Математическая модель вязкопластичной смазки подшипников скольжения с деформируемой опорной поверхностью
Автор: Ахвердиев Камил Самедович, Колесников Игорь Владимирович, Мукутадзе Мурман Александрович, Семенко Инна Сергеевна
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Технические науки
Статья в выпуске: 8 (69) т.12, 2012 года.
Бесплатный доступ
Даётся метод расчёта радиального подшипника с деформируемой опорной поверхностью на основе аналога уравнения Рейнольдса для вязко-пластичной смазки и уравнения Ламэ для случая «тонкого слоя». Предлагается метод, позволяющий формировать точное автомодельное решение рассматриваемой задачи. Полученные аналитические зависимости позволяют оценить влияние безразмерного параметра пластичности и упругогидродинамического параметра на основные рабочие характеристики подшипника. В результате установлено, что с увеличением значений параметра пластичности и упругогидродинамического параметра, значения несущей способности и силы трения возрастают. В предельном случае, когда упругогидродинамический параметр стремится к бесконечности, значение несущей способности подшипника и сила трения стремятся к соответствующим значениям для подшипника с жёсткой опорной поверхностью. В принятом в работе приближении значение несущей способности и силы трения прямо пропорционально параметру пластичности.
Опорная поверхность, подшипники скольжения, вязкопластичная смазка, деформация, упругогидродинамический параметр, несущая способность, сила трения
Короткий адрес: https://sciup.org/14249935
IDR: 14249935
Текст научной статьи Математическая модель вязкопластичной смазки подшипников скольжения с деформируемой опорной поверхностью
Введение. Как известно, применяемые в настоящее время жидкие смазочные материалы (масла) состоят из масляной основы (базового масла) и композиции присадок, придающих маслам необходимый уровень функциональных свойств [1, 2]. Добавки полимеров с высоким молекулярным весом придают маслам вязкопластичные свойства. Работа подшипников, работающих на вязкопластичных смазках, достаточно изучена [3—6]. Анализ этих работ показывает, что в выполненных исследованиях опорная поверхность подшипников считается абсолютно жёсткой.
В области подшипников с жидкостной плёнкой смазки появилось новое направление подшипников с нежёсткой опорной поверхностью. Жёсткость такой поверхности имеет такой же или даже меньший порядок величины по сравнению с жёсткостью плёнки смазки. Подшипники с нежёсткой поверхностью имеют явные преимущества по сравнению с подшипниками жёсткой опорной поверхностью. Эти преимущества — допустимость больших несоосностей и деформации рабочей поверхности, а также терпимость к присутствию посторонних частиц между рабочими поверхностями. Кроме того, податливость эластомера под действием давления смазки приводит к появлению своего рода губы, ограничивающей утечку сдавливающей смазки из подшипника.
Таким образом, в условиях уменьшенного смазкой питания подшипник с нежёсткой поверхностью может сохранить гидродинамическую или гидростатическую плёнку смазки. В этом отношении он значительно превосходит подшипник с жёсткой опорной поверхностью. Целью данного исследования является оценка рабочих характеристик такого подшипника и, в последующем, сравнение их с хорошо известными характеристиками подшипника такого же типа, но имеющего жёсткую опорную поверхность.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся движение вязкопластичной смазки в зазоре радиального подшипника с податливой опорной поверхностью. Шип вращается с угловой скоростью со, а подшипник неподвижен. В полярной системе координат (г, 0) с полюсом в центре шипа уравнения шипа и деформированного контура опорной поверхности запишутся в виде г' = г0, г' = rY + ecos0 + аф(0).
Здесь г0 — радиус шипа; а — радиус подшипника; е — эксцентриситет; аф(0) — функция, характеризующая деформацию опорной поверхности подшипника.
При оценке влияния деформации опорной поверхности подшипника на его основные рабочие характеристики ограничимся максимальным значением функции аф(0). Введём обозначения ар(е) = а<р*; при 9 е [о, 2л] ар* = тахар(э).
Основные уравнения и граничные условия. Будем исходить из безразмерных уравнений движения вязкопластичной смазки для случая «тонкого слоя» и уравнения неразрывности, которые получаются из уравнений Генки-Ильюшина методом оценок
d2U dp . ди ди п
—г = т^- + А — + -л- = 0 dr2 de dr 50
Система уравнений (1) решается при следующих граничных условиях
(/=0, и = 0 при Г = 1+Г|СО50
и = -1, и = 0 при г = 0; р(0) = Р(2п) = -^-
е х х , рсог2
Здесь п = $; б = г, + аф - г0 ; и,, = шби, ие = шгои — компоненты вектора скорости; р' = ^2° р —
, х . 2тпб2 _ „ _ гидродинамическое давление, г' = гп+ог; А =—У—--безразмерный параметр, обуславливаю-ЦСОГр щий вязкопластичные свойства смазки; рД — давление питания; т0 — предельное напряжение сдвига.
К уравнению (1) необходимо добавить безразмерную систему уравнений Ламэ для «тонкого слоя»
^^ = 0, ^- = 0. dr*2 5г*2
Здесь в области занятой упругим слоем размерные величины и'г, и^ связаны с безразмерными соотношениями
u'r, =U*Ur,, Ug =U*Ug, Г' = rx +6/*, бт =r2 -rlz
где и* — характерная величина компонента вектора перемещений; r2-ri — толщина упругого слоя.
В переменных (г, 6) и (г*, 6) уравнение недеформированного контура, прилегающего к смазочному слою, можно записать в виде
■^- + П cos 0 = ^(0), г* = ri! cos 0 = Л2 (0), П = |-, Ф =у-
Уравнение деформированного контура и внешнего контура упругого слоя прилегающего к жёсткой поверхности подшипника соответственно запишется в виде
г = 1 + П cos 0 = Л3 (0), г* =1+ П1 cos0 = Л4(0).
