Математическая модель теплового режима малогабаритного конвективного дегидратора и идентификация его параметров

О riginal Empirical Research

Mathematical Model of the Thermal Regime of a Small-Sized Convective Dehydrator and Identification of Its Parameters

Alexandr D. Lukyanov1® H, Alexander N. Zhuravlev2, Marko Petkovic3 ®, Vladimir S. Filipovic4 ,

Nemanja M. Miletić³   , Danila Yu. Donskoy¹

• ¹    Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

• ²    Gruvior LLC, Rostov-on-Don, Russian Federation

• ³    University of Kragujevac, Čačak, Serbia

• ⁴    University of Novi Sad, Novi Sad, Serbia

  H lex1998@rambler.ru

Introduction. Convective drying of various types of food raw materials is one of the most common methods of canning. Over three million tons of dried fruits alone are preserved worldwide each year, and the volume continues to grow. Due to the duration and energy consumption of the process, when almost 50% of energy is spent directly on removing moisture, optimizing drying is a challenge. Targeted and reasonable optimization can be performed only if there is a common mathematical model of equipment and drying processes. However, when modeling the drying process, as a rule, a mathematical model of the equipment is not used, which makes the results obtained limited in application. This is the knowledge gap that the proposed study is designed to eliminate. The article presents the results of the development and identification of the parameters of a mathematical model of a small-sized dehydrator used as an experimental installation for the study on food drying processes. The research objective is to develop a mathematical model of the thermal subsystem of a dehydrator that takes into account the processes of heat and mass transfer. To achieve this goal, the following tasks must be solved: to analyze the design of the dehydrator and take into account the effect of the control system; to build a mathematical model of the dehydrator in the form of an ordinary differential equation (ODE) system; to develop a simulation model of the dehydrator in the MATLAB/Simulink package; to conduct experimental studies to obtain data on temperature and power consumption; to identify the parameters of the mathematical model, including the amount of air flow and the circulation coefficient; to verify the obtained model through comparing the results of simulation and experiment.

Materials and Methods . A small-sized convective dehydrator equipped with an original microprocessor control system was used as a modeling object. This system was designed to provide a preset temperature regime and collect data on the parameters of the drying process: temperature, humidity, air pressure, and others. The system used three sensors: two BME-280 sensors and one DS18B20 sensor. Telemetry data and control commands were transmitted via a bot on the Telegram platform. The mathematical model of the dehydrator was constructed in the class of ODEs by the method of accumulators and flows. The parameters of the mathematical model were identified both by direct measurements of the structural elements of the dehydrator and using data obtained during experimental studies. The least squares method (LSM) was used for parametric identification of the model. The calculations were performed in the MATLAB software package. Results . A mathematical model of thermal processes in a dehydrator has been developed in the form of a system of ordinary nonlinear differential equations of the third order. The model takes into account both the air flow coming out of the dehydrator and the air circulation inside it. The total coefficient of heat loss through the walls of the dehydrator is also determined, and its dependence on the temperature difference inside and outside the installation is shown. The developed model is presented both analytically and as a model in the MATLAB/Simulink system. The experimental verification of the model has shown high accuracy: the maximum deviation of the calculated temperatures from the measured ones was less than 0.5°C. The identification method has determined the key parameters of the system: the volume flow of air through the heater (14.1 l/s), and the air circulation coefficient (11.3), which indicates a more than tenfold passage of air flow through the working chamber. It has been found that intensive circulation significantly speeds up the drying process compared to natural convection. The model provides physical interpretability of the parameters and requires a minimum amount of experimental data.

Discussion . The developed mathematical model of the dehydrator based on ordinary differential equations showed high accuracy (error less than 0.5°C) in the operating temperature range. The proposed energy approach made it possible to identify the volumetric air flow (3.1 l/s) and the circulation coefficient (α = 10.2), which cannot be measured directly. It is established that the air performs more than 10 cycles inside the chamber before exiting, which significantly intensifies heat and mass transfer. The coefficient of heat transfer through the walls depends linearly on the temperature difference, which is consistent with the theory of natural convection. Unlike empirical and neural network models, the proposed approach requires less experimental data and provides physical interpretability of the parameters. The model creates the basis for optimizing food drying processes.

Информатика, вычислительная техника и управление

Conclusion . The developed and experimentally verified mathematical model of the thermal subsystem of a small-sized convective dehydrator provides measurement accuracy and allows for the identification of hard-to-reach parameters: volumetric air flow rate and circulation coefficient. The research results can serve as the basis for developing a comprehensive model of the food dehydration process and optimizing the device operating modes. The model is applicable to the design and improvement of domestic dehydrators.

Acknowledgements. The authors would like to thank the editors and the reviewers for their attentive attitude to the article and the specified comments that helped to improve its quality.

Funding Information. The research is done with the financial support from the Russian Science Foundation (grant no. 23–76–30006),

Введение. Конвективная сушка пищевого сырья является одним из наиболее распространенных методов консервирования, при этом только сухофруктов в мире производится свыше трех миллионов тонн ежегодно, и объемы продолжают расти [1, 2] . Ввиду длительности и энергозатратности процесса, когда непосредственно на удаление влаги расходуется не менее 50 % энергии [3] , оптимизация сушки представляет актуальную задачу. Целенаправленная оптимизация возможна только при наличии адекватной математической модели как оборудования, так и процесса сушки.

В научной литературе представлено значительное количество моделей процессов сушки пищевых продуктов. Преобладающим подходом к процессу является аппроксимация кинетики сушки различными эмпирическими функциями: модель Льюиса [4] , модифицированные экспоненциальные модели Пейджа [5] и Хендерсона-Пабиса [6] , комбинированные модели Ялдыза [7] , полиномиальные аппроксимации [8] . Исследователи проанализировали применимость различных моделей для конкретных продуктов: в [9] использована искусственная нейронная сеть для изучения кинетики сушки дикого горького арбуза, в [10] исследована сушка кожуры авокадо, в [11] изучена конвективная дегидратация моркови с использованием статистического подхода к идентификации кривых [12] . Однако данный подход является традиционным, но ситуативным и недостаточно отражает физические закономерности тепло- и массопереноса при сушке.

