Математическая модель воспроизводства человеческого капитала предприятий в условиях внедрения технологий искусственного интеллекта

Оригинальное теоретическое исследование

Российская Федерация,

Original Theoretical Research

A Mathematical Model for Human Capital Reproduction in Enterprises under Artificial Intelligence Adoption

Alexander I. Sukhinov , Kirill A. Kharitonov, Ekaterina A. Ugnich H

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation,

Introduction . An economic-mathematical model of human capital development is an essential tool for managing a human capital of the enterprise. Existing models do not take into account the complex dynamics of such factors as training intensity, competence depreciation, introduction of new technologies, and worker mobility. Consequently, there arises a need for an economic-mathematical model of labor resource reproduction that provides a comprehensive picture of their current state and future parameters. The objective of the study is to develop a dynamic economic-mathematical model of the reproduction of human capital of enterprises, taking into account the key factors of its transformation, and to empirically validate it using data from Russian enterprises.

Materials and Methods. Based on a theoretical analysis of the factors affecting the reproduction of enterprise human capital, these factors have been formalized to construct a dynamic economic-mathematical model. Logistic models are employed to describe the dynamics of human capital development, wherein the rate of growth is determined simultaneously by the internal management decisions of the enterprise, structural losses due to competence obsolescence, and the external competitive environment. Given the difficulty of obtaining corporate data to validate the developed model, the authors utilized survey results from engineers at three machine-building enterprises ( n = 617). Following the processing of the survey data, estimates were derived for the coefficients α and β, which characterize the intensity of artificial intelligence (AI) adoption and implementation.

Results. To model competitive dynamics for a group of enterprises within an industry, a system of interconnected ordinary differential equations (ODE) has been formulated. It is shown that calibrating the presented dynamic model at the enterprise level requires data that include HR metrics, such as the intensity of training and artificial intelligence adoption, as well as mobility and attractiveness parameters linked to remuneration and workforce flows. A numerical experiment based on the proposed dynamic economic-mathematical model was conducted to generate a five-year forecast of human capital dynamics for three machine-building enterprises (N = 3). Three scenarios reflecting labor resource dynamics are presented: 1) without inter-firm interaction; 2) accounting for the impact of wage differentiation; and 3) accounting for varying levels of activity in corporate compensation policies. The results confirmed the presence of a saturation effect for Scenario 1, the pronounced impact of labor market competition on human capital dynamics for Scenario 2, and the significance of training intensity and AI technology usage — factors that can even partially offset the adverse effects of the competitive environment in Scenario 3.

Discussion. The proposed model of human capital reproduction is based on a system of ODE, providing a holistic and internally consistent description of how this resource evolves within an enterprise under the influence of investments in employee training, adoption of AI technologies, and changes in the competitive environment. The results of model testing across three scenarios for three enterprises align with the findings of other studies. In particular, the saturation effect at the enterprise level in the medium term is confirmed, as well as the positive impact of wage growth, increased employee training, and adoption of AI on the development of human capital (specifically, for organizations with a low initial level of it).

Conclusion. The authors propose an approach to modeling enterprise human capital reproduction amid the rise of AI technologies. The approach is based on the premise that employee competencies are formed and lost over time under the combined influence of training, technological renewal, and inter-firm mobility. This economic-mathematical model describes human capital dynamics as a nonlinear process of bounded growth relative to a fixed industry frontier, which provides comparability of enterprise parameters. A numerical experiment involving three enterprises has demonstrated the model practical interpretability and the importance of jointly accounting for the above factors.

Acknowledgments. The authors would like to thank the Editors and reviewers for their attentive attitude to the article and the specified comments that improved the quality of the article.

Funding Information. The research was done with the financial support of the Russian Science Foundation as part of the project “An Inclusive Model of Human Capital Management in Mechanical Engineering Organizations in the Context of the Development of Artificial Intelligence Technologies” (Agreement No. 25‑28‑02983, ‑28‑02983/).

Введение. На современном этапе научно-технического прогресса ускоренное развитие технологий ИИ постепенно становится важным источником социально-экономического развития. Так, к 2035 году благодаря распространению и внедрению технологий ИИ ожидается рост мировой экономики на 15 % 1 . В то же время некоторые исследователи [1] заявляют о незначительном влиянии ИИ на производительность, что позволяет говорить о парадоксе Солоу [2] в новых технологических условиях. Обусловлено это тем, что, несмотря на масштабный качественный переход новых технологий от базовых алгоритмов к большим языковым моделям, существующие производственные и бизнес-процессы [3] , а также управленческие подходы ориентированы на исключительное участие человека и могут ограничивать темпы и объемы внедрения. В то же время трансформация этих процессов невозможна без оценки перспектив и ключевых факторов ее реализации. Непосредственно внедрение технологий ИИ происходит на уровне предприятий и оказывает влияние на трансформацию производственных процессов. В этом контексте развитие такого важного фактора производства, как человеческий капитал, за счет расширения знаний и компетенций работников выступает ключевым условием реализации потенциала ИИ [4] и преодоления парадокса Солоу. Вышеизложенное подчеркивает важность исследования воспроизводства на уровне предприятий.

Информатика, вычислительная техника и управление

В рамках классической теории человеческий капитал рассматривается с позиции инвестиций в образование, знания и навыки, приносящих экономическую отдачу в будущем. Родоначальники этой теории, Т. Шульц и Г. Беккер, рассматривают человеческий капитал как накопленный запас знаний, навыков, компетенций, идей, здоровья, способный генерировать поток доходов в будущем [5] . Расходы на обучение трактуются ими как инвестиции, а не источник затрат, что позволяет применять количественные методы оценки эффективности управленческих решений на уровне индивидов и предприятий.

