (х, Л) будет Л = 0, ф = ^о(х).

Тем самым получено эволюционное уравнение для нахождения контура пластической области (14) и начальные условия (15). Полученная система уравнений (14), (15) решению не поддается. Однако при рассмотрении конкретного примера, за исключением тривиального случая, когда исходный контур об-

ласти является кругом, система разрешима.

Допустим, что до деформирования пластическая область ограничивается эллипсом: хг у2 - + Т7=1.

Предположив, что в процессе течения область будет оставаться эллипсом, но с полуосями, за-

висящими от λ

хг у2 ^ + ьЩ)

= 1,

подставив (16) в уравнение (14) и, определив оттуда a ( λ ) и b ( λ ), при условии (15), находим, что

область течения будет эллиптической вида:

При переходе к пределу λ→ ∞, из уравнения (18) следует

X² + у² = аЬе^л,                               (19)

т.е. в пределе граница области течения стремится к кругу радиуса

Я (А) = \abe2.                                 (20)

Из условия постоянства объема nabh0 = nR2(X)h,                             (21)

получено выражение для радиуса границы области в конечный момент времени:

R (2) = lab — ] ,                                 (22)

Частным случаем подтвержден общий принцип, согласно которому область с любой по форме границей в начальный момент в процессе свободного растекания стремится в пределе к круговой.

Описанный алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ, где контур, ограничивающий пластическую область, может быть задан кусочно-гладкими функциями. Ограничением, накладываемым на возможное описание, является то, что контур должен быть выпуклым. Границы контура разбиваются на участки малой длины, точки стыкующихся концов участков задаются на плоскости координатами ( x, y ). Начальные координаты этих узловых точек контура известны и образуют массив координат. Полагаем, что гипотеза перемещения точек по кратчайшей нормали к границам области выполняется, а нормальная составляющая скорости известна (вычислена, исходя из (11)). При сжатии пластического слоя отслеживаем перемещения узловых точек контура по линиям тока, вычисляя объем металла (12), проходящий через участки контура (расход). После заданного количества итераций, связанных с изменением толщины деформируемого слоя и координат узловых точек, можно визуализировать подвижную границу контура растекающейся области.

Уравнение (2) сводится к некоторой частной форме нелинейного уравнения теплопроводности (23), относительно функции w(x,t),

:

dw 1 д / 2dw\ f у t \        еЧ

= ^—~

t) = e^r±

w(x,t),    t=—.            (23)

от ox X ох /                                  2

Рассмотрен другой тип эволюционного уравнения растекания из (22). Для этого воспользуемся подстановкой q = w :

дт qdx- + \dx)

Ниже представлены все полученные точные решения нелинейного уравнения (23):

• 1.    w(x,r) = f(x)g(x) , где:

• 1 а ) W = Cp^W = c₂– вид решения задачи при течении полосы в направлении параллельном оси Ox;

• 1 b ) f(^ = c_vg(x) = \Jc₃x+c₄ – вид решения задачи при течении области, ограниченной кубической параболой;

• 1с)2/²(ai + c_ot) = -1, J , ^g ff = ±x+a_a- решение задачи о растекании области, огра-

• VcoS +a2

• 2.    4(t — yr) = C₂ + (yw)² — 2^ yw + С^1п(С₁ + yw)² – решение задачи о растекании области, ограниченной параболой;

• 3.    q =w² = --7--■ + -^—– решение задачи течения пластической области, ограниченной

4. q = w =

• 5.    w(^t) = IV?² = ±-===

  – решение задачи течения пластической области в виде клина;

  
  

• 6.    q =w² = —^—- 4- Д- – решение задачи течения области, границей которой является ги-

• 2(т+т0) ^it+tq

ниченной кривой в виде эллиптического интеграла;

2(т+т0) /г+То эллипсом, большая полуось которого совмещена с осью Ox ;

– обобщенное решение задачи течения пластической области,

^■^ (t+t> ограниченной эллипсом;

пербола, мнимая или действительная ось которой, совпадает с осью Ox в зависимости от знака ^3 ;

”   7 – обобщенное решение задачи о растекании пластического слоя,

(t+t0)»

ограниченного гиперболой.

Для расчета значений различных параметров пластического формоизменения необходимо определиться с выбором математической модели, адекватно описывающей механику реализуемых деформационных процессов. Этапы выбора математической модели пластического течения для конкретного объекта производства реализованы в описанных алгоритмах, которые доведены до программной реализации.