Более перспективным представляется метод динамического моделирования на основе дифференциальных уравнений, параметры которых лучше поддаются физическому осмыслению [13, 14] . Критический анализ литературы выявил существенное упущение в таких исследованиях: при моделировании процессов сушки математическая модель самого оборудования, как правило, не используется или упрощается, что ограничивает применимость результатов. Модель дегидратора должна описывать процессы теплопереноса и циркуляции воздуха, включая такие труднодоступные параметры, как объемный расход и коэффициент циркуляции воздуха, значительно влияющие на точность моделирования [15] . Несмотря на распределенный характер процессов [16] , применение обыкновенных дифференциальных уравнений обеспечивает интерпретируемость результатов при сохранении достаточной точности.

Значительное количество научных публикаций последних лет посвящено использованию искусственных нейронных сетей (ИНС) для исследования процессов дегидратации пищевых продуктов, построения математических моделей и оптимизации параметров. Всесторонний обзор применения искусственных нейронных сетей в сушке представлен в [17] . Среди таких же работ стоит упомянуть [18] , в которой авторы используют нейросетевой подход для совершенствования процесса сушки ломтиков груши. В [19] нейросетевая модель используется для моделирования процесса сушки ломтиков цуккини. В [20] авторы применяют нейросетевой подход для моделирования процесса сушки Phyllanthus emblica в комплексном процессе инфракрасной сушки с ультразвуковой активацией. В качестве другого примера с описанием успешного применения нейронных сетей при моделировании сложных многопараметрических процессов в пищевом производстве можно привести работу [21] . Несмотря на перспективность нейросетевого подхода, для детерминированных технических систем традиционное моделирование может быть эффективнее благодаря лучшему пониманию физических процессов и меньшим требованиям к объему экспериментальных данных.

Развитие численных методов и программ для конечноэлементного моделирования создает предпосылки для повсеместного использования конечноэлементных моделей, в том числе и для моделирования тепловых систем. Например, в [22] автор приводит сложную 3D-модель дегидратора для сушки зерен кукурузы, однако представляется, что тепловая часть данной модели могла быть заменена не только 2D-моделью (как это делает автор), но и одномерной сосредоточенной моделью, с незначительными погрешностями. В [23] показано строительство конечноэлементной модели дегидратора с горизонтальным движением воздуха, в которой расчетным методом показано ламинарное движение воздушного потока вдоль решеток, что согласуется с принятыми для моделирования предположениями о возможности использования модели с сосредоточенными параметрами и ODE.

Несмотря на то, что эффект внутренней циркуляции воздуха фактически используется в ряде конструкций бытовых и промышленных дегидраторов, авторам не удалось обнаружить в научной литературе детального анализа влияния данного эффекта. Процессы тепло- и массопереноса при сушке, а также их математическое моделирование рассматриваются, например, в [24] . Однако здесь не учитывается возможность обратной циркуляции воздуха в камере дегидратора. В то же время данный процесс является существенным для рассматриваемого оборудования. Аналогичная ситуация описана в [25] , где также рассматривается лишь прямой поток воздуха. При этом вариабельность скорости воздуха невелика, что оставляет пространство для дальнейших экспериментов по оптимизации процесса сушки. В [26] большое внимание уделено процессам теплопереноса с использованием инфракрасного излучения, однако конвективная составляющая процесса сушки описана менее детально. В работе [27] представлено использование в конструкции промышленного дегидратора системы внешней циркуляции потока воздуха, в том числе с управляемой величиной входного потока. Показано, что регулировка циркуляции позволяет увеличить коэффициент производительности до 39 %. Это подчеркивает важность и актуальность представленных исследований. Однако именно коэффициент циркуляции (кратность прохождения воздуха над продуктом) в работе [27] не анализируется, что отличает ее от представленного исследования, позволяющего количественно оценивать этот коэффициент.

Исследованию влияния скорости движения воздуха в дегидраторе на интенсивность влагопотерь посвящена работа [28]. В ней показано, что влияние температуры менее значительно при высокой скорости воздуха. Это вновь подтверждает важность оценки величины и циркуляции воздушного потока внутри дегидратора. В [29] на основе исследования кинетики сушки ломтиков томата сделан вывод, что увеличение скорости воздушного потока в полтора раза может повысить эффективность диффузии воды до 25 %, что определяет перспективность управления скоростью воздушного потока при сушке для повышения энергоэффективности и сокращения времени сушки. В то же время непосредственное измерение скорости движения воздуха внутри дегидратора обычно затруднено. По этой причине предложенная авторами методика оценки величины потока воздуха по энергетическим характеристикам представляется перспективной. Погрешность может быть оценена не более чем в 10 %.

Отдельно следует упомянуть работу [30] , в которой рассматриваются два направления движения воздуха при экспериментальном исследовании процесса сушки ломтиков яблок: над решеткой с образцами и сквозь решетку с образцами. При этом экспериментально доказано, что при движении воздуха сквозь решетку с меньшей скоростью, чем при движении над решеткой (1,7 м/с против 3,5 м/с), время сушки в первом случае на 15 % меньше, чем во втором. Однако в данном случае в силу конструкции установки воздух проходил через обезвоживаемый продукт однократно. Описанная и идентифицированная в представленной авторами работе внутренняя циркуляция воздуха должна существенно улучшить ситуацию и повысить энергоэффективность сушки.

Анализ теплопотерь в сушильной камере через стенки и определение величины коэффициента теплопотерь как функции от разности температур дает возможность оптимизации режимов сушки с точки зрения энергоэффективности, поскольку отражает «непроизводственные» потери тепла, зависящие от конструкции и теплоизоляции сушильной камеры. В работах, посвященных энергетической оптимизации процесса конвективной сушки [30, 31] , этому потоку тепла уделяется недостаточное, по мнению авторов, внимание, хотя эта зависимость может послужить оптимизационным параметром при выборе режимов сушки.

Целью данного исследования является разработка математической модели тепловой подсистемы малогабаритного конвективного дегидратора на основе обыкновенных дифференциальных уравнений с идентификацией труднодоступных параметров. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: проанализировать конструкцию дегидратора и влияние системы управления, построить математическую модель в виде системы обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), разработать имитационную модель в пакете MATLAB/Simulink, провести экспериментальные исследования температурных режимов и энергопотребления, идентифицировать параметры модели, включая расход воздуха и коэффициент циркуляции, верифицировать модель путем сравнения результатов моделирования и эксперимента.

