Математические модели поляризационной модовой дисперсии высших порядков для кварцевого анизотропного оптического волновода

Кварцевые оптические волноводы в процессе производства приобретают некоторую некруглость сердцевины и оболочки, несимметричность расположения сердцевины по отношению к оболочке, при прокладке подвержены сжатию, скручиванию, изгибам, при эксплуатации – влиянию температуры, сторонних магнитных и электрических полей, изменению состава кварца из-за ионов OH—-группы. Перечисленные факторы являются причинами естественной и наведённой анизотропии, вследствие которой в оптическом волноводе возникает эффект двойного лучепреломления. В результате можно выделить две плоскости с максимальными девиациями показателя преломления в большую и меньшую сторону, из-за чего с различными скоростями начинают распространяться две поляризационные моды на взаимно-перпендикулярных осях и, как следствие, возникает дифференциальная групповая задержка, которая приводит к уширению и искажению формы оптического импульса, межсимвольной интерференции. Этот эффект, известный как поляризационная модовая дисперсия (ПМД) [1], на сегодняшний день является ключевым ограничивающим фактором для высокоскоростных оптических систем передачи большой протяжённости и, в особенности, для систем с битовыми скоростями 40 Гб/с на канал и выше [2-4], поскольку ведёт к сильному возрастанию битовой ошибки. Помимо негативного воздействия на информационные сигналы, ПМД может серьезно снизить эффективность оптических систем, например, усиления на основе вынужденного комбинационного рассеяния [5].

ПМД первого порядка определяется как разность групповых скоростей между двумя ортогональными состояниями поляризации [6], на которых скорость распространения максимальна и минимальна. Эти ортогональные состояния называют главными состояниями поляризации (ГСП), а разницу во времени прибытия между осями называют дифференциальной групповой задержкой (ДГЗ). Так, короткий импульс, подвергнутый влиянию ПМД, будет показывать уширение во временной области, которое зависит от входного состояния поляризации. В зависимости от степени совпадения входной поляризации с ГСП изменяется значение ПМД и, следовательно, длительность импульса.

Процесс изменения ПМД является стохастическим. Вследствие изменения местного двулучепреломления ДГЗ и ГСП изменяются во времени. Также для высокоскоростных систем нельзя пренебрегать процессами изменения ГСП и ДГЗ по спектру сигнала. Эти изменения называют ПМД высших порядков.

Чтобы определить ухудшение передаваемого сигнала, вызванное ПМД, необходимо знать передаточную функцию волокна, которая содержит частотную зависимость ДГЗ и ГСП. Удобным математическим аппаратом для теоретического определения системных ухудшений из-за ПМД является т.н. анализ собственных значений матрицы Джонса (JME, Jones Matrix Eigenanalysis) [6, 7] кварцевого волновода. Однако определение статистической характеристики такой матрицы является практически нерешабельной задачей. Альтернативным методом определения ПМД является характеристика в пространстве Стокса по среднему значению вектора дисперсии, статистические данные которого для первого и второго порядков известны [8, 9]. Однако по среднему значению вектора дисперсии может быть оценено только уширение оптического импульса [10]. Следовательно, нахождение аналитических соотношений между матрицей Джонса и вектором дисперсии является актуальной задачей [11].

За последние годы были разработаны несколько математических моделей для разложения ПМД выше первого порядка в матричном пространстве Джонса [12- 19]. Ошибка в первой модели [12], предполагавшей, что одно из ГСП сонаправлено с одним из собственных векторов матрицы Джонса на любой частоте, привела к переоценке эффекта ПМД второго порядка в два раза. В работах [13, 14] эта ошибка была исправлена. В работе [13] предлагается матрица, собственные состояния которой вращаются и изменяются в пространстве Стокса с постоянной угловой скоростью, пропорциональной уровню деполяризации ГСП. Решение, корректное для случая вращения входного вектора дисперсии в экваториальной плоскости при сохранении постоянного модуля, предлагается в работе [14].