Экономико-математическое моделирование является одним из основных инструментов исследования человеческого капитала. Оно позволяет формализовать взаимосвязь межу различными факторами его развития и социально-экономическими результатами. В некоторых исследованиях [6] человеческий капитал рассматривается как фактор эндогенного роста, включающий в себя накопление профессиональных знаний и навыков, и интерпретируется как источник долгосрочной производительности.

При этом в современных исследованиях подчеркивается усиление нелинейности процессов формирования и использования человеческих ресурсов вследствие ускоренного устаревания компетенций, развития новых технологий и мобильности рабочей силы [7] . Это актуализирует потребность в моделях, способных описывать изменение факторов, влияющих на персонал предприятий во времени и с учетом конкурентной среды.

Для построения динамической экономико-математической модели воспроизводства человеческого капитала необходимо определить, какие факторы его изменения являются ключевыми в современных условиях и как они описываются в литературе.

Одной из наиболее распространенных моделей его оценки через отдачу от образования является уравнение Минцера [8] . Оно связывает уровень заработной платы с продолжительностью обучения и трудовым опытом. Эмпирические данные подтверждают корреляцию показателей образования с ростом доходов и производительности, что делает инвестиции в обучение важным источником накопления человеческого капитала [9] . Вместе с тем в некоторых исследованиях показано, что отдача от образования неоднородна по когортам, профессиям и секторам экономики [10] , что может проявляться ее нелинейность и зависимость от технологических изменений [11] . Это означает, что оценка человеческого капитала через статические регрессионные зависимости не полностью отражает процессы его воспроизводства на уровне предприятия, где важно учитывать скорость обучения, устаревание компетенций и условия конкурентной среды.

Современный этап научно-технического прогресса усиливает динамику развития трудовых ресурсов, поскольку компетенции работников способны не только накапливаться, но и устаревать под воздействием новых технологий и изменений требований к профессиональным задачам. Поэтому их целесообразно рассматривать как актив, подверженный амортизации [12] . В некоторых исследованиях доказывается, что скорость устаревания компетенций неодинакова для разных уровней образования и типов задач и может возрастать в профессиях, связанных с нерутинными аналитическими и креативными функциями [13] . В условиях ускорения научно-технического прогресса «полураспад» высокотехнологичных знаний ускоряется, что повышает значимость непрерывного обучения и переобучения.

Для моделирования на микроуровне это обстоятельство свидетельствует о том, что человеческий капитал предприятия должен описываться не только через механизм накопления компетенций, но и через механизм их устаревания, потери стоимости, обуславливающий амортизацию. При этом амортизация выступает не разовым, случайным, а систематическим процессом, отражающим форму последующего возмещения потерь [14] , которые могут возникнуть даже в условиях роста инвестиций в обучение работников.

Отдельное направление современных исследований связано с оценкой влияния технологий ИИ на трудовые ресурсы. Эмпирические исследования результатов внедрения ИИ-ассистентов на основе больших языковых моделей в некоторых профессиях демонстрируют их способность ускорять выполнение рабочих процедур и повышать производительность прежде всего у менее опытных сотрудников [15, 16] . Данный эффект связан не только с оперативным получением информации работниками в текущий момент, но и с аккумуляцией знаний: сотрудники, активно использующие рекомендации от ИИ-ассистентов, со временем демонстрируют устойчивое улучшение результатов работы, что влияет на накопление человеческого капитала в целом.

Для экономико-математического моделирования это означает, что ИИ может выступать отдельным фактором развития человеческого капитала, влияющего на его динамику во времени. Стоит отметить, что максимальные выигрыши здесь характерны для групп с низким исходным уровнем навыков, тогда как для высококвалифицированных работников прирост может быть слабее. Следовательно, вклад ИИ в модель динамики человеческих ресурсов должен учитываться как систематический источник ускорения, потенциально зависящий от состояния системы (уровня человеческого капитала, в частности, компетенций) и контекста производственных задач.

Еще одним фактором, влияющим на развитие человеческого капитала предприятия, является межфирменная мобильность работников. Традиционно она рассматривается как фактор риска для окупаемости инвестиций в обучение, поскольку предприятие несет затраты, связанные с обновлением компетенций. Однако часть из них может не окупиться ввиду увольнения сотрудников [17] . Современные исследования показывают, что мобильность одновременно является каналом распространения знаний и практик между организациями. Исследование на примере обрабатывающих отраслей показало, что найм работников из более производительных предприятий приводит к повышению производительности принимающего предприятия, причем эффект носит асимметричный характер, поскольку приток из продуктивных предприятий более выражен и значим [18] . Также в этих исследованиях подчеркивается значимость отраслевой специфики, поскольку переходы внутри отрасли обеспечивают передачу наиболее подходящих компетенций.

Таким образом, динамика человеческого капитала предприятия определяется не только внутренними инвестициями, но и внешним притоком либо оттоком работников с необходимыми компетенциями. Следовательно, предприятие может накапливать человеческие ресурсы, привлекая работников с необходимыми компетенциями, но может и терять его при оттоке кадров.

Рассмотренные факторы развития и особенности человеческого капитала позволяют сформулировать ключевые требования к модели его воспроизводства, которые включают в себя процессы формирования, накопления и использования. Во-первых, модель должна быть динамической, то есть описывать кадровый потенциал как изменяющуюся во времени систему, в которой одновременно действуют механизмы накопления и технологически обусловленной утраты компетенций работников [12, 19] .