Система уравнений (3) решается при следующих граничных условиях
N—§-dr*
Эи "dr
.. 9иг,
, М—г- r=hv^ ^Г
^' Уе1г-=Л4(6) uAr=h 2(В) О'
где
N G,W6. „ G^l + a^u'^ мсогцб/ (1-а)ро)г02б1 '
Gr — модуль сдвига; о — постоянная Мусхелишвили; р = max р, 9 е [0, 2п]; р — безразмерное гидродинамическое давление в смазочном слое радиального подшипника с жёсткой опорной поверхностью.
Граничные условия (7) означают равенство касательных и нормальных направлений на недеформированной упругой поверхности подшипника, прилегающей к смазочному слою.
Интегрируя первое уравнение смазки (3) с учётом граничных условий (7), будем иметь
Г М М ’
Воспользуемся приближённой формулой
Ir-^fe)1
С учётом формул (5) и (6) получим
аф* Р б ~ М
Из уравнения (9) с точностью до членов
для аф* получим следующее приближённое
уравнение
ЭД ~~j^\r^ r*r
(Ю)
Из формулы (10), как и ожидалось, следует, что отношение максимального значения деформации к радиальному зазору прямо пропорционально безразмерному максимальному давлению и обратно пропорционально упругогидродинамическому параметру М. При М -ж аф* -> 0.
Точное автомодельное решение задачи (1)—(2) будем искать в виде
« = ”Ч^),о = -^+1/(г,е),Ф = Ф(у,« = ^
v = »®h-(eV^,^A = ^^-HD
Подставляя (11) в (1) и (2) придём к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий к ним
Ф” = с2, u" = cv У-^и' = 0(12)
Ф'(0) = 0; Ф'(0) = 0, 17(0) = -1, и(1) = 0, 5(0) = 0, б(1) = 0; j(7(^ = 0.(13)
о
Решение задачи (12)—(13) легко находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь
Ф' = ^р-У, ОД^у-^-ф-!,(14)
где q = -б, константа с2 в дальнейшем определяется из условия /:(0)=/:(2п).
Гидродинамическое давление с учётом (14) определяется из последнего уравнения системы (11). С точностью до членов С(п3) для определения Р приходим к уравнению
^■ + Д = -6^1-2ncos6 + |n2 +^cos29j + c2(l-3ncos0 + 3n2 +3q2cos26)(15)
Из условия периодичности гидродинамического давления в принятом нами приближении для константы с2 получим следующее выражение с2 =Д + 6-ЗДп2-9п2(16)
Интегрируя (15) с учётом (16) будем иметь р = —бп sin 6 — 3/4г| sin 6 + 9п2 sin 26 + — q2 sin 26 + —(17)
' 2
где р = р(6) при 6 = 61Z где 61 является корнем уравнения
-бпсозб! -ЗЛпсозб! +18n2cos261 н-ЗД^соэгб! =0, п = е/(г1 -г0).(18)
Перейдём к определению безразмерной несущей способности и безразмерной силы трения. С учётом формул (14) и (17) для Ry — безразмерной составляющей несущей способности и без размерной силы трения получим следующие выражения
R 2п
R„ =—— = — f Р sin 6сУ6 = 6пп + ЗДг|п о


yVO)) Ч
+ —об = 2п + 4г|2п - Дп + - Дпг|2
^(б)/ 1 2 1
Численный анализ аналитический выражений (19) с учётом (17) и (18) проводился при следую'
щих значениях параметров

Рис. 1. Зависимость безразмерной несущей способности от Рис. 2. Зависимость безразмерной силы трения от параметра параметра М: 1 — Эф* = 0, А = 0,6; 2 — Эф* * 0, А = 0,6 М: 1 — Эф* = 0, А = 0,6; 2 — Эф* * 0, А = 0,6
Выводы. Из полученных выражений (19) и зависимостей, приведённых на рис. 1 и 2, следует, что:
-
1. Значение несущей способности и силы трения подшипника с податливой опорной поверхностью меньше, чем у такого же подшипника с жёсткой опорной поверхностью.
-
2. С увеличением значения упругогидродинамического параметра М, значение несущей способности и силы трения подшипника возрастает. При М -»<» несущая способность подшипника и сила трения стремятся к соответствующему значению для случая подшипника с жёсткой опорной поверхностью.
-
3. В принятом в работе приближении значение несущей способности и силы трения прямо пропорционально параметру пластичности А.
Список литературы Математическая модель вязкопластичной смазки подшипников скольжения с деформируемой опорной поверхностью
- Тзунг Ен На. О сдавливании плёнки неньютоновской жидкости/Тзунг Ен На//Теоретические основы инженерных расчётов. -1966. -№ 3. -С. 168.
- Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости. -Москва: Машиностроение, 1974. -333 с.
- Ахвердиев, К. С. Нелинейная задача о неустановившемся движении вязкопластичной жидкости между шипом и подшипником//Доклады АН АзССР. -1977. -Т. 33, № 11. -С. 19-25.
- Ахвердиев, К. С. Нелинейные эффекты воздействия вязкопластичной смазки на шип подшипника скольжения//Доклады АН АзССР. -1977. -Т. 34, № 12. -С. 30-35.
- Ахвердиев, К. С. О движении вязкопластичной смазки в подшипнике//Доклады АН АзССР. -1977. -Т. 33, № 3. -С. 7-13.
- Ахвердиев, К. С. Нелинейные эффекты воздействия вязкопластичной смазки на устойчивость движения шипа в подшипнике//Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика. -1978. -№ 5. -С. 86-92.