Альтернативное описание ПМД высших порядков, основанное на экспоненциальном показательном росте матрицы Джонса, было предложено в работах [15, 16]. Этот подход предполагает, что матрица является результатом перемножения нескольких матриц, по одной на каждый порядок ПМД, которые определяются как последовательные производные по частоте. Однако статистика параметров в этой модели ещё не известна. Разложение матрицы в ряд Тейлора для ПМД любого порядка [17] позволяет оценить важность каждого порядка при исследовании влияния ПМД. В работе [18] было получено точное описание матрицы, полученной для вращения вектора дисперсии по окружности с постоянным модулем, равным ДГЗ волокна, и угловой скоростью, равной уровню деполяризации ГСП.

В работе [20] передаточная матрица была уточнена на основе модели с разделением частотнозависимых и независимых элементов.

причём | u 1 ( a) |² + | u ₂ (0))| 2 = 1. Частотная зависимость матрицы (3) определяется через матричное дифференциальное уравнение [16, 17]:

d U ( и ) dω

= A (и) U (и),

где A (ω) – матрица вида:

A (и)

j

□ 1 ( и )     Q 2 ( и ) -^ 3 ( и )

Q 2 ( и ) +^ 3 ( и ) -Q 1 ( и )

и Q i , i = 1,2,3 являются компонентами выходного вектора дисперсии О ( и ) . Этот вектор зависит от частоты и может быть записан в виде ряда Тейлора в следующей форме:

—      —   —'        — ( n -1) m n ¹

□ (и) = Q o +О о и + ... + Q 0   ----- -,          (6)

⁽ n ^{- 1 ) !}

где производные от Q оцениваются на центральной частоте канала (ω=0 ). Ряд порядка n – 1 соответствует аппроксимации ПМД порядка n .

2. Математические модели ПМД высших порядков

2.1. Простое разложение в ряд Тейлора

При известном соотношении между U и Ω (4), (5) используем (6), ограничиваясь вторым порядком [17]:

* Z \              а 'а

Q ( и ) = Ат₀ t + (Ат₀ t + Ат₀ pp )и,

где Δτ0 – ДГЗ волокна на центральной частоте, Δτ'0

1. Вектор дисперсии

В пространстве Стокса вектор дисперсии на выходном конце двулучепреломляющего волокна описывается как

Q ( ю ) = Ат ( ю ) - t ( to ) , (1)

где ω – девиация от угловой частоты несущей. Для заданной и А т - дифференциальная групповая задержка и t ^ˆ указывает направление медленного ГСП. Предполагая отсутствие поляризационно-зависимых потерь и независимость потерь от поляризации, электрические поля на входе и выходе волокна связаны следующей матрицей передачи T(ω):

T ( to ) = e ~⁽“ ^{( и )} L ⁺ j ^e(to) L ⁾ U ( to ) , (2)

где α(ω), β(ω) и L – постоянная распространения, постоянная фазы и длина волновода, соответственно, а U (ω) представляется матрицей Джонса [6]:

– первая производная ДГЗ по частоте ω и

*    „ d t p = pp = —   , где р - угловая скорость, или ве- dω ω=0

личина деполяризации ГСП. Кроме того, модель рассматривает усечённый степенной ряд A (ω) в ок-

рестности ω=0 :

m

A (и) - Е и kAk , к = 0

где коэффициенты матрицы

= 1dkA(и) к к! dик

и = 0

зависят от параметров вектора дисперсии и его производных. Поэтому уравнение (8) соответствует аппроксимации m + 1 порядка ПМД и уравнение (4) позволяет найти решение для ПМД m + 1 порядка.

Из-за структуры U(и) в (3) можно решить сле дующее дифференциальное уравнение вместо (4):

U (и) =

u1 (и) u2 (и)

- u 2 ( и ) u * ( и )

^d^^ ( ^и )

= A(и) u (и), где uˆ(ω) представляет первую колонку U(ω) :

u (to) =

U 1 ( to )

— u 2 ( to )

d ² U ω

N 2 = U — ¹ lim —4^-( N 1 )². ® ^ ^q dto²

и при ω=0 равно:

^u ( 0 ) = 0-

Запись (14) как произведения k показательных функций означает описание ПМД до порядка k .

