Математическая модель задачи планирования многопередельного производства в лесопромышленном комплексе

Интегрированные структуры в лесопромышленном производстве составляют основу лесопромышленного комплекса России [3], [5], [6]. Как правило, такие структуры охватывают несколько взаимоувязанных производств по заготовке, обработке и переработке лесоматериалов, их предприятия расположены в нескольких регионах. Поэтому эффективное управление такой структурой на уровне согласования технологических цепочек многопередельных производств является одной из востребованных задач. Одним из подходов к ее решению является ее формулировка в виде оптимизационной задачи из класса сетевых транспортных задач.

Ранее были предложены математические модели, охватывающие взаимосвязанные группы производств лесопромышленного комплекса

[1], [6], включая класс математических моделей для решения задач планирования и управления материальными потоками, названный классом многоэтапных транспортно-производственных задач. В данной статье предлагается развитие этих моделей путем предположения о дискретности цикла производства и включения в рассмотрение динамических характеристик модели, таких как инерционность и запаздывание транспортно-производственных процессов. Основное внимание уделено важному частному случаю – транспортировке древесины от лесозаготовительных предприятий к лесоперерабатывающим.

Важной задачей лесопромышленного холдинга является выполнение полученных заказов на поставку готовой продукции на разных уровнях передела лесных ресурсов с минимальными затра-

тами. Одним из основных путей снижения затрат является оптимизация транспортных перевозок.

Рассмотрим постановку задачи более подробно. Интегрированная структура включает лесозаготовительные предприятия (ЛЗП), лесозаготовительные базы (ЛЗБ), лесоперерабатывающие предприятия (ЛПП), расположенные в пределах одного лесопромышленного региона. Как правило, в регионе присутствуют ЛЗП и ЛПП, не относящиеся к этой интегрированной структуре. Для каждого ЛЗП установлены предельные нормы лесозаготовки каждого вида древесного сырья по каждой технологии.

ЛПП для производства продукции используют определенные виды древесного сырья, которым их обеспечивают ЛЗП. Предполагается, что на вход технологической операции может поступить только один вид сырья. В качестве производимой продукции может выступать как конечный потребительский товар, так и необработанные лесоматериалы – сырье для деревообрабатывающей и других отраслей промышленности, в том числе за пределами региона. Перерабатывающие предприятия интегрированной структуры в соответствии с имеющимися технологическими возможностями и ограничениями, а также ориентируясь на спрос и цены выпускаемой продукции, осуществляют закупку древесного сырья, заготовленного в ЛЗП. Некоторые ЛЗП могут выполнять переработку своей древесины.

При организации заготовок и поставок сырья из каждого ЛЗП на перерабатывающие предприятия решается вопрос выбора оптимального объема заготовок по каждому виду технологии, а такж е выбора оптимальной структуры поставок с учетом возможных способов и расстояний транспортировки, портфеля заказов на продукцию перерабатывающих предприятий.

Перейдем к постановке математической модели задачи. Введем в рассмотрение индексные множества: M – множество хозяйствующих субъектов, включая лесозаготовительные предприятия, лесозаготовительные базы, лесоперерабатывающие предприятия и заказчиков продукции; M₁ – множество ЛЗП, M₁ ⊂ M ; M₂ – множество предприятий (ЛЗП, ЛЗБ, ЛПП), M₁ ⊂ M₂ ⊂ M ; M₃ – множество заказчиков, M₃ ⊂ M ; K – множество видов продукции (включая древесное сырье разного вида и с различной породно-возрастной структурой, промежуточную и конечную продукцию); K₀ – множество видов лесосырья, K₀ ⊂ K ; Q – множество типов транспортных средств (ТС), число ТС каждого типа считается неограниченным; N – множество технологических операций ЛПП.

Пусть весь период планирования разделен на T дискретных интервалов времени t = 1, …, T. Для каждого ЛЗП i ∈ M1 заданы: Vit – технологически максимально возможный объем заготовки лесосырья в интервал времени t = 1, …, T; Dik – запас лесосырья вида k ∈ K0; Lik – множест- во интервалов времени, когда имеется возможность заготовки лесосырья вида k ∈ K0.