Во-вторых, с учетом убывающей предельной отдачей при приближении к ведущим практикам отрасли динамика человеческого капитала должна быть нелинейной и принимать во внимание ограниченность накопления компетенций [20] .

В-третьих, в условиях распространения технологий ИИ необходимо выделять их вклад как фактора, способного оказывать влияние на распространение знаний на предприятии, причем эффект может быть неоднородным для разных профессиональных групп [21] .

Наконец, модель должна учитывать внешнюю конкурентную среду [18] , поскольку межфирменная мобильность способствует притоку либо оттоку работников с необходимыми компетенциями, что требует обязательного учета взаимодействий предприятий и допускает переход от уравнения для отдельного предприятия к системной постановке для набора конкурентов. Удобной основой для такой постановки выступает использование относительных показателей человеческих ресурсов, интерпретируемых как позиция предприятия в отрасли, что обеспечивает сопоставимость предприятий и задает естественное ограничение динамики.

Несмотря на значительное количество работ, посвященных исследованию человеческого капитала и моделированию факторов его развития, большинство из них не учитывает в полной мере взаимосвязанные процессы на уровне предприятия: корпоративное обучение, амортизацию компетенций, внедрение новых технологий и мобильность работников. Как следствие, у предприятий отсутствуют формализованные инструменты для оценки того, как инвестиции в обучение, внедрение ИИ и кадровая мобильность совместно формируют траекторию развития человеческого капитала в перспективе. Разработка экономико-математической модели воспроизводства человеческого капитала позволит комплексно оценить его текущее и перспективное состояние, обеспечив тем самым научную обоснованность управленческих решений на предприятиях.

Целью данной статьи является разработка и апробация динамической экономико-математической модели воспроизводства человеческого капитала на уровне предприятия с учетом ключевых факторов его трансформации. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• -    обосновать факторы воспроизводства человеческих ресурсов предприятий в условиях распространения технологий ИИ;

• -    построить динамическую модель воспроизводства человеческого капитала на основе системы ОДУ;

• -    провести апробацию динамической модели воспроизводства человеческого капитала на основе реализации трех сценарных прогнозов;

• -    разработать предложения и практические рекомендации по совершенствованию управления человеческими ресурсами предприятий на основе результатов апробации.

Материалы и методы. Показатели человеческого капитала и факторы динамики. Для построения динамической экономико-математической модели воспроизводства человеческого капитала введены сопоставимые показатели уровня компетенций работников и формализованы факторы, влияющие на их изменение во времени. В рамках настоящего исследования человеческий потенциал рассматривается на уровне предприятия с учетом профессиональной структуры персонала и конкурентного окружения.

Информатика, вычислительная техника и управление

Если совокупность предприятий отрасли представить как j = 1, 2, ..., N , а профессиональные группы работников как i =1, 2, ..., M, то показатель человеческого капитала профессиональной группы i предприятия j в момент времени t примет вид:

i HA t ) ^. (1)

Величина H ji ( t ) (1) интерпретируется как интегральная количественная оценка уровня знаний, навыков, опыта и прикладных компетенций работников соответствующей профессиональной группы. На практике H ji ( t ) может формироваться на основе внутренних HR-метрик [19] (результаты аттестаций и оценок компетенций), показателей производительности труда, данных о прохождении обучения, а также других инструментов HR-аналитики. Для удобства H ji может измеряться в условных баллах (нормированных индексах).

Для предприятия, являющегося объектом исследования, показатель записывается как уравнение (2).

H о i = H 0i ( t ) . (2)

Для учёта конкурентного положения предприятия вводится отраслевой максимум человеческого капитала по профессиональной группе i :

H maxi = max { H ii } .

1 < i <  N

В дальнейшем величина H max j будет рассматриваться как фиксированный отраслевой фронтир по профессиональной группе i на горизонте моделирования. На практике H max i (3) задаваться как максимум по наблюдаемой выборке предприятий в базовый момент времени t 0 , бенчмарк лучшей практики отрасли, либо нормативное (целевое) значение компетенций. Такое допущение позволяет интерпретировать h ji ( t ) как позицию предприятия относительно заданного эталона и использовать автономную динамику для h ji ( t ). Учет эндогенного изменяющегося во времени фронтира H max i ( t ), пересчитываемого как максимум текущего состояния среди предприятий, требует отдельной модификации модели и выходит за рамки настоящей статьи.

На его основе определяется относительный показатель человеческого капитала [20] :

H hji = -j-, 0 < hji <1.                                            (4)

H maxi

Для рассматриваемого предприятия

Ht

4 t ) =      '.                                                   (5)

H maxi

Следовательно, значение h ji = 1 (4) соответствует уровню лидера (максимально наблюдаемому в отрасли), а снижение h ji отражает отставание по качеству и актуальности компетенций соответствующей профессиональной группы. Использование относительной шкалы обеспечивает сопоставимость предприятий и профессиональных групп при различии абсолютных метрик, а также позволяет учитывать ограничение роста, поскольку приближение к фронтиру сопровождается снижением возможностей дальнейшего ускорения накопления человеческих ресурсов.

Ключевые управляемые воздействия, формирующие динамику человеческого капитала, задаются через следующие показатели:

• -    инвестиции в образование и развитие профессиональной группы i [22, 5] :

EDU , = EDU , ( t ) ;                                            (6)

• -    уровень внедрения и использования технологий ИИ в деятельности группы [21] :

AI , = AI. ( t ) .                                                        (7)

Переменные EDU i ( t ) и AI i ( t ) характеризуют соответственно интенсивность внутрифирменного обучения (6) и степень использования ИИ-инструментов в деятельности профессиональной группы i (7). В прикладных расчетах они могут задаваться на основе корпоративной статистики и рассматриваются как управляемые параметры кадровой политики и цифровой трансформации.

