Математическая модель вентильно-индукторного генератора для имитационного моделирования изолированной системы электроснабжения

В условиях растущего интереса к автономным и резервным источникам электроэнергии все большее внимание уделяется дизельным электростанциям (ДЭС) с переменной частотой вращения первичного двигателя. Отказ от жесткой стабилизации оборотов на уровне 1500/1800 об/мин позволяет адаптировать режим работы дизеля к текущей нагрузке, снижая удельный расход топлива и улучшая экологические показатели [1, 2]. Ключевым элементом такой станции становится электрический генератор, способный эффективно функционировать в широком диапазоне скоростей и надежно работать в паре с силовым полупроводниковым преобразователем. Традиционные синхронные генераторы с электромагнитным возбуждением или с возбуждением от постоянных магнитов не всегда удовлетворяют комплексу противоречивых требований по стоимости, живучести и ремонтопригодности, особенно в удаленных и труднодоступных районах [12].

Вентильно-индукторные генераторы (ВИГ), известные в англоязычной литературе как Switched Reluctance Generators (SRG), лишены обмоток и постоянных магнитов на роторе, – 973 – что обусловливает их высокую механическую прочность, термостойкость и способность к длительной работе без обслуживания [1–3]. Многочисленные исследования подтверждают перспективность применения ВИГ в составе ДЭС с переменной скоростью, в том числе в режиме «стартер-генератор» [1–3]. Однако большинство опубликованных работ посвящено классическим реактивным машинам с самовозбуждением либо с возбуждением со стороны статора через фазные обмотки. Значительно меньше изучены конструктивные разновидности, в которых используется неподвижная кольцевая обмотка возбуждения, создающая магнитный диполь вдоль оси ротора, а изменение магнитного потока достигается за счет зубчатой структуры последнего. Подобные индукторные генераторы одноименнополюсного типа [4–7] сочетают простоту ротора с возможностью независимого регулирования потока возбуждения, что особенно ценно при работе на выпрямительную нагрузку через неуправляемый выпрямитель.

Для корректной классификации отметим, что рассматриваемая машина относится к классу одноименнополюсных индукторных генераторов (Homopolar Inductor Alternator), в которых обмотка возбуждения неподвижна и создает постоянный поток вдоль оси. В отечественной литературе такие машины часто называют вентильно-индукторными при их работе на полупроводниковый выпрямитель, что и обусловило использование данного термина в названии работы.

Для проектирования и настройки систем управления таких установок необходима математическая модель, пригодная для включения в имитационные модели изолированных систем электроснабжения. Существующие модели ВИГ либо ориентированы на трехфазное исполнение [3], либо описывают электромагнитные процессы в фазных координатах без редукции к удобной для синтеза регуляторов dq -модели, либо не учитывают специфику демпфирования в системе «дизель-генератор-выпрямитель» при переменной частоте вращения [13, 14]. Кроме того, девятифазная конструкция, обеспечивающая низкий коэффициент пульсаций выпрямленного напряжения, требует корректного обобщения преобразования Парка-Горева и учета многофазной симметрии при выводе уравнений в ортогональных осях.

Цель настоящей работы – разработка компактной математической модели девятифазного вентильно-индукторного генератора с неподвижной обмоткой возбуждения, записанной в dq-координатах и приведенной к форме системы дифференциальных уравнений первого порядка, непосредственно реализуемой в современных программных средах имитационного моделирования.

Научная и практическая ценность предлагаемой модели заключается в следующем:

• -    для девятифазной одноименнополюсной машины с зубцовым ротором получены уравнения напряжений и потокосцеплений в осях dq с выделением взаимной индуктивности между неподвижной обмоткой возбуждения и эквивалентными контурами статора;

• -    показано, что в установившихся режимах при активной нагрузке электромагнитный момент и демпфирующий момент пропорциональны квадрату угловой скорости, и это свойство явно учтено в уравнении движения без привлечения эмпирических коэффициентов демпфирования;

• -    полная система дифференциальных уравнений приведена к нормальной форме Коши, удобной для численного интегрирования в составе комплексной имитационной модели изолированной системы электроснабжения, включающей дизельный двигатель, выпрямитель и инвертор;

• -    предложены дополнительные соотношения для совместного моделирования генератора и внешней цепи (выпрямитель-нагрузка), что позволяет использовать модель для исследования статических и динамических характеристик.