Для каждого предприятия i ∈ M₂ заданы: K_i – множество видов продукции, производство которых возможно на предприятии; N_i – множество поддерживаемых технологических операций; W_ij – максимально возможный объем сырья для выполнения технологической операции j ∈ N_i в один интервал времени планирования (на практике пропорционально времени применения операции); b_ik – максимально возможный объем продукции k ∈ K , хранящейся на складе; c_ik – затраты на хранение единицы объема продукции k ∈ K на складе.

Для каждого заказчика i ∈ M₃ заданы: k(i) ∈ K – вид продукции (предполагается, что заказывается один вид продукции); U_i – объем заказа; 9 i - крайний срок выполнения заказа.

На вход каждой технологической операции поступает сырье одного заданного вида, на выходе – продукция нескольких видов в заданных пропорциях. Для каждого вида продукции k ∈ K задано: N_k – множество технологических операций, входным сырьем которых служит продукция k . Для каждой технологической операции j ∈ N заданы:

• •    коэффициент выхода α_jkk продукции вида k₂ ∈ K при использовании сырья k₁ ∈ K (в границах от 0 до 1);

• •    время t(J) выполнения операции.

Если операция j начинается в интервал времени t , то заканчивается в интервал времени t + t(J) . Время t(J) выполнения операции j может быть равно нулю. Это означает, что полученная продукция в тот же интервал времени может быть подана на вход какой-нибудь другой операции.

Обозначим K_q – множество видов продукции, перевозимых при помощи ТС вида q ∈ Q . Семейство подмножеств K_q образует разбиение множества K . Дополнительные обозначения: c_ijq – затраты на поставку единицы продукции транспортным средством вида q ∈ Q c предприятия i ∈ M₂ на предприятие или заказчику j ∈ M ; τ _ijk – время на поставку единицы продукции k ∈ K₁ c предприятия i ∈ M₂ на предприятие или заказчику j ∈ M ; d_iqt – ограничение на объем поставки продукции транспортным средством вида q ∈ Q c предприятия i ∈ M₂ в интервал времени t .

Неизвестные задачи: x_ikt – объем заготовки лесосырья вида k ∈ K₀ в интервал времени t на ЛЗП i ∈ M₁ ; y ˆ ijkt – объем продукции вида k ∈ K_i , производимой на предприятии i ∈ M₂ в интервал времени t при выполнении технологической операции j е N i ; y_jkl - объем продукции вида к ∈ K_i , служащей сырьем для выполнения технологической операции j ∈ N_i на предприятии i ∈ M₂ в интервал времени t ; z_ikt – объем лесосырья или продукции вида k ∈ K в интервал времени t , хранящегося на складе предприятия i ∈ M₂ ; u_ijkt – объем отправки продукции k ∈ K_i с предприятия

∈ M₂ на предприятие или заказчику j ∈ M₃ в интервал времени t .

Введем следующие ограничения.

Технологическое ограничение на объем заготовки лесосырья в каждый момент времени:

∑ x kt ≤ V it , ∈ M 1 , t ∈ L k .

k e K о

На каждом ЛЗП объем заготовки каждого вида лесосырья не может превышать имеющийся запас:

∑ _∈ x kt ≤ D k , ∈ M 1 , k ∈ K 0 .

Технологическое ограничение на объем переработки по каждой операции на предприятиях:

Z y ijk- <  W j , i G M 2 , j G N,t = 1, _, T. k ∈ K_i

На каждом предприятии в любой интервал времени объем хранящегося на складе лесосы-рья или продукции ограничен сверху:

z ikt ≤ b ik , i ∈ M 2 , k ∈ K , t = 1, …, T .

Уравнение баланса между расходами сырья и выходом продукции:

yijk2 - + T (j) = ajk1 k2 yijki- , i G M2, j G N, ki, k2 ∈ K, t = 1, …, T.

Условия баланса для склада ЛЗП:

z_ikt = z_ikt -1 + x_ikt

∑ u ii`kt , i ' e M

i ∈ M 1 , k ∈ K 0 , t ∈ L ik .

Условия баланса для склада предприятий (кроме ЛЗП):

z ikt = z ikt -1 + Z j

-

Z Уiuk- + Z ^-тГк jeNi          i 'eM2

-

∑ i e m

u , ii`kt

∈ M₂ \ M₁ , k ∈ K \ K₀ , t = 1, …, T .