Для описания реакции человеческого капитала на управленческие воздействия и внешнюю среду вводятся параметры:

• -    a i — коэффициент эффективности образовательных инвестиций для группы i , определяемый как ско-рость/результативность накопления компетенций при заданной интенсивности EDUi ;

• -    в I — коэффициент влияния внедрения ИИ на динамику трудовых ресурсов группы i , определяемый как ускорение обучения, повышение эффективности применения знаний, диффузия лучших практик внутри предприятия;

• -    5 i > 0 — коэффициент амортизации человеческого капитала группы i , определяемый как темп устаревания компетенций под воздействием технологических изменений и обновления требований к задачам;

• -    y ji — коэффициент межфирменного взаимодействия/мобильности, показывающий вклад человеческих ресурсов предприятия j в динамику рассматриваемого предприятия по группе i . Он отражает интенсивность и направленность перераспределения компетенций через рынок труда.

В прикладной постановке коэффициент γ связывается с дифференциацией оплаты труда между предприятиями, поскольку различия в заработной плате выступают одним из ключевых факторов межфирменной мобильности работников. В частности, коэффициент привлекательности перехода может быть задан в виде:

P

7 л =3 Л-[1 - ^j,                                       (8)

где δ ij — параметр интенсивности мобильности (склонность к переходам) для профессиональной группы i ; P ij — средняя заработная плата работников группы i предприятия j ; P i — средняя заработная плата работников группы i на предприятиях отрасли.

Такая специфика отражает рост привлекательности перехода по мере увеличения разрыва в оплате труда в пользу принимающего предприятия.

Предложенная система показателей ориентирована на практическое использование их предприятиями в целях управления персоналом и стратегического планирования развития человеческого капитала.

В совокупности такая формализация факторов человеческого потенциала создает основу для построения его динамической модели, которая позволяет анализировать траектории развития h i ( t ) при различных стратегиях обучения работников, внедрения ИИ и условиях конкурентной среды.

Динамическая модель воспроизводства человеческого капитала предприятия. В прикладных задачах управления массовыми процессами широко используются нелинейные модели логистического типа, в которых скорость изменения показателя пропорциональна его текущему уровню и/или интенсивности внешнего воздействия и остаточной ёмкости системы. Для примера можно привести модель рекламной кампании двух конкурирующих фирм в виде задачи Коши для системы нелинейных ОДУ [23] , где темп роста числа покупателей каждого товара определяется интенсивностью рекламы и межтоварным взаимодействием, а ограничение роста задаётся множителем вида ( N 0 - N i - N 2 ), отражающим конечную ёмкость рынка. Для случая постоянных коэффициентов в указанной работе получено решение в замкнутом виде.

С учётом вышеуказанных факторов и показателей, включая (6), (7), (8), динамика относительного уровня человеческого капитала предприятия по профессиональной группе i описывается следующим дифференциальным уравнением:

dh i dt

a i

V

N

EDU i h i +   AI i h i -8 i h + ^ Y ji h ji ^{( 1} - h}.

j = 1

Уравнение (9) отражает нелинейную динамику, в которой темп изменения человеческого капитала определяется одновременно внутренними решениями предприятия (обучение и цифровые технологии), структурными потерями (амортизация) и внешней конкурентной средой (межфирменная мобильность работников).

Таким образом, в рамках управления персоналом можно выделить несколько ключевых рычагов. Во-первых, предприятие может воздействовать на траекторию h i ( t ) через интенсивность обучения ( EDU i ( t )) и обновление компетенций, увеличивая вклад обучения в накопление человеческого капитала. Во-вторых, ускорение его накопления возможно за счет внедрения технологий ИИ ( AI i ( t )), которые способны повысить эффективность выполнения задач. В-третьих, особенно важно учитывать амортизацию человеческого капитала. Так, при высоких значениях 5 i поддержание и увеличение h i ( t ) требует систематических инвестиций, иначе траектория может перейти к стагнации или снижению. Наконец, в-четвертых, межфирменная мобильность задает внешнюю компоненту динамики, так как конкурентные условия на рынке труда способны усиливать или ослаблять эффект внутренних инвестиций, что делает необходимым согласование политики обучения и внедрения ИИ с политикой удержания и привлечения кадров.

Эмпирические данные. В условиях имеющейся сложности получения корпоративных данных для апробации данной модели использовались результаты опроса работников трех машиностроительных предприятий. Все респонденты ( n = 617) относятся к одной профессиональной группе — инженеры. Анализируемые предприятия сопоставимы по размеру, имеют одинаковую отраслевую принадлежность. Вопросы анкеты касались интенсивности формального и неформального обучения работников, а также внедрения технологий ИИ. На основе расчета и нормирования индексов обучения и внедрения искусственного интеллекта получены коэффициенты а и в. Опрос работников проводился в мае-июне 2026 года.

Результаты исследования. Система ОДУ для совокупности конкурирующих предприятий. Уравнение (9) включает в себя межфирменный компонент, зависящий от уровней человеческого капитала других предприятий отрасли через величины вида h ji ( t ). Следовательно, при рассмотрении конкурентной среды как эндогенной, траектория h i ( t ) рассматриваемого предприятия не может быть определена без описания динамики h ji ( t ) для других фирм. В этом смысле модель одного предприятия является незамкнутой, так как правая часть задается внешними по отношению к нему переменными, которые в реальности также изменяются.