Материалы и методы. Конструкция малогабаритного дегидратора. Для построения лабораторной установки, предназначенной для исследования процессов сушки, использовался бытовой конвективный дегидратор с горизонтальным движением воздуха и 12 лотками для обезвоживаемого продукта (рис. 1). Максимальная мощность дегидратора составляет 800 Вт, движение воздуха обеспечивается двумя пропеллерными вентиляторами.

Информатика, вычислительная техника и управление

б)

Рис. 1 Бытовой дегидратор, использованный для экспериментов: а — внешний вид; б — размещение датчиков и примерная схема движения воздушного потока внутри дегидратора (поперечное сечение)

a)

Конструктивные характеристики дегидратора представлены в таблице 1

Конструктивные характеристики дегидратора

Таблица 1

Параметры	Обозначение	Величина	Размерность
Объем камеры	V	0,054	м 3
Площадь боковых стенок	S w	0,189	м 2
Площадь дна и крышки	S h	0,134	м 2
Площадь дверцы и задней стенки	S g	0,140	м2
Масса внутренних элементов дегидратора	m d	3,348	кг
Масса нагревателя	m h	0,3	кг
Мощность нагревателя	P max	800	ВТ

Микроконтроллерная система управления и мониторинга. Система регулирования температуры и таймер, присутствовавшие в дегидраторе, были отключены, и вместо них установлена оригинальная микроконтроллерная система управления. На рис. 1 б показаны места установки датчиков системы управления: S1 — датчик BME-280 для параметров наружного воздуха, S2 — датчик BME-280 для параметров горячего воздуха на выходе из камеры дегидратора, S3 — датчик DS18B20 температуры воздуха после нагревателя.

Система управления была самостоятельно разработана, изготовлена и внедрена коллективом авторов. Структура системы представлена на рис. 2. В ее основе IoT-микроконтроллер ESP32-WROOM-32. Для измерения параметров воздуха (температура, влажность, давление) использованы MEMS-датчики BME-280. Для контроля температуры воздуха после нагревателя применен цифровой термометр DS18B20. Управление вентилятором и нагревателем осуществлялось через твердотельные реле OMRON G3MB-202P и JOTTA SSD-40DA 1 .

Рис. 2. Структура системы управления дегидратора на базе микроконтроллера

Микроконтроллерная система управления обеспечивала следующие возможности для управления дегидратором:

• -    регулирование температуры воздуха после нагревателя с помощью программного ПИ-регулятора в диапазоне от 30 до 100 °C с дискретностью 0,25 °C;

• -    измерение температуры, относительной влажности и давления воздуха с погрешностями 0,5 °C, 3 % и 1 гПа соответственно;

• -    период измерения параметров процесса дегидратации — не менее 10 раз в минуту;

• -    передача информации о процессе дегидратации через последовательный порт на подключенный компьютер и параллельно в телеграм-бот. Период передачи информации составляет 1 минуту;

• -    датчики температуры BME280 откалиброваны по цифровому термометру (как эталону) DS18B20 согласно ГОСТ 8.558–2009 2 . Калибровочные коэффициенты занесены в программу системы управления дегидратором;

• -    управление дегидратором осуществляется либо напрямую путем передачи команд через последовательный порт подключенного компьютера, либо удаленно через телеграм-бот.

Использование облачной технологии телеграм-бота предоставило уникальную возможность как российской, так и сербской командам получать информацию о работе экспериментальной установки мгновенно и синхронно. Телеграм-бот позволяет оперативно получать телеметрическую информацию о процессе сушки и осуществлять дистанционное управление дегидратором и его настройку.

Применение разработанной системы управления дегидратором дало возможность реализовать методику проведения экспериментальных исследований, обеспечивающую онлайн-мониторинг процесса дегидратации, а также построить и идентифицировать математическую модель дегидратора.

Математическая модель дегидратора. Структура математической модели дегидратора, построенная исходя из априорных представлений о процессах теплообмена и тепловых потоках в нем, представлена на рис. 3.

Рис. 3. Блок-схема термодинамической модели малогабаритного дегидратора

Модель включает в себя три накопителя тепла: нагреватель, горячий воздух внутри дегидратора и конструкционные элементы дегидратора, соединенные друг с другом и с внешней средой семью тепловыми потоками. Модель создана в формализме обыкновенных дифференциальных уравнений и описывается системой трех дифференциальных уравнений первого порядка:

—9

dt

—9 dt i d n

—9

dt

h mh ■ ch

( P max ■ u ( t ) ^—

d md ■ cd

—

p,air air h ext_air circ p,air air h hot_air

S d '^a d '( ⁹ d ^—9 h )

hot,air тГ d p,air

( k circ ■ ^c.

■    ■ f (9, -9

p,air air h

hot_air

—

.

S ext

■

A ext, 0 + A ext,1 ' ⁽⁹ h   ⁹ ext air )

d

■ ( 9

ext_air

—

⁹ hotair ) ^— S d '^a d ^⁹ h ^—9 d )

J

В уравнении (1) используются следующие обозначения (таблица 2).

