Математические множества, описывающие фракталы

Taranenko Darya.,

1st year master's student

Kuban state technological University

Krasnodar

ChubyrNatalya,

Candidate of physical and mathematical Sciences

Kuban state technological University

Krasnodar

MATHEMATICAL SETS THAT DESCRIBE FRACTALS

Фракталы известны человечеству уже около века и имеет прикладной характер. Несмотря на сложную структуру, в их основе лежит очень простая идея множества бесконечно разнообразных по красоте фигур.

Изучение фракталов началось только в XIX веке математиком Карлом Вейерштрассом на примере непрерывной не дифференцируемой функции. До этого времени математики, в большинстве случаев, изучали объекты, поддающиеся исследованию при помощи общих методов и теорий. Построение непрерывной функции Вейерштрасса целиком было трудно для восприятия, поэтому в начале ХХ века Хельге фон Кох придумывает непрерывную кривую, не имеющей касательной, которую достаточно трудно изобразить. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. В дальнейшем идеей самоподобия фигур занимались Поль Пьер Леви и Бенуа Мандельброт.

В 40-х годах ХХв была опубликована статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой были рассмотрены конструктивные (геометрические фракталы). К ним моно отнести: кривую Коха, кривую Леви, кривую Минковского, кривую Гильберта, фрактал Хартера-Хейтуэя, кривую Пеано, кривую Мякишева.

Помимо конструктивных фракталов отличают динамические, к которым относится множество Мандельброта. Этот тип фракталов возникает при изучении нелинейных динамических систем, описать которые можно комплексной нелинейной функцией f(z). Задавшись начальной точкой Z0 на комплексной плоскости, рассмотрим бесконечную последовательность чисел, при котором каждое следующее получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn). При этом последовательность может вести себя по-разному: сходиться в конечной точке (п ^ ш), циклически принимать ряд фиксированных значений или более сложные варианты - в зависимости от начальной точки (Z0). В результате получаем, что любая точка комплексной плоскости имеет свои характер при итерациях функции, в ходе чего вся плоскость разделяется на части. Точки, располагающиеся на этих границах, способны кардинально менять характер своего поведения даже при малых смещениях. Их называют точками бифуркации. Точки, обладающие одним типом поведения, включая бифуркационные, имеют фрактальные свойства. В этом и заключается принцип множества Жулия для функции f (z).

Рассмотрим принцип построения множество Мандельброта, задавшись функцией fc(z)=z2+с, где c —комплексное число. Построим последовательность функции с z0=0. Являясь фракталом, оно определяется множеством точек на комплексной плоскости и задается формулами Z0=0,   Zn+1=Zn2+m. Для построения такого фрактала необходимо перейти к комплексной форме записи при помощи преобразований к удобным формулам. Все значения, ограничивающие эту последовательность, образуют множество Мандельброта.

При преобразовании Z_n+1=Z_n2+M в итеративную последовательность значений координат комплексной плоскости Х и У, т.е. Z =X+iY и М=p+iq (где i — мнимая единица), получаем алгоритм: X n+1 =X n2 –Y n2 +p; Y n+1 =2X n Y n +q, с параметрами p=- 0,5219; q=0,4999.

Принимаем   X n =0;   Y n =0,получаем:   X n+1 =02–02–0,5219=–0,5219;

Y n+1 =2·0·0+0,4999.

Далее принимаем X n =X n+1 =–0,5219; Y n =Y n+1 = 0,4999, получаем: X n+1 =(– 0,5219)2–(0,4999)2–0,5219 =–0,4994...;

Y n+1 = 2·(–0,5219)·(0,4999) + 0,4999 = – 0,0218....

Таким образом, X n =X n+1 = – 0,4994...; Y n = Y n+1 = –0,0218, продолжаем дальше. Выполнив 32000 подобных вычислений, с применением ЭВМ, и простроив полученные значения графика Y_n+1 =f(X_n+1), получим график похожий на «пылающее солнце». Изменяя значения параметров p и q, получим вместо солнца « спиральную галактику».

Таким образом, можно заметить, что множества Жулиа и Мандельброта тесно связаны между собой. Множество Жулия является связным, при всех значениях комплексного параметра С для множества Мандельброта.

Открытие и изучения фрактальности Вселенной помогает изучить большое количество проблем в области естествознания, используя ЭВМ как средство познания. С помощью фракталов можно смоделировать сложные физические процессы: турбулентное течение жидкости, процессы диффузии и адсорбции. Модели фракталов, подобно природным объектам, так же обладают «шероховатостью», сохраняя это свойство при сколь угодно большом увеличении. При фрактальном подходе хаос перестает восприниматься как беспорядок и обретает более тонкую структуру. Фрактальная наука еще достаточно молода и мало изучена, поэтому можно с уверенность сказать, что красота фракталов не исчерпана и скрывает в себе множество тайн, которые еще предстоит открыть.