Практически возможны два варианта применения модели.

• 1.    Траектории h ji ( t ) задаются извне — например, на основе экспертных сценариев, отраслевых прогнозов или исторических данных (с аппроксимацией тенденций на коротком горизонте). В этом случае уравнение для рассматриваемого предприятия решается как задача с заданным внешним воздействием со стороны конкурентной среды.

• 2.    Если целью является моделирование конкурентной динамики (включая обратные связи, эффекты «догоняющего развития», перетоки компетенций и изменение расстановки сил в отрасли), то траектории конкурентов не могут задаваться произвольно, они должны получаться из уравнений такого же типа. Это приводит к необходимости записи уравнения для каждого предприятия и к формированию системы взаимосвязанных ОДУ.

В системной постановке динамика относительного кадрового потенциала задаётся для всех предприятий отрасли. Для каждого предприятия человеческий капитал описывается уравнением, аналогичным (9), где межфирменный поток отражает влияние остальных участников рынка труда. Таким образом, межфирменная мобильность выступает механизмом связности системы, так как изменения кадрового потенциала одной организации становятся фактором динамики других организаций.

Информатика, вычислительная техника и управление

Для фиксированной профессиональной группы i система для N предприятий может быть представлена следу-

ющим образом:

dh:   (                            -N dt = a i E DU. h^^A 1i h 1i -S i h„ + ^ l jU h ji ( 1 - h1 ) ■ 1                                             j = 1          ) Г                                              1 d |^ = a EDU ^h 2 , ^AI ^h v-8 i h 2 , + ^ y 7 2 i h ji ( 1 - h 2 i ) ,                    (10) 1                                                   j = 1 dh Г                          Л      1 dt = a i EDU Ni h Ni + Р ,А1 м^ M Ni + ^ Y Ni h j ( 1 hNi ) . 1                                                 j = 1           )

В данной системе h ki ( t ) — относительный человеческий капитал k -й фирмы по группе i ; EDU ki ( t ) и AI ki ( t ) — фирменно-специфичные управляемые воздействия; коэффициенты γ jk,i отражают межфирменные связи (интенсив-ность/направление перетока компетенций), из-за чего динамика каждой фирмы зависит от траекторий остальных.

Данные, калибровка параметров и конфиденциальность. Предложенная система ОДУ (10) допускает системную постановку задач для набора предприятий, однако её практическая реализация сталкивается с принципиальным ограничением: полнота сведений анализируемого предприятия существенно отличается от показателей конкурентов. Внутрифирменные HR-сведения (оценки компетенций, обучение, использование ИИ, текучесть кадров и причины увольнений) могут быть доступны лишь на анализируемом предприятии, тогда конкурирующими организациями такие данные, как правило, не публикуются, они фрагментарны или защищены режимом коммерческой тайны. Следовательно, даже при корректной записи системы ОДУ для N предприятий возникают проблемы идентифицируемости параметров конкурентов и в ряде случаев невозможности прямой эмпирической калибровки всей системы.

Для калибровки динамической модели на уровне предприятия необходимы данные четырёх типов, включающие в себя метрику человеческого капитала H ji ( t ) / h ji ( t ), интенсивность EDU , использование ИИ ( AI ), параметры мобильности и привлекательности γ, включая компоненты, связанные с оплатой труда и кадровыми потоками.

Для анализируемого предприятия часть этих данных можно получить из внутренних источников, таких как оценки уровня владения компетенциями, расчет индексов обучения персонала на основе его объема и охвата, информация об использовании технологий ИИ, сведения из отдела кадров о поступлении и увольнении работников и т.п.

Для оценки конкурирующих предприятий наиболее критично то, что не публикуются или публикуются в не- полном виде следующие данные:

• -    оценка уровня владения компетенциями и матрица компетенций по профессиональным группам, что является основой для H ji ( t );

• -    сведения об обучении персонала, охват и эффективность, что является основой для EDU ji ( t ) и a i ;

• -    реальный уровень внедрения и использования технологий ИИ на рабочих местах, что служит основой для AI ji ( t ) и β i ;

• -    динамика кадровых потоков между конкретными парами предприятий и по группам, что составляет основу для у;

• -    структура заработной платы по профессиональным группам, которая частично может быть получена из обзоров вакансий, но редко бывает сопоставима и полна.

Отдельные публичные индикаторы, даже если они доступны, не могут заменить ключевых метрик, необходимых для прямой оценки параметров в уравнениях конкурентов.

Причина ограниченной наблюдаемости конкурентов состоит не только в сложности получения их данных, но и в их экономическом содержании. Для предприятий показатели H ( t ), EDU ( t ), AI ( t ) и параметры α, β, δ, γ фактически описывают внутреннюю эффективность управления человеческим капиталом и внедрение новых технологий, а также позицию на рынке труда. Публикация таких данных создает конкурентные риски, поскольку позволяет другим участникам делать выводы о слабых местах в подготовке персонала, внедрения ИИ, уязвимости к оттоку кадров. Это может способствовать развитию стратегии переманивания.

Поэтому для конкурирующих предприятий прямое оценивание α, β, δ по открытым источникам обычно невозможно. В результате параметры конкурентов в системной модели приходится задавать следующими способами:

• -    сценарно — через несколько реалистичных наборов параметров для конкурентов;

• -    интервально — через верхние/нижние границы на основе отраслевых исследований и косвенных индикаторов;

• -    косвенно — через подбор параметров, согласующий модель с доступными агрегатами: темпы роста производительности, динамика выручки на работника, публичные данные по найму/вакансиям и т.п.