Переменные состояния, внешние воздействия и идентифицируемые параметры модели (1)

Таблица 2

Параметр или переменная	Обозначение	Величина	Размерность
Температура нагревателя	ϑ h	0–100	° C
Температура элементов дегидратора	ϑ d	0–100	° C
Температура горячего воздуха на выходе из дегидратора	ϑ hot, air	0–100	° C
Температура внешнего воздуха	ext_air	0–100	° C
Скважность (коэффициент заполнения) регулятора	u ( t )	0–1	безразмерная
Массовый расход воздуха, покидающего дегидратор	f air	–	кг/с
Объемный расход воздуха, покидающего дегидратор	f air, V	–	м3/с
Коэффициент циркуляции воздуха внутри камеры дегидратора	k circ	–	безразмерная
Коэффициент теплоотдачи к элементам нагревателя	α d	–	Вт

Информатика, вычислительная техника и управление

Статическая составляющая коэффициента теплопередачи через стенку	A ext , 0	–	Вт/(м2⋅К)
Динамическая составляющая коэффициента теплопередачи через стенку	A ext , 1	–	Вт⋅с/(м2⋅К)

Рассматривая систему уравнений модели (1), следует признать, что она является довольно громоздкой и не очень удобной для моделирования. Поэтому она преобразуется к виду (2) и вводятся коэффициенты уравнений (таблица 2):

d ^ h- = a 10 ( P max ■ u ( t ) - a 12 ' ( ^ h - 9 ext

= a 21 '^{( 9} h - ⁹ d )

t o = a 30 ( a 31 ' ( ⁹ h - ⁹ hot ) - a 32 ( ⁹ h

) - a 13 ' ( ⁹ h -

- ⁹ ext ) ' ( ⁹ ext

9 hot ) )

- ⁹ hot ) - a 33 ' ( ⁹ h - ⁹ d ) )

При преобразовании системы уравнений (1) к виду (2) можно отметить, что a 21 = a 33 , a 31 = a 12 = a 13 / k circ . Кроме того, следует подчеркнуть, что в системе (1) используется массовый расход воздуха f air , а в процессе идентификации получено значение объемного расхода f air, V . Эти величины отличаются на значение плотности воздуха, которая зависит от температуры:

f. = f. „                    „-- p^atm 'M air-----.

far    ^f atr.V ^p air ⁽⁹ hot )   farV _n /_п то oV

R air ’ ^{( 9} hot + 2 73>² )

Численные значения и выражения коэффициентов уравнения приведены в таблице 3.

Физические параметры в модели дегидратора

Формулы и значения коэффициентов уравнения (2)

Таблица 3

Коэффициент	Формула	Значение
a 10	1/( m h ⋅ c h )	0,0067
a 12	c p,air ⋅ f air = c p,air ⋅ f air, V ⋅ ρ(ϑ hot )	0,011 ⋅ p atm / (ϑ hot + 273,2)
a 13	a 12 ⋅ k circ	0,111 ⋅ p atm / (ϑ hot + 273,2)
a 21	1/( m d ⋅ c d )	5,9737⋅10–4
a 30	1/( V d ⋅ c p,air )	0,0184
a 31	c p,air ⋅ f air = c p,air ⋅ f air, V ⋅ ρ(ϑ hot )	0,011 ⋅ p atm / (ϑ hot + 273,2)
a 32	„    A ext, 0 + A ext, 1 ‘ (9 h 9 ext_air ) S ext                        , d	0,0082 ⋅ (ϑ h – ϑ ext_air ) + 0,2351
a 33	1/( m d ⋅ c d )	5,9737⋅10–4

В таблице 4 представлены дополнительные параметры модели, измеренные или взятые из справочников.

Таблица 4

Обозначение	Описание	Значение	Размерность
m h	Масса нагревателя	0,3	кг
c h	Теплоемкость нагревателя (нержавеющая сталь)	500	Дж/(кг⋅К)
m d	Масса конструкции дегидратора	2,400	кг
c d	Теплоемкость материала дегидратора (нержавеющая сталь)	500	Дж/(кг⋅К)
V d	Внутренний объем дегидратора	0,054	м3
c p,air	Теплоемкость воздуха при постоянном давлении	1005	Дж/(кг⋅К)
S d	Площадь конструкции дегидратора	0,07	м 2
α d	Коэффициент теплоотдачи металл — воздух	50	Вт/(м2⋅К)
d	Толщина стенки дегидратора	0,75	мм
P max	Максимальная мощность нагревателя	800	Вт

На рис. 4 изображена общая структура модели дегидратора в математическом пакете Simulink.

Рис. 4. Структура модели дегидратора в Simulink

Модель состоит из трех динамических подсистем, описывающих динамику теплообмена с нагревателем, с внутренними конструкциями дегидратора и с воздухом внутри дегидратора. Четвертая подсистема служит для расчета теплового потока, уносимого воздухом наружу из дегидратора.

Следует подробнее проанализировать следующие аспекты. Априорная информация о функционировании конвективных дегидраторов рассматриваемой конструкции указывает на наличие конвективного движения воздуха внутри камеры дегидратора. Однако аналитически сложно оценить коэффициент циркуляции, то есть определить, сколько раз воздух проходит над продуктом, прежде чем покинуть дегидратор. Для учёта этого эффекта в модель вводится безразмерный коэффициент циркуляции k circ , который будет оценен в ходе идентификации параметров модели.

Аналогичным образом в модель вводится коэффициент теплопередачи от воздуха к конструкционным элементам дегидратора α d . На основании общих физических соображений данный коэффициент должен иметь следующий вид:

a d = 5 , 6 + 4 v , (4) где v — скорость воздуха в м/с.

Однако, исходя из того, что в стационарном режиме работы дегидратора эта скорость будет постоянной, а, с другой стороны, ее измерение представляет определенные сложности, данный коэффициент будет считаться постоянным и идентифицироваться как константа.

Для коэффициентов теплопередачи от камеры дегидратора к внешней среде через стенки некорректно предполагать постоянство коэффициента переноса. На основании формулы (4) необходимо иметь в виду, что скорость восходящего движения наружного воздуха вдоль стенки дегидратора будет зависеть от разности температур воздуха внутри и снаружи, то есть целесообразно идентифицировать этот коэффициент соответствующим образом:

A ext o 0 ⁺ A ext l ' ( ^ h - ^ ext air ) ■ (5)

Однако наибольший практический интерес представляет идентификация массового f air (и объемного f air , v ) расхода воздуха, выходящего из дегидратора и уносящего тепло и влагу. Массовый f air и объемный f air , v потоки воздуха, покидающего дегидратор, связаны с плотностью воздуха ρ air (ϑ hot , P atm ) следующим соотношением:

P atm • Mair

P air \^hot, Patm/pa, (6) Rair ^ hot где Mair — молярная масса воздуха; Rair — газовая постоянная воздуха; Patm — атмосферное давление.