Из уравнения (14), используя (4) и (5), можно вычислить вектор дисперсии:

Для ПМД второго порядка получим:

A ( to ) - A + to A 1 ,

Q ( to ) =

где A ₀ и A ₁ в матричном виде выглядят следующим образом:

—A t q — AT ( to

— At₀ p tocos ( AT₀to )

At₀ p tosin ( AT_oto )

Δτ 0 1 0

A⁰ j 2 0 - 1,

j

A ¹ = 2

Δτ^' 0 Δτ 0 q ω ^'

At q q'₆₎ — At Q

Решение (9) даёт выражение для элементов матрицы, зависящих только от вектора дисперсии и его производных, чьи статистические свойства полностью известны.

2.2. Модель с показательным ростом

Согласно этой модели [15, 16], возможно математическое описание матрицы для ПМД любого порядка в экспоненциальной форме:

ω N ω N 2 ω N 6

U (to) = U 0 e ¹ e ²¹ e ³¹ ..., (14) где U 0 = U (0), а параметры N k , k = 1,2,3... являются комплексными матрицами, которые можно найти как произведение последовательных производных по ω члена, отвечающего за порядок, в (14) при to = 0 на матрицу U Q"¹ . При этом в (14) параметры роста экспоненты описываются как:

N 1 = U - ¹ lim d U ^{( to )} , (15) ю ^ o dto

Модуль вектора дисперсии, полученного в (17), тогда выглядит так:

| q| = ^ ( AT_Q+AT_Qto ) + ( At_Q p to ) ².                (18)

2.3. Модель движения вектора в пространстве Стокса

Поведение ПМД порядков выше второго согласно модели с показательным ростом [15, 16] и модели с простым разложением в ряд Тейлора [17] неизвестно и, следовательно, необходимо их численное решение. Поэтому для описания ПМД был предложен математический аппарат, согласно которому выходной вектор дисперсии имеет постоянную величину Δτ₀ и движется по окружности в пространстве Стокса с угловой скоростью p ; соответствующее решение (4) было получено [18, 19]:

Q = ( — At_Qcos ( p to ) , — AT₀sin ( p to ) ,0 ) .           (19)

Вводя уравнение (19) в (3) и (4), получаем систему двух связанных дифференциальных уравнений первого порядка:

dto = j ^A T^Q [ u_x cos ( p to ) — u * sin ( p to ) ] ,

d

, dto

. А^Г ■ / A - j -2- L usin (pto)

*

u ₂ cos

(pto)].

Решения системы уравнений (20) получаем в следующем виде:

/ , 1     ■ f p V f a Y . f p ) . f a V . f p V f a )

u , ( to ) = — p sin —to sin —to + a cos —to cos —to + j Atqcos — to sin — to ,

^1V ’ a (     ( 2 J ( 2 J ( 2 J ( 2 J ⁰     ( 2 J ( 2 J

/ ,    1       . f p V f« Y ■ f p f■ f p V f)

u ₇ ( to ) = — — p cos —to sin —to + a sin —to cos —to — j Ат_п sin —to sin —to

• ² ( ) a (      1 2 JI 2 J 1 2 J 1 2 )     ⁰ 1 2 JI 2 J

• 2. 4. Модель со случайным собственным состоянием поляризации

где a = д/ At Q + p ². Это решение даёт хорошую аппроксимацию ПМД всех порядков через Δτ₀ и p , статистика которых известна [9].

Модель [13] является коррекцией одного из первых расширений модели ПМД первого порядка [12].

Ошибочное предположение о совпадении направления одного из ГСП с одним из собственных векторов матрицы на любой частоте, допущенной в [10], приводит к переоценке ПМД второго порядка в два раза.