Апробация динамической модели воспроизводства человеческого капитала с учетом трех сценариев и рекомендации для предприятий. Для апробации системной модели (10) анализируется человеческий капитал трех предприятий ( N = 3) одной отрасли и одной профессиональной группы ( M = 1). Динамика описывается относительным показателем человеческого капитала h N ( t ) ∈ [0; 1], интерпретируемым как позиция N -го предприятия относительно фиксированного отраслевого фронтира. Интенсивность мобильности работников взята как константа, равная 0,05. Горизонт моделирования составляет пять лет ( T 5), единица времени — год.

Начальные условия выбраны так, чтобы первое предприятие (фирма 1) находилось вблизи фронтира:

h 1 ( 0 ) = 0 , 95 , h 2 ( 0 ) = 0 , 65 , h 3 ( 0 ) = 0 , 45 .

Амортизация компетенций задается параметром δ = 0,012 (1,2 % в год), что соответствует эмпирическим оценкам темпов устаревания компетенций для работников с университетским образованием [12] .

Управляемые воздействия EDU N и AI N задаются в виде констант (сценарных уровней интенсивности) на всем горизонте моделирования. В базовой конфигурации принимаются следующие значения:

EDU N = AI N = 0 , 3 , N = 1 , 2 , 3 .

Коэффициенты эффективности обучения α N и внедрения ИИ β N получены в ходе опроса сотрудников трех предприятий и представлены в таблице 1.

Таблица 1

Коэффициенты обучения и внедрения ИИ трех предприятий

Предприятие	α	β
Фирма 1	0,51	0,42
Фирма 2	0,64	0,48
Фирма 3	0,49	0,54

Далее представлено несколько сценариев динамики человеческого капитала предприятий на пятилетнем вре- менном отрезке.

Сценарий 1 (рис. 1) демонстрирует динамику без межфирменного взаимодействия (γ = 0). На всех трех предприятиях наблюдается рост относительного кадрового потенциала, что связано с тем, что совокупный вклад управляемых факторов ( EDU , AI ) превышает потери от амортизации δ. Предприятие (фирма 1), находящееся близко к фронтиру, демонстрирует ожидаемое замедление темпа роста человеческого капитала из-за множителя (1 – h 1 ), за 5 лет h 1 ( t ) плавно приближаясь к 1. Человеческий капитал другого предприятия (фирма 2) растет быстрее третьего предприятия (фирма 3) и к концу горизонта прогнозирования достигает более высокой траектории h 2 ( t ), что соответствует большим значениям эффективности обучения (α 2 ) при сопоставимых управляемых воздействиях. Человеческий капитал предприятия (фирма 3) растет из-за более низкого начального уровня и на горизонте пяти лет сокращает разрыв с предприятием (фирма 2), но остается позади него.

hM

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,950

■ ■ ■ Фирма 1

— Фирма 2

— Фирма 3

Рис. 1. Первый сценарий динамики человеческого капитала трех предприятий. Сценарий 1: зарплаты одинаковые (γ = 0), EDU = AI = 0,3

Сценарий 2 (рис. 2) демонстрирует влияние зарплатной дифференциации на динамику через компоненту γ j → k . Повышение заработной платы в фирме 2 формирует дополнительное преимущество воспроизводства человеческого капитала за счет межфирменных перетоков: траектория h 2 ( t ) становится выше, по сравнению с базовым

Информатика, вычислительная техника и управление

случаем (при прочих равных условиях). Одновременно у фирм 1 и 3 возникает неблагоприятная внешняя компонента (частичный отток в пользу фирмы 2), что ослабляет темпы роста их человеческого капитала относительно сценария 1. При выбранном масштабе мобильности δ ^mob = 0,05 и горизонте в пять лет эффект проявляется умеренно, однако он меняет интерпретацию, так как даже при одинаковых инвестициях в обучение и внедрении ИИ конкурентное преимущество может создаваться через рынок труда и компенсационную политику предприятия.

hk(t) -

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,950

'"o^o

0’450

t, лет

■■ ■ Фирма I

— Фирма 2

— Фирма 3

Рис. 2. Второй сценарий динамики человеческого капитала трех предприятий.

Сценарий 2: зарплаты в фирме 2 +20 %, EDU = AI = 0,3

Сценарий 3 (рис. 3) демонстрирует активность корпоративной компенсационной политики: при сохранении преимущества в заработной плате на фирме 2 фирма 3 увеличивает интенсивность обучения и внедрения ИИ. В результате траектория h 3 ( t ) ускоряется, и на горизонте в пять лет фирма 3 существенно сокращает разрыв с фирмами 1 и 2. Кроме этого, на рис. 3 показано, что к концу периода человеческий капитал предприятия 3 приближается к уровню предприятия 2 и в перспективе способен его опередить. Это говорит о том, что управляемые инвестиции в развитие компетенций и внедрение новых технологий способны частично или полностью компенсировать неблагоприятные условия конкуренции за кадры, исходя из разрыва в заработной плате.

Ш-Г

0,986. и 0,944 “ "

0,911

0,2-

0,0-1-----------------------i-----------------------i-----------------------i-----------------------i-----------------------

0   12   3/, лет

• ■ • Фирма 1

— ■ Фирма 2

— Фирма 3

Рис. 3. Третий сценарий динамики человеческого капитала трех предприятий.