Начальные условия для склада всех предприятий:

z k0 = 0, ∈ M 2 , k ∈ K .

Ограничение на объемы поставки продукции в разные интервалы времени:

∑∑ u ≤ d qt , ∈ M 2 , q ∈ Q , t = 1, …, T .

keK q i 'e M ¹¹ kt q

Все заказы должны быть выполнены в срок и в полном объеме:

θ i ∑∑ u i

= U_i , i ∈ M₃ .

- = 1 i e m 2

Условия неотрицательности:

xikt ≥ 0, i ∈ M1, k ∈ K0, t = 1, …, T, yijkt > 0, i g M2, je N, k g K, t = 1, _, T, yijk- > 0, i g M2, je N, k g K, t = 1, _, T, z kt ≥ 0, ∈ M2, k ∈ K, t = 1, …, T, u ’kt ≥ 0, ∈ M2, ` ∈ M, k ∈ K , t = 1, …, T.

Целевая функция – сумма складских издержек и затрат на перевозки:

TT

Z Z c ik Z Z k- + Z Z Z c -. Z Z u ii’kt ^ min.

ieM 2 keK i - = 1 ieM 2 i 'eM qeQ keK q - = 1

Для экспериментальных исследований в качестве лесопромышленного региона была выбрана Республика Карелия, а в качестве интегрированной структуры – группа компаний ЗАО «Соломен-ский лесозавод» ( http://solomenskiy.ru/ ), включающая два ЛЗП и одно ЛПП. Число отечественных и зарубежных потребителей продукции – более 100. Перевалочные базы сырья отсутствуют.

На ЛЗП применяются 2 технологии заготовки и производится 210 видов лесопродукции (ель и сосна, по каждой породе – 15 сортировочных групп и 7 видов длин). ЛПП производит около 1400 видов продукции (3–8 сортов по каждому из более 250 видов сечений пиломатериалов).

Производственные операции содержат 5 основных переделов (лесопиление, пакетоформи-рование, сушка, торцовка, строжка). Все перевозки осуществляются двумя типами транспортных средств, имеющихся в достаточном количестве. Горизонт оперативного планирования составляет один месяц, долгосрочного – один год.

При этих условиях задача имеет 106 переменных и 103 ограничений. Для ее решения были использованы практики нахождения решения таких задач [2] и использован специализированный модуль UPS.Solver («универсальный решатель») [4], предназначенный для решения сложных оптимизационных задач планирования производством с большим количеством ограничений. В основу модуля положены методы решения задач линейной оптимизации для оптимизационных задач специальной структуры с использованием метода декомпозиции задач линейного программирования Данцига – Вулфа. Матрица ограничений задачи строится с помощью специализированного механизма «Матричный конструктор», позволяющего по данным ограничениям задачи конструировать матрицы специальной блочной структуры.

Полученный оптимальный план включает около 800 значений переменных, определяющих объемы перевозок промежуточной и конечной продукции различного вида.

На практике определение значений параметров объемов и периодов времени возможной заготовки лесосырья представляет собой дополнительную задачу ввиду существенного влияния случайных факторов (надежность заготовительного оборудования, персонала, транспорта и др.), которая, как правило, решается путем использования ряда допущений на основе статистики прошлых периодов и опыта технологов.

Представленная математическая модель была использована при создании автоматизированной системы оптимального планирования (АСОП) «Лесопереработка» для оптимального планирования и управления сквозными процессами

использования древесины. АСОП «Лесопереработка» может быть использована при планировании производства действующих лесопромышленных предприятий, технологии производства и потребления которых заданы. Также возможно ее использование в планировании новых или реконструкции имеющихся предприятий для моделирования вариантов структуры заготовки сырья, размещения предприятий и распределения видов технологических операций между ними. При этом, возможно, потребуется изменение целевой функции для учета вложенных инвестиций, дисконтированных затрат и прогнозируемых цен на сырье и продукцию.

* Работа выполняется при финансовой поддержке госконтракта № 14.514.11.4004 Министерства образования и науки Российской Федерации, а также Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности на 2012–2016 гг.

MATHEMATICAL MODEL FOR MULTISTAGE PRODUCTION PLANNING

IN FOREST INDUSTRY COMPLEX