Модель предполагает решение матрицы в следующем виде:

U ( to ) = R ^{— 1} ( to ) D ( to ) R ( to ) ,                        (22)

где матрицы D (ω) и R (ω) отвечают за дисперсионные и вращательные свойства анизотропного оптического волновода:

A e ± =

D (m ) =

e j ф ( ю ) /2     0

0    e - j ф ^{( ю} ) ^/2

, 1± Fx

±v -T ^exp

1 + Гх

~x~ ^exp

V

- j tg -
	1	p^
2		V p y
j tg - 1		p z Л
2		p y J,

,

J

R (m) =

f1   )   Л1

cos — p m -sin — p m

14   J 14

• f 1     )     f 1

- sin — p m cos — p m

14   J    14

где p_x , p_y , p_z – элементы собственного вектора матрицы H 1 ( ю ) = U ( ю ) ^^⁽ю) . Подставляя (30) в d ю

Диагональные элементы матрицы D составлены из собственных значений матрицы U , столбцы матрицы R являются собственными векторами матрицы U . Дифференциальная задержка φ(ω) записывается в виде ряда Тейлора:

(29), находятся элементы матрицы D : ^d 11 = ^Re { ^h 11 (^ю 0 ) } ^- jp^h (^ю 0 ) ,

d ₁

12 =

Jhi (рМ p/h (('>i;f

x ²

,

Ф ( m ) =AT₀m+2AT₀m +....

Тогда вектор дисперсии, выведенный из (24):

где h ij – элементы матрицы

H = U (ю0 +Аю) U-1 (ю0)

, h – вещественный вектор Стокса:

Q ( m ) =

- Ф ю cos f p m J + f p j sin(ф)sin f p m

- Ф ю sin l p m j - l p j sln(ф)cos ^ p m

p ( ^{1 -} co^s ( ф ) )

h =-

V

Im { h 11 ( ю₍

Im { ^h 12 ( ю

Re{ h12 (ю

Л

J

''

где φω=Δτ0+Δτ0ω. Модуль такого вектора дисперсии:

и h _± = h - ( ph ) p - составляющая h , перпендикулярная p .

Кроме того, уравнения (31),   (32) и

2.5. Модель с разделением частотно-зависимых и независимых элементов матрицы

Предполагается [20], что в окрестностях любой частоты ω можно разложить матрицу передачи U ( ю ) в произведение трёх матриц:

. ,       1 . , d U (ю)

H (ю) = U (ю)--- '

1( )        ( ) dю рицу D в виде ряда:

D ( m0 ) = Z D n m n/ n !, n = 0

позволяют представить мат-

U ( ю ₀ + Аю ) = W ( ю ₀ ) D ( Аю ) V ¹ ( ю ₀ ) ,

где V и W – частотно-независимые преобразования, определяемые входным и выходным ГСП на частоте ω₀ , а D отвечает за все дисперсионные эффекты, в том числе фазовые задержки первого порядка и дисперсию высших порядков. Поскольку D (0) является единичной матрицей, то (28) может быть преобразовано:

D ( Аю ) = W ^{- 1} ( ю ₀ ) U ( ю ₀ +Аю ) U ^{- 1} ( ю ₀ ) V ( ю ₀ ) . (29)

Диагональные элементы d 11 и d ₂₂ = d ₁ * ₁ матрицы D описывают все фазовые задержки и дисперсию высших порядков, а элементы d ₁₂ и d ₂₁ = - d ₁ * ₂ описывают частотно-зависимое связывание поляризационных мод между ГСП.

Для вычисления элементов матрицы D находится матрица W = { е ₊ , e - } :

где коэффициенты D n выражают вектор ПМД порядка n и, например, для ПМД первого порядка коэффициент D 1 = - j Атст 1 , где ст , - соответствующая компонента т.н. спинового вектора.

2.6. Сравнение моделей

Представление поляризационной модовой дисперсии первого порядка как разложения в ряд Тейлора показывает, что Ω₀ иΩ^'₀ в (17), (19) и (26) эквивалентны результату в (7). Однако уже производные второго порядка обнаруживают различия и равны £1 0 =^f 4AT 0 p ², - 2 p Ат 0 ,2Ат 0 p ^ , £10 = ( 0,0,2At 0 p ) и

* '

Q c = ( Ат 0 p ,0,0 ) , соответственно.