Сценарий 3: зарплаты в фирме 2 +20 %, фирма 3: EDU = AI = 0,6

Полученные результаты исследования позволяют сформулировать несколько выводов, имеющих прикладное значение для управления кадровым потенциалом предприятий. Во-первых, позиция предприятия относительно отраслевого фронтира определяет предельный темп развития человеческого капитала: предприятия, находящиеся ближе к фронтиру (как фирма 1 в данном случае), демонстрируют более медленное увеличение показателя h ( t ) в силу эффекта насыщения, задаваемого множителем (1 – h ). Это означает, что для лидеров приоритетом становится не столько ускоренное наращивание компетенций, сколько удержание достигнутого уровня, тогда как для отстающих предприятий актуальны стратегии «догоняющего развития».

Во-вторых, результаты показывают, что конкуренция на рынке труда способна существенно изменять динамику человеческого капитала даже при одинаковых управляемых воздействиях EDU и AI . В частности, повышение уровня оплаты труда (сценарий 2) повышает траекторию развития человеческого потенциала предприятия за счет внешней компоненты γ, отражающей межфирменные перетоки работников, обладающих необходимыми актуальными компетенциями. Следовательно, программы обучения и внедрения ИИ должны рассматриваться совместно с инструментами удержания персонала, поскольку эти элементы формируют общий результат в динамике человеческого капитала.

Наконец, сценарий 3 демонстрирует компенсирующий потенциал управляемых инвестиций в обучение. Так, повышение интенсивности обучения и использования технологий ИИ позволяет частично нивелировать неблагоприятное влияние конкурентной среды и ускорить сближение с фронтиром даже при менее выгодной зарплатной позиции. Это свидетельствует о том, что эффективная стратегия управления человеческим капиталом в условиях развития новых технологий должна опираться на согласованное применение рычагов развития (обучения и внедрения технологий ИИ) и рычагов удержания (условий труда и конкурентной оплаты).

Рассмотрены сценарии, при которых происходит сокращение инвестиций в человеческий капитал предприятия и, как следствие, возможен переход к его стагнации или деградации. За основу взята базовая постановка, соответствующая сценарию 1, в котором заработные платы предприятий равны ( P 1 = P 2 = P 3 ). Будет проанализировано предприятие 2, для которого поочередно моделируются управленческие ошибки при неизменных параметрах фирм 1 и 3.

При сценарии сокращения инвестиций в обучение персонала на предприятии 2, представленном на рис. 4 а , у него замедляется рост и вместо прироста в 0,2537, как в базовом сценарии, оно получает прирост только в 0,1323 пункта. При прекращении инвестиций во внедрение ИИ его рост сокращается и достигает только 0,1704 пункта, что представлено на рис. 4 б . На рис. 4 в показан сценарий сокращения зарплат, что также замедляет рост в интервале пяти лет, который составляет 0,1962 пункта. Если же применены одновременно все факторы данных управленческих действий, то предприятие начинает терять трудовые ресурсы, как это видно на рис. 4 г , и потеря составляет 0,1919 пункта.

0,950

0,650

0,450

0,950

0,650

0,450

■■ ■ Фирма 1

■■ ■ Фирма 1

— Фирма 3

— Фирма 2

в)

0,986

0,820

0,783

— ■ Фирма 2

б)

3 I, лет

—— Фирма 3

0,987

0,802

0,458

О

■■ ■ Фирма 1

— ■ Фирма 2

г)

3 t, лет

— Фирма 3

Рис. 4. Динамика человеческого капитала при неблагоприятных управленческих сценариях: а –– снижение инвестиций в обучение ( EDU 2 = 0,0);

б –– снижение инвестиций в внедрение ИИ ( AI 2 = 0,0); в –– снижение зарплаты ( P 2 = 25,0 k; P 1 = P 3 = 50,0 k); г –– комбинированная управленческая ошибка ( EDU 2 = 0,0; AI 2 = 0,0; P 2 = 25,0k)

Информатика, вычислительная техника и управление

Представленные результаты демонстрируют, что при сокращении только внутренних инвестиций на фирме 2 показатель h 2 ( t ) продолжает расти, однако существенно медленнее базового сценария. При этом траектории фирм 1 и 3 совпадают с базовыми, поскольку при равенстве зарплат межфирменный компонент γ равен нулю, и динамика фирм оказывается автономной. В сценарии снижения заработной платы на фирме 2 происходит перераспределение человеческого капитала через межфирменную мобильность. Наиболее критичная ситуация наблюдается в комбинированном сценарии. При одновременном сокращении обучения и внедрения ИИ на фоне зарплатного проигрыша фирма 2 переходит в режим деградации человеческого капитала.

В таблице 2 показаны численные результаты данных управленческих решений для всех рассмотренных предприятий.

Таблица 2

Состояние человеческого капитала при неблагоприятных управленческих сценариях

Сценарий	h1(t)	h2(t)	h3(t)
Базовый	0,9863	0,9037	0,7832
EDU2 = 0	0,9863	0,7823	0,7832
AI2 = 0	0,9863	0,8204	0,7832
P2 = 25000	0,9876	0,8462	0,8075
EDU2 = 0; AI2 = 0; P2 = 25000	0,9873	0,4581	0,8021

Представленные результаты позволяют оценить относительную значимость рассматриваемых факторов для динамики человеческого капитала. При их изолированном изменении наибольшее замедление его накопления наблюдается при полном прекращении инвестиций в обучение. Данный результат, однако, является сценарным и определяется выбранными значениями α 2 , β 2 , интенсивности мобильности и других параметров, поэтому не должен интерпретироваться как универсальное соотношение факторов для всех предприятий. Таким образом, предложенная система ОДУ может быть использована для выявления условий деградации трудовых ресурсов и оценки чувствительности отдельных предприятий к различным управленческим решениям. Тем самым предложенный авторами алгоритм может использоваться как инструмент предварительной оценки рисков при принятии решений в области управления человеческим капиталом.