Воздушный поток из дегидратора определяется избыточным давлением воздуха на внутренней передней стенке камеры дегидратора. Давление создается вращающимися вентиляторами. Из общих физических соображений представляется, что при постоянной скорости вращения объемный расход воздуха не должен зависеть от температуры воздуха, так как его величина определяется геометрической конструкцией лопастей вентилятора и скоростью их вращения.

Информатика, вычислительная техника и управление

Авторы опробовали несколько способов измерения величины воздушного потока:

—

—

путем непосредственного измерения скорости потока с помощью анемометра;

путем прямого измерения разницы давлений воздуха внутри и снаружи дегидратора и оценки расхода воз- духа, проходящего через отверстия в стенках дегидратора, с использованием формулы Бернулли;

— по величине силы, действующей на дверцу дегидратора (для косвенного определения перепада давления), а затем — с использованием формулы Бернулли, как и в предыдущем пункте.

Однако ни один из них из-за недостаточной точности не позволил получить достоверную и правдоподобную оценку расхода. По этой причине было принято решение оценить величину воздушного потока на основе энергетических соображений — по величине электрической мощности, которая расходуется на нагрев неизвестного количества воздушного потока с известными физическими характеристиками. Процедура идентификации параметров модели, разработанная авторами, будет рассмотрена далее. При этом максимально возможное количество значений параметров было измерено напрямую или взято из справочников. Таким образом, необходимо идентифицировать следующие параметры модели: потоки f air и f air , v , суммарный коэффициент теплопередачи A ext , 0 + A ext , 1 ⋅ (ϑ h – ϑ ext_air ) ⋅ S ext / d , коэффициент циркуляции k circ .

Анализ формулы (1) показывает, что часть идентифицируемых параметров может быть получена из статических уравнений, то есть из уравнений, описывающих установившийся режим работы дегидратора:

<

0 = P max • u ( ( )

—

c p,air far ⁽⁹ h   ⁹ ext air )   k circ c p,air far ⁽⁹ h ⁹ hot_air )

0 = — Sd -a d -( 9 h —9 d ) m d ■ cd

0 = k circ ■ cp,air ■ fair ( 9 h —9,

hot_air

—

.

— S ext

•

A ext, 0 + A ext, 1 ' ⁽⁹ h ⁹ ext air ) d

■(9 , ext_air

—

⁹ hot_air ) ^— S d '^a d '( ⁹ h ^{— 9} d )

Более того, имеет смысл проанализировать первое и третье уравнения, тогда как второе оказывается вырожденным в установившемся режиме работы дегидратора. По первому уравнению можно оценить мощность, уносимую воздушным потоком, и коэффициент циркуляции воздуха k circ :

P max • ^{u (} t )      c p,air • far ' ⁽⁹ h   ⁹ ext_air )    k circ • c p,air ’ fair ' ⁽⁹ h   ⁹ hot air ) ^.

По третьему уравнению можно оценить величину теплопотерь через стенки дегидратора:

_ Aext ( 9 h S ext '

—

d

3.9 ext_air )

( "

ext_air

—

P max • u ⁽ t ) ⁽⁹ h   ⁹ ext _air )

⁹ hot_air ) • (⁽⁹ h   ⁹ ext _air ) ⁺ kcirc ⁽⁹ h ⁹ hot_air

где сам коэффициент теплопередачи понимается как линейная функция разности температур внутри и снаружи дегидратора:

S ext

•

A ext ( ⁹ h   ⁹ ext air )

---------------------= a • ( 9 h — 9 ext air ) + b. d

Идентификация проводилась на основе результатов экспериментальных измерений на реальном дегидраторе, в ходе которых были зарегистрированы следующие параметры: ϑ h — температура воздуха после нагревателя; ϑ hot_air — температура горячего воздуха на выходе из камеры дегидратора; ϑ ext_air — температура воздуха снаружи дегидратора (в помещении); u ( t ) — скважность работы нагревателя под управлением ПИД-регулятора; P atm — атмосферное давление воздуха.

Для идентификации использовалась матричная реализация метода наименьших квадратов:

0 = ( X T x X ) x X T x Y ,

где Y — вектор экспериментальных результатов; X — матрица объясняющих переменных; Θ — вектор оценок параметров.

Для первого уравнения эти величины формируются следующим образом:

-max- u ( 0 ) c p,air

( 9 h ( 0 ) — 9 ext ( 0 )

9 h ( 0 ) —9 hot ( 0 )

X =

-max- u ( N ) . c p,air

9 h ( N ) — 9 ext ( N ) 9 h ( N ) — 9 hot ( N )

Θ air

=                ,

\k \

\ circ J air /

где N — длина выборки экспериментальных данных.

Для третьего уравнения:

____________________ P max ■ U ( 0 ) ( 9 h ( 0 ) -9 ext ( 0 )) ____________________ ( 9 ext ( 0 ) — 9 hot ( 0 ) ) ■ ( ( 9 h ( 0 ) — 9 ext ( 0 ) ) + k circ ( 9 h ( 0 ) — 9 hot ( 0 ) ) )

Y =

P max ■ U ( N ) ( 9 h ( N ) -9 ext ( N ) )

J9 ext ( N ) -9 h	ot ( N ) ) ^ ( ( 9 h ( N ) -	9 ext	( N ) )	+ k cir-c	( 9 h ( N ) — 9 hot ( N ) ) ) '
X =	' 9 h ( 0 ) -9 ext ( 0 )	'	0 = f	A ext, 1	^ S ext Г ~T,
	.9 h ( N ) -9 ext ( N )	1 ;	.	A ext, 0	J d

Процедура идентификации была выполнена в математическом пакете MATLAB.

Внутренняя конструкция дегидратора предполагает наличие потока воздуха, возвращающегося к нагревателю вдоль боковых стенок дегидратора и теряющего часть тепла вследствие его передачи через стенки во внешнюю среду (рис. 1 б). Соответственно, первое уравнение системы (1) содержит поток, описывающий процесс возврата циркулирующего воздуха к нагревателю:

9 h             ( Pmax ' u ( t) cp,air ' far "(9 h 9 ext air )  kcirc ' cp,air ' far "(9 h 9 hot dt mh ■ ch

air ,

где k circ — коэффициент, показывающий, сколько раз воздух «оборачивается» внутри дегидратора, прежде чем

покинуть его.