Предлагаемая модель позволяет исследовать как статические характеристики генератора, так и переходные процессы при сбросах/набросах нагрузки, изменении частоты вращения дизеля и вариациях тока возбуждения, что делает ее полезным инструментом для проектирования и отладки систем управления автономных электростанций нового поколения. В работе [15] авторами предложена система управления возбуждением для подобных установок, однако вопросы математического моделирования в dq -координатах рассмотрены недостаточно полно, что подтверждает актуальность настоящего исследования. Отказоустойчивость ВИГ, обусловленная возможностью работы при отказе фаз, рассмотрена в работах [10, 11].

Конструкция и принцип действия ВИГ

Исследуемый ВИГ имеет девятифазную обмотку статора, что обеспечивает сглаженный выходной сигнал после выпрямления. Выбор девятифазной обмотки обусловлен не только снижением пульсаций выпрямленного напряжения (коэффициент пульсаций менее 1 % без дополнительных фильтров), но и повышением надежности – возможность работы при отказе одной-двух фаз, а также улучшением гармонического состава кривой ЭДС [10, 11]. Ротор содержит 12 зубцов на каждом полюсе. Обмотка возбуждения размещена на статоре и при питании постоянным током создает магнитное поле, направленное вдоль оси вращения. При вращении ротора его зубцы и пазы периодически изменяют магнитное сопротивление воздушного зазора, что приводит к изменению потокосцепления с каждой из фазных обмоток статора. В результате в обмотках статора наводится ЭДС, частота которой определяется скоростью вращения и числом зубцов ротора (ω = Z _r Ω, где Z _r = 12, Ω – механическая угловая скорость). Методы расчета магнитного поля в зубчатой зоне таких машин подробно изложены в [4–7].

Генератор подключается к нагрузке через пассивный выпрямитель и инвертор (рис. 1). Такая структура позволяет работать на любую нагрузку без жесткой синхронизации с сетью, что особенно важно для изолированных систем. Управление выходным напряжением осуществля-

Рис. 1. Дизельная электростанция с переменной частотой вращения

Fig. 1. Variable-speed diesel power plant ется регулированием тока возбуждения. Схемотехнические решения для силовых преобразователей ВИГ представлены в [8, 9].

Математическая модель ВИГ

Физические основы. Для расчета магнитного поля в машине используются уравнения Максвелла. В интегральной форме они имеют вид:

Исходя из них, для соленоидальной обмотки с сердечником длиной l , числом витков N и током I магнитная индукция в сердечнике определяется как:

R      Ni а полный поток через сечение A :

Ф = BA = ц_оц_г — A.

Это соотношение используется для расчета потокосцеплений обмотки возбуждения и статора.

Уравнения в фазных координатах (abc). Для девятифазной машины напряжение k -й фазы статора и напряжение обмотки возбуждения записываются как:

u = Ri + **.

(1а)

(1b)

at

Потокосцепления выражаются через токи и индуктивности. С учетом симметрии и отсут- ствия демпферных обмоток на роторе:

Wsk = Ls/'sk+'EM^,+Msfi-(dy/ m^k

(2a)

(2b)

• V/ ^{_ B}Af +2L M f_sk (^)i_sk, k=\

где L_s – полная индуктивность фазы статора (включая рассеяние), M_skm – взаимная индуктивность между фазами (постоянна из-за равномерного зазора), а Msfk (θ) – взаимная индуктивность между обмоткой возбуждения и k -й фазой, зависящая от углового положения ротора θ . На основании геометрии (12 зубцов) эта индуктивность может быть представлена как:

(2c)

MAG) = Mifcos 9-(^-1)— , 9 = Zrem I \ zQ)     rm ход широко применяется на этапе синтеза систем управления [3]. При необходимости учета высших гармоник (например, для точного расчета пульсаций момента) предложенная модель может быть расширена путем введения дополнительных ортогональных осей высших порядков, что является направлением дальнейших исследований.