Обсуждение. В рамках настоящего исследования экономико-математическая модель воспроизводства человеческих ресурсов разработана на основе дифференциального уравнения первого порядка, что позволяет описать динамику их изменений во времени. Классические модели накопления кадрового потенциала также описываются дифференциальным уравнением, в частности, это модель Лукаса [24] , учитывающая долю времени на работу и на обучение, модель Бен-Пората [25] , включающая в себя инвестиции в человеческий капитал и учитывающая его амортизацию. Тем самым предлагаемая модель, с одной стороны, построена на основе устоявшихся постулатов мейнстрима, с другой стороны, она учитывает влияние технологий ИИ на кадровый потенциал и состояние конкурентной среды, что представляется актуальным в современных условиях научно-технического и социальноэкономического развития. Применяемая система ОДУ обеспечивает комплексное, динамически согласованное описание динамики воспроизводства человеческого капитала предприятия под воздействием инвестиций в обучение работников, внедрения технологий ИИ и изменения конкурентной среды.

Результаты апробации разработанной модели для трех сценариев на примере трех предприятий согласуются с полученными ранее выводами других исследований. В частности, подтвердился эффект насыщения на уровне предприятия в среднесрочном периоде, отраженный в работе Ф. Майлян [26] . Результаты настоящего исследования о положительном влиянии повышения уровня оплаты труда как экзогенного фактора на развитие человеческого капитала при стимулировании обучения работников, внедрения ИИ и наличии инструментов поддержки персонала, соответствуют выводам, полученным другими авторами [27] . Также апробация представленной модели подтвердила значимость активизации обучения работников и внедрения ИИ для развития человеческих ресурсов, особенно для предприятия с изначально невысоким их уровнем [21] .

В целом предлагаемая динамическая экономико-математическая модель воспроизводства человеческого капитала комплексно учитывает наиболее значимые факторы и их изменение в динамике, носит системный характер и может иметь прикладное значение в целях повышения качества управленческих решений на предприятиях.

Заключение. В статье предложен подход к моделированию воспроизводства человеческого капитала предприятия в условиях цифровой экономики, исходя из того, что компетенции работников формируются и утрачиваются во времени под совместным воздействием внутрифирменного обучения, внедрения технологий ИИ, технологически обусловленной амортизации навыков и межфирменной мобильности. В отличие от статических оценок, предложенная экономико-математическая постановка описывает динамику человеческого капитала как нелинейный процесс ограниченного роста относительно фиксированного отраслевого фронтира, что обеспечивает сопоставимость фирм и отражает эффект насыщения по мере приближения к лучшим практикам.

Показано, что учет межфирменной мобильности приводит к необходимости перехода от уравнения для одной организации к системе взаимосвязанных ОДУ для набора фирм. В системной постановке конкурентная среда становится эндогенной: изменение человеческого капитала одной фирмы влияет на траектории других через параметры межфирменного взаимодействия. Для практической спецификации этих связей предложено задавать коэффициенты мобильности через дифференциацию заработной платы, что позволяет интерпретировать перетоки рабочей силы как результат конкуренции на рынке труда.

Особо подчеркивается, что калибровка параметров модели для конкурирующих предприятий ограничена доступностью данных: внутренние метрики компетенций, обучение, фактическое использование ИИ и детальная статистика кадровых переходов, как правило, не публикуются и относятся к коммерчески чувствительной информации. Следовательно, при отраслевом моделировании параметры конкурентов в большинстве случаев могут задаваться лишь сценарно, интервально или косвенно на основе открытых индикаторов, что необходимо учитывать при интерпретации результатов.

Численный эксперимент на примере трех предприятий продемонстрировал прикладную интерпретируемость модели и значимость совместного учета факторов. В базовом сценарии без межфирменных потоков динамика определяется различиями в эффективности обучения и внедрения ИИ при наличии амортизации, а темпы роста снижаются по мере приближения к фронтиру. В сценарии с повышением заработной платы на одном из предприятий ее траектория усиливается за счет межфирменного компонента, а у конкурентов темпы роста снижаются, что подтверждает роль компенсационной политики как фактора динамики компетенций. Наконец, сценарий компенсирующей стратегии показал, что усиление инвестиций в обучение и ИИ способно ускорить сближение с фронтиром и частично нивелировать неблагоприятные эффекты кадровой конкуренции.

Проведен анализ неблагоприятных управленческих решений, показавший, что изолированное сокращение инвестиций в обучение или внедрение ИИ приводит главным образом к замедлению накопления кадровых ресурсов, тогда как их сочетание со снижением конкурентоспособности на рынке труда (через ухудшение зарплатной позиции и межфирменную мобильность) способно переводить фирму в режим деградации. Таким образом, предложенная авторами модель воспроизводства человеческого капитала может использоваться не только для анализа траекторий роста, но и для выявления условий утраты кадрового потенциала и оценки управленческих рисков.

Перспективы дальнейших исследований воспроизводства человеческого капитала связаны с эмпирической валидацией модели на корпоративных панельных данных, расширением набора профессиональных групп, уточнением спецификации межфирменных потоков (включая отраслевую близость и неоднородность задач), а также разработкой процедур робастной калибровки параметров в условиях неполноты данных о конкурентах.