Уравнение для расчета величины массового расхода воздуха будет иметь следующий вид:

f air

1__Pmax • U (t)______________ cp,air I!9h   9ext_air ) + kcirc (9h 9hot_air

Преобразование массового расхода в объемный осуществляется из формулы (15) с использованием фор-

мулы (6):

f v =

f air

P air

1 R air hot_air

C P. M p,air atm air

P max • u ( t )

( (⁹ h ^-9 ext_air ) ^{+ k}crc (⁹ h — ⁹ hot

Следует учитывать тот факт, что циркуляция воздуха является «ненаблюдаемой» и проявляется лишь косвенно, в зависимости объемного расхода от температуры. Однако, если выполнить серию расчетов зависимости объемного расхода от температуры для различных значений коэффициента циркуляции, можно подобрать наиболее правдоподобное его значение, которое даст наилучшее приближение f v (ϑ h ) горизонтальной прямой (точнее, прямой с наименьшим углом наклона к горизонтали). Для получения оценок коэффициентов уравнения аппроксимирующей прямой можно использовать метод наименьших квадратов:

f_v ( 9 h ) = a ^9 h + b . (17)

Для идентификации коэффициента циркуляции k circ был применен двухэтапный метод поиска. На первом этапе, при идентификации параметров уравнения (8), использовались значения k circ в диапазоне от 0 до 20 с шагом 1. На втором этапе, когда была получена грубая оценка субоптимального значения k circ в районе 10, использовался интервал от 9 до 11 с шагом 0,1. Оптимальным k circ считалось значение, при котором аппроксимирующая прямая зависимости f air , v от температуры имела минимальный по модулю тангенс угла наклона (была максимально приближена к горизонтальной линии).

Экспериментальные исследования. Экспериментальные исследования на малогабаритном дегидраторе с микроконтроллерной системой управления и мониторинга проводились для идентификации параметров математической модели тепловой подсистемы дегидратора. Для идентификации модели использовался режим работы дегидратора со ступенчатым изменением температуры. Датчик температуры воздуха после нагревателя (термометр DS18B20) и датчики BME-280 (датчик параметров наружного воздуха и датчик параметров горячего воздуха на выходе из дегидратора) позволяют измерять температуру воздуха непосредственно после нагревателя, а также температуру, относительную влажность и давление воздуха снаружи дегидратора и на выходе из камеры. Приблизительное расположение датчиков показано на рис. 1 б .

Информатика, вычислительная техника и управление

В камеру дегидратора помещены стандартные нержавеющие лотки (12 штук) общей массой 2,450 кг для увеличения ее тепловой инерции и снижения колебаний температуры. Регулирование температуры осуществлялось программно, с использованием ПИД-регулятора, реализованного в программе, его библиотека взята с сайта 3 .

Программный график изменения температуры, задаваемый контроллеру, представлен на рис. 5. Экспери- менты проводились в автоматическом режиме.

а)                                                                     б)

Рис. 5. Температурный режим в экспериментах: a — график изменения температуры;

б — соответствующая последовательность команд телеграм-бота

Отправка 28 июля

/run

/set_temp 40

/set_temp 50

/set-temp 60

/set_temp 70

/set_temp 80

18:20

/set_temp 75

/set_temp 65

/set-temp 55 1S1O

/stop 20 40

/set_temp 45 19:40

/set_temp35 2ooo

Программное изменение температуры в дегидраторе производилось ступенями по 10 градусов до достижения температуры 80 °C. После достижения максимальной температуры осуществлялось программное снижение температуры аналогичными ступенями по 10 градусов, со смещением на 5 градусов относительно этапа повышения (рис. 5 а ).

Один цикл эксперимента выглядел следующим образом:

• 1.    В дегидратор при комнатной температуре загружались пустые лотки.

• 2.    Задавалась программа изменения температуры в телеграм-боте (как показано на рис. 5 б ). Начальная температура — 30 градусов, коэффициент интегральной составляющей ПИД-регулятора — 0,3, коэффициент пропорциональной составляющей — 200.

• 3.    Процесс сушки запускался командой из телеграм-бота.

• 4.    Значения параметров воздуха от трех датчиков и текущей мощности регулятора автоматически передавалось в облачный сервис телеграм-бота каждую минуту.

• 5.    По окончании программы эксперимента дегидратор автоматически отключался. Данные выгружались из облачного сервиса в компьютер и сохранялись в виде json файла для дальнейшей обработки.

  
  

Данный дизайн эксперимента позволял исключить какое-либо влияние человеческого фактора и внешних воздействий.

Результаты исследования. Идентификация и исследование математической модели. Программа управления дегидратором в ходе экспериментов по идентификации математической модели обеспечивает ступенчатое повышение, а затем понижение температуры после затухания переходных процессов.

Определение величины воздушного потока, проходящего через дегидратор. На основании модели (1) и с учетом ее преобразований (14)–(16), а также используя данные нового эксперимента, которые представлены на рис. 6, 7, можно вычислить значение массового расхода воздуха через дегидратор как функцию температуры воздуха после нагревателя.

Рис. 6. Температуры в дегидраторе, по данным датчиков 1, 2 и 3

На верхнем графике представлена программа изменения температуры воздуха непосредственно после нагревателя. Незначительные колебания связаны с работой ПИ-регулятора и низкой тепловой инерцией пустого дегидратора (рис. 6).

На среднем графике (рис. 6) — показатели температуры внешнего воздуха. Здесь наблюдается некоторая нестабильность, однако она составляет лишь около 4 градусов при изменении температуры воздуха после нагревателя на 40 градусов. Данный эффект возникает из-за нагрева внешнего воздуха от корпуса дегидратора.

На рис. 7 представлено мгновенное значение мощности нагревателя, рассчитанное как произведение максимальной мощности нагревателя P max P _max на скважность его работы u ( t ). Из-за работы ПИ-регулятора в микроконтроллере системы управления наблюдаются колебания после переключения температуры, однако затем мощность нагревателя стабилизируется.