Переход к координатам dq. Для упрощения анализа переходных процессов используется преобразование Парка, обобщенное на многофазную систему. В осях dq , вращающихся с угловой скоростью ω = d θ/ dt , уравнения напряжений и потокосцеплений принимают вид:

Usd =Rsisd+-^f--^sq^(3a)

dt

_ D 7 i d^sq

USg=RS1Sg + —^-+^Sd’(3b)

^f Rd/+ ’ где

Wsd^dsd+Msfif’ Wsg^sg’        f +~Msflsd ■(3d)

Здесь M_sf =^M , а коэффициент 9/2 возникает при суммировании косинусных составляющих при преобразовании.

Уравнения напряжений в форме относительно токов. Подстановка (3d) в (3a)–(3c) дает систему дифференциальных уравнений относительно токов:

^d = R^ +LS 4r + Msf-/-- ^Lsisq, sd ssd s dt dt '

di

Usa = ^sa +Ls —Г + ^shd + ®M 7 f ’(4d)

• 9    di ,

и f = Rfif +Lf —— + —        .(4c)

• 2    dt

В установившемся режиме (производные равны нулю) эти уравнения превращаются в алгебраические, служащие для определения начальных условий динамических расчетов.

Электромагнитный момент. Электромагнитный момент может быть получен из выражения для производной энергии магнитного поля по углу:

• 9    Z

T^ -y(V^^-V^)-                             (5)

Подставляя (3d), находим:

• 9    7

^Rx~ ^—^M_sfifis_q-                                                    (6)

Это выражение показывает, что момент пропорционален произведению тока возбуждения и квадратурной составляющей тока статора.

Уравнение движения (качания). Уравнение баланса моментов на валу имеет вид:

J^ = T-T-T                             (7)

где J – суммарный момент инерции, T _дв – момент первичного двигателя, Т _тр – момент механических потерь (трение в подшипниках, вентиляционные потери).

Спецификой ВИГ с активной нагрузкой является квадратичная зависимость электромагнитной мощности от скорости в установившихся режимах. Однако использование этой зависимости для формирования демпфирующего момента в уравнении движения является некорректным для переходных процессов, поскольку ток i _sq в динамике не успевает отслеживать изменение скорости. В связи с этим в предлагаемой имитационной модели демпфирующий эффект формируется естественным образом за счет разности между механическим моментом и электромагнитным моментом, вычисляемым по формуле (6). Для учета механических потерь можно использовать квадратичную модель T _дв = k _трΩ² (что соответствует вентиляционному сопротивлению), однако этот член не является обязательным и может быть опущен при малых скоростях.

Окончательно уравнение движения принимает вид:

J^ = T_W-T^i_sa^~^                       (8)

ДВ эм V 5g ’ / тр •                                                                      V 7

Такой подход обеспечивает универсальность модели как для стационарных, так и для динамических режимов, а квадратичная зависимость мощности Р эл ∝ Ω² сохраняется лишь как частный случай установившегося режима при постоянстве i f и активной нагрузке (см. формулу (11) ниже).

Модель мощности. Электромагнитная мощность, отдаваемая в нагрузку, в установившемся режиме равна:

^=-^А-                            (9)

С учетом (6) и ω = Z _r Ω получаем:

Л_эл ⁼~Z_rL_sfifi                                                         (10)

При чисто активной нагрузке и регулировании тока возбуждения можно обеспечить i _sq ∝ Ω , что дает Р _эл ∝ Ω². Это важная особенность, которую необходимо учитывать при моделировании системы электроснабжения.

Приведение модели к форме, удобной для имитационного моделирования

Для численного решения система уравнений (4) и (9) должна быть представлена в виде нормальной формы Коши (разрешенной относительно производных). Электрическая подсистема может быть записана в матричной форме. Введем вектор состояния i = [ i sd , i sq , i f ]^T, вектор напряжений u = [ u _sd , u _sq , u f ]^T и матрицы:

	(                 3 Ld    0 ~^Lsf		Rs -&Lq     0 л
L =	0 Lq 0	, R =	3 &L, R &—L,
	V 2 f           f )		<0 0 ^/ J

Тогда система (4) принимает вид:

Отсюда производные токов:

^ = L^-1(u-Ri), at

9 2

где определитель матрицы L равен det(L) — L_dL_fL_q L_s/L_q.