Рис. 7. Мгновенная мощность на нагревателе

На рис. 8 показаны: flow RAW ( f RAW ) — массовый расход воздуха, рассчитанный по исходным экспериментальным данным; flow m ( f m ) — массовый расход воздуха, рассчитанный после применения интервалов (на рис. 6 — красные вертикальные линии), в которых температура ϑ h стабилизировалась; flow v ( f v ) — объемный расход воздуха, рассчитанный из f m с использованием формулы (6).

Информатика, вычислительная техника и управление

	10		------1^^“^^“		———-1—“		————Т^—^“	—^п^“	.            г
Го
	8							ъ ■		- ■^*-
S х				. 4.
	6
	40		45	50	55	60	65	70	75	0ь °C
	1Л
									1
с -У	8 6		*	♦	♦	♦	♦	+	+	+-
и
			1			1	*	1	1
	40		45	50	55	60	65	70	75	е,„ °с
				Г
о о 1 * с -У	8 6		*	♦	*	+	*	♦	*	♦ч
2
						1	1
	4
	40		45	50	55	60	65	70	75	еь °с

Рис. 8. Оценка значений расхода (сверху вниз): оценка по исходным данным; интервальная оценка массового расхода; интервальная оценка объемного расхода

Оценка величины циркуляции. Результаты идентификации прямой (17) при значениях kcirc в диапазоне от 7 до 15 представлены на рис. 9 a, б. На верхнем графике показана зависимость коэффициента a (тангенса угла наклона прямой), а на нижнем графике — коэффициент b, постоянная составляющая расхода.

На графике 9 a представлена расчетная кривая, описывающая зависимость тангенса угла наклона аппроксимирующей прямой от величины коэффициента циркуляции. Точка ее пересечения с осью абсцисс позволяет определить реальное значение k circ = 10,2.

а)

б)

Рис. 9. Идентификация параметров движения воздуха: а — зависимость тангенса угла наклона от величины k circ ; б — зависимость смещения от величины k circ

Прямая линия на рис. 9 б позволяет определить величину объемного расхода для полученного коэффициента циркуляции. Значению k circ = 10,2 соответствует объемный расход f v = 0,003096 м³с^–1, или приблизительно 3,1 литра в секунду.

Оценка теплопотерь. В качестве основы идентифицируемой математической модели теплопотерь через стенки дегидратора взято уравнение (8) для поиска значения суммарного коэффициента теплопередачи как линейной функции от разности температур, согласно выражению (10). Процедура идентификации основана на том же принципе, что использовался и при идентификации параметров уравнения воздушного потока. Результаты измерений температуры, полученные при ступенчатом изменении задания контроллера, были усреднены по интервалам после затухания переходных процессов и обработаны матричным методом наименьших квадратов в форме (10). Экспериментальные результаты и аппроксимирующая прямая показаны на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость коэффициента теплопередачи во внешнюю среду через стенку дегидратора от разности температур внутри и снаружи дегидратора

Фактические расчетные значения коэффициентов аппроксимирующей прямой приведены в следующей формуле: k w ( Л Э ) = k W1 J 9 + k wo = S ext ■ A^ext ^ h - ^{9 ext_ai} r ) = 0,0082 ■ ( 9 h - 9 _exl__air ) + 0,2351. (18)

Таким образом, получена оценка коэффициента теплопередачи через стенки камеры дегидратора во внешнюю среду. Как и ожидалось, данный коэффициент зависит от разности температур по разные стороны стенки дегидратора, причем эта зависимость близка к линейной.

Верификация модели. Для верификации модели были проведены дополнительный эксперимент и имитационное моделирование работы дегидратора с использованием идентифицированных параметров модели (2) в математическом пакете MATLAB/Simulink (рис. 4). Для сравнения полученных результатов были построены синхронизированные по началу процесса сушки графики выходной температуры ϑ hot и температуры нагревателя ϑ h . График для температуры ϑ hot , как наиболее важный для дальнейшего исследования модели, приведен на рис. 11.

Рис. 11. Верификация работы дегидратора. Сравнение экспериментальных данных с данными модели

Оценка отклонения модельных данных от экспериментальных составила менее 0,5 ° С при нарастании температуры от 35 до 80 ° С и при снижении температуры от максимальной до 50 ° С. При дальнейшем остывании дегидратора погрешность составляла порядка 1 ° С.

Обсуждение. Результаты проведённого исследования убедительно подтверждают возможность создания адекватной математической модели тепловых процессов в малогабаритном конвективном дегидраторе с использованием аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений. Достигнутая погрешность моделирования, не превышающая 0,5 °C в рабочем диапазоне температур от 35 до 80 °C, свидетельствует о высокой точности воспроизведения реальных процессов теплопереноса в исследуемом оборудовании.

Ключевым достижением данной работы следует считать успешное решение задачи идентификации параметров модели, прямое измерение которых представляет значительные технические трудности или вовсе невозможно при имеющемся измерительном оборудовании. Прежде всего речь идёт о величине воздушного потока, проходящего через дегидратор, и коэффициенте циркуляции воздуха в рабочей камере. Многочисленные

Информатика, вычислительная техника и управление

попытки непосредственного измерения расхода воздуха с применением анемометра, датчиков перепада давления и различных косвенных методов оказались безуспешными вследствие недостаточной точности приборов и чрезвычайно сложной геометрии воздушных потоков внутри камеры дегидратора. Предложенный в работе энергетический метод, базирующийся на анализе теплового баланса системы, позволил получить достоверную оценку объёмного расхода воздуха, составившую 3,1 л/с. Данное значение хорошо согласуется с типичными характеристиками пропеллерных вентиляторов, применяемых в бытовых и полупромышленных дегидраторах аналогичной конструкции.

Особого внимания заслуживает полученное значение коэффициента циркуляции воздуха k circ = 10,2. Физический смысл этой величины состоит в том, что воздух в среднем совершает более десяти полных проходов через рабочую камеру дегидратора, прежде чем покинет её. Столь интенсивная рециркуляция существенно усиливает процессы тепло- и массообмена между воздушным потоком и обезвоживаемым продуктом. Насколько известно авторам, количественные оценки степени циркуляции воздуха в конвективных дегидраторах подобного типа ранее в научной литературе не публиковались. В ряде работ указывалось на принципиальную важность учёта рециркуляции для построения точных моделей, однако конкретные численные значения этого параметра не приводились. Полученная оценка позволяет объяснить повышенную эффективность конвективных дегидраторов с горизонтальным движением воздуха, по сравнению с традиционными сушильными шкафами, в которых воздух проходит через камеру однократно.

С методологической точки зрения значительный интерес представляет разработанный подход к определению коэффициента циркуляции посредством анализа температурной зависимости расчётного объёмного расхода воздуха. Теоретические соображения указывают на то, что при корректном учёте циркуляции объёмный расход должен оставаться практически постоянным, поскольку он определяется исключительно геометрией лопастей вентилятора и частотой их вращения, но не температурой перекачиваемого воздуха. Поиск значения коэффициента k circ , при котором температурная зависимость расчётного расхода минимальна, позволил получить физически обоснованную и внутренне непротиворечивую оценку данного параметра.

Установленная зависимость коэффициента теплопередачи через стенки дегидратора от разности температур также требует обсуждения. Линейный характер зависимости k W от Δϑ находится в согласии с теорией естественной конвекции, согласно которой интенсивность конвективного теплообмена возрастает при увеличении температурного напора вследствие усиления восходящих и нисходящих потоков вдоль нагретых и охлаждённых поверхностей. Статическая составляющая k W 0 = 0,2350 Вт/(м²·К) характеризует базовый уровень теплообмена при малых перепадах температур, тогда как динамическая составляющая k W 1 = 0,0082 Вт·с/(м²·К²) описывает интенсификацию теплопередачи с ростом Δϑ. Подобное представление коэффициента теплопередачи в виде линейной функции температурного напора нечасто встречается в публикациях по моделированию сушильного оборудования, однако оно представляется физически обоснованным и обеспечивает существенное повышение точности модели.

Сопоставление разработанной модели с подходами, представленными в научной литературе, выявляет её характерные особенности и преимущества. Подавляющее большинство публикаций по моделированию процессов сушки концентрируется на аппроксимации экспериментальных кривых изменения влагосодержания продукта посредством эмпирических функций различного вида. Подобные модели не описывают функционирование собственно сушильного оборудования и потому обладают ограниченной областью применимости. Более близкими к предложенному подходу являются работы, использующие динамические модели на основе дифференциальных уравнений, однако в них, как правило, не рассматриваются такие существенные параметры, как рециркуляция воздуха и зависимость теплопередачи от температурного напора.

Применение нейросетевых методов для моделирования сушильных процессов, интенсивно развиваемое в последние годы, безусловно обладает определёнными перспективами, особенно применительно к сложным многопараметрическим системам. Вместе с тем для моделирования детерминированных технических объектов, к которым относится дегидратор, классический подход на основе дифференциальных уравнений сохраняет существенные преимущества: он требует значительно меньшего объёма экспериментальных данных для идентификации, параметры модели обладают ясным физическим смыслом и допускают проверку на соответствие теоретическим представлениям, модель позволяет прогнозировать поведение системы при изменении конструктивных параметров.

Следует указать на определённые ограничения разработанной модели. Модель построена в предположении о сосредоточенных параметрах и не учитывает пространственную неоднородность температурного поля внутри камеры. Это упрощение оправдано для малогабаритных дегидраторов с интенсивной циркуляцией воздуха, однако для крупных промышленных установок может потребоваться переход к моделям с распределёнными параметрами. Кроме того, модель идентифицирована для режима работы дегидратора без продукта. При наличии обезвоживаемого материала тепловой баланс системы изменится за счёт затрат энергии на испарение влаги и модификации характера движения воздушных потоков.

Практическая ценность полученных результатов обусловлена возможностью применения идентифицированной модели для оптимизации режимов сушки различных продуктов. Знание точных значений воздушного потока и коэффициента циркуляции позволяет рассчитать интенсивность массообмена, что критически важно для про- гнозирования кинетики сушки. Модель теплопередачи через стенки даёт возможность оценить энергоэффективность процесса и наметить пути её повышения. Примечательно, что при работе на максимальной температуре теплопотери через ограждающие конструкции составляют около 24 % мощности нагревателя, что указывает на целесообразность улучшения теплоизоляции.

Перспективы дальнейших исследований связаны с расширением модели путём включения процессов массо-переноса при обезвоживании конкретных видов пищевого сырья. Идентифицированные параметры дегидратора послужат основой для построения комплексной модели сушки, включающей в себя уравнения баланса влаги, кинетики испарения и диффузии.

Заключение. В ходе исследований по разработке малогабаритного конвективного дегидратора с микроконтроллерной системой управления, а также построению и идентификации его математической модели были получены следующие значимые научно-практические результаты:

-    разработана и идентифицирована математическая модель малогабаритного конвективного дегидратора. Модель разработана в формализме ОДУ. Получены данные о том, что модель адекватна в диапазоне температуры сушки от 50 до 70 °С с погрешностью менее 0,5 °С, в диапазоне от 35 до 50 °С — с погрешностью порядка 1 °С; -    получена модельная оценка величины потока воздуха, выходящего из сушильной камеры. Величина объемного потока составила 3,1 литра в секунду. Показана возможность модельной оценки величины выходного потока воздуха в условиях, когда его непосредственное измерение затруднено; -    дана модельная оценка коэффициента циркуляции воздуха внутри камеры дегидратора. Для условий эксперимента он составил 10,2 раза. Варьирование этой величины путем управления величиной выходного потока дает потенциальную возможность оптимизации процесса сушки; -    получена оценка величины тепловых потерь через стенки камеры дегидратора как линейной функции разницы температур воздуха внутри и снаружи дегидратора. Эта величина позволяет оценить эффективность теплоизоляции камеры дегидратора. Оценка применима при разнице температур внутри и снаружи дегидратора выше 15 °С.

Проведенные исследования и полученные результаты позволят эффективно использовать описанный малогабаритный конвективный дегидратор в качестве экспериментальной установки для изучения процессов конвективной сушки. Кроме того, полученная математическая модель тепловых процессов и процессов массопереноса воздуха может служить основой для построения моделей кинетики сушки продуктов путем дополнения уравнениями испарения и массопереноса влаги.