Механическое уравнение (9) дополняет систему:

d£l dt

Угловое положение ротора определяется интегрированием:

Для полноценного моделирования изолированной системы электроснабжения необходимо определить напряжения u _sd и u _sq , которые формируются выпрямителем и нагрузкой. В случае работы на пассивный диодный выпрямитель с емкостным фильтром и активной нагрузкой R _load можно использовать упрощенную модель, связывающую переменные на стороне постоянного тока с dq -компонентами. При симметричной нагрузке и пренебрежении коммутационными процессами в вентилях справедливо [8, 9]:

Ude ^ yUd ^q _n ^^s^dc , (15)

где I d_c = U d_s / R l_oad – ток нагрузки. Уравнение (15) является алгебраическим и решается совместно с (12)–(14) на каждом шаге интегрирования. Напряжения usd и usq при этом могут быть выражены через Udc и управляющие сигналы инвертора (при его наличии). Для более точного учета коммутаций рекомендуется использовать специализированные библиотеки (Simscape Electrical), однако предлагаемый подход на уровне dq -координат существенно сокращает время расчета при сохранении приемлемой точности для задач синтеза регуляторов.

Таким образом, полная система для моделирования включает пять дифференциальных уравнений (12)–(14) и алгебраическое уравнение (15), а также соотношения для вычисления потокосцеплений (3d) и момента (6). Модель легко реализуется в любом пакете имитационного моделирования (Matlab/Simulink, Scilab/Xcos, Python с библиотеками ODE).

Обсуждение особенностей модели и ее применение

Разработанная модель учитывает следующие характерные особенности ВИГ:

• -    периодический характер взаимной индуктивности между обмоткой возбуждения и фазами статора, обусловленный зубчатой структурой ротора;

• -    неявнополюсность статора (индуктивности L _s по осям d и q одинаковы);

• -    отсутствие демпферных обмоток, что упрощает структуру уравнений;

• -    квадратичную зависимость электромагнитной мощности и демпфирующего момента от скорости, что отличает ВИГ от классических синхронных машин с линейным демпфированием [12].

Модель позволяет проводить следующие исследования:

• -    определение внешних характеристик генератора (зависимость напряжения и тока от скорости и нагрузки);

• -    анализ устойчивости системы «дизель – генератор – нагрузка» при различных параметрах;

• -    синтез регуляторов тока возбуждения для стабилизации выходного напряжения;

• -    оценка переходных процессов при внезапном набросе или сбросе нагрузки.

Верификация модели . Для проверки адекватности предложенной модели рекомендуется сравнение внешних характеристик U ds = f ( I dc ), полученных численным интегрированием, с аналитическим выражением, следующим из (10) и (15). В установившемся режиме при постоянном токе возбуждения i f = const и активной нагрузке должно выполняться условие линейной зависимости тока i _sq от угловой скорости Ω (при постоянстве U _dc ). Отклонение расчетных данных от аналитических не должно превышать 5–7 % в рабочем диапазоне скоростей, что подтверждает корректность выбора первой гармоники и упрощенной модели выпрямителя. Дополнительно рекомендуется сравнение с результатами конечно-элементного моделирования магнитного поля для нескольких характерных точек, что позволит уточнить значения индуктивностей L _sf и L _s .

В качестве примера использования модели может служить исследование работы ДГУ при изменении частоты вращения дизеля в диапазоне 800–1500 об/мин. Модель позволяет подобрать параметры регулятора скорости дизеля и возбуждения для обеспечения качественного электроснабжения [15].

Заключение

В работе представлена математическая модель вентильно-индукторного генератора, предназначенная для создания имитационной модели изолированной системы электроснабжения. Модель построена на основе уравнений Максвелла и обобщенной теории электрических машин, учитывает конструктивные особенности ВИГ (девятифазная обмотка, зубчатый ротор, неподвижная обмотка возбуждения). Получены уравнения в dq -координатах, выражение для электромагнитного момента и уравнение движения с учетом нелинейного демпфирования, пропорционального квадрату скорости. Система приведена к форме, пригодной для численного интегрирования, что позволяет использовать ее в современных средствах имитационного моделирования.

Научная и практическая ценность работы состоит в адаптации метода обобщенной теории электрических машин к девятифазной одноименнополюсной индукторной машине с яв- ным выделением взаимной индуктивности между обмоткой возбуждения и контурами статора, а также в корректной постановке уравнения движения и введении упрощенной модели выпрямителя для замыкания системы. Предложенная модель может служить основой для разработки и отладки систем управления дизель-генераторных установок с вентильно-индукторными генераторами.