Результаты, полученные моделями с простым разложением в ряд Тейлора и показательным расширением модуля вектора дисперсии, показывают неограниченный рост |fi| при увеличении частоты ю. Математически никаких противоречий нет, однако нарушается физический смысл. С другой стороны,

принимая во внимание результаты (27) модели со случайным собственным состоянием и предполагая, что Δτ^'₀ мало по сравнению с другими параметрами, что реалистично в ВОСП [8], наблюдается предел значения |q| при растущем ю. Этот факт обеспечивает лучшую математическую аппроксимацию вектора дисперсии реальных волокон [18, 19].

Исследования поведения оптических систем с точки зрения пороговой чувствительности [19] показали, что результаты, полученные при использовании первой модели хуже, чем в реальном случае из-за переоценки эффекта ПМД второго порядка. Это было подтверждено после коррекции в модели со случайным собственным состоянием поляризации.

Что касается модели с экспоненциальным расширением до второго порядка, где статистика известна, то она не даёт хорошей аппроксимации ПМД всех порядков. Таким образом, модель движения вектора в пространстве Стокса и модель с разделением частотно-зависимых и независимых элементов матрицы дают лучшую аппроксимацию в случае реального волокна.

• 3.    Уширение импульса из-за ПМД

Уширение импульса часто используется как параметр качества системы, в том числе при анализе методик компенсации ПМД [21]. Среднеквадратическое уширение импульса в волокне с произвольным двойным лучепреломлением может быть определено следующим образом:

т - ( ' ²) -«².

где величина t ² определяется так:

/_tn\ . с t n p ( t )d t

\ /   c p ( t )d t ’

а P ( t ) – мощность сигнала. Используя общую формулу уширения импульса, выведенную в [9], при входном гауссовом импульсе для модели движения вектора в пространстве Стокса получим следующий результат:

• ^T 2 ^{- T} 0 ⁺ ^T ^{1 -} Л ( ⁵ 0i ^{a+ 5} 03 ^в ) ²,             ⁽³⁷⁾

4 L a               _ где т0 есть длительность импульса на входе, 50 -(s01,s02,s03)-(cos20cos2y, sin26cos2Y, sin2Y) отвечает за входное состояние поляризации, а α и β оп- ределяются как a - Дт0 + p exp

V

^{e -} p ^Дт 0

r

1-exp

V V

A aL 8t 0 J

a ²

8τ02

Если p = 0, то (37) сводится к хорошо известному случаю ПМД только первого порядка:

т²пмд i - t 0 +- 4 ° sm²p,                        (40)

где ρ – угол в пространстве Стокса между состоянием поляризации на входе волокна и медленным ГСП.

Из (37) можно обнаружить, что введение полной мощности на одно из двух ГСП, вообще, не обеспечивает минимального уширения импульса. Фактически минимальное уширение импульса достигается в трёх случаях:

6=0, Y=1 arctg I ^в | ;

2 V a I

π1

0=y, Y= -- arctg

;

π1

6= - y, Y= -уarctg

С другой стороны, всякое входное состояние поляризации, которое аннулирует последний член в (37), при удовлетворении условия эллиптичности

• 1    Г a     /„„xA

Y= - — arctg I jcos (26) I показывает общий макси- мум уширения импульса:

T2 -т2, —T2

^T = ^{T0 +} ₄ "

Эта ситуация соответствует максимальному уширению импульса, наблюдаемому в худшем случае ПМД первого порядка, и имеет место при входном состоянии поляризации, совпадающем с ± p .

Заключение

Модель движения вектора в пространстве Стокса и модель со случайным собственным состоянием поляризации показывают меньшую расходимость, что связано с ограниченным поведением модулей их векторов дисперсии по частоте. Фактически модель со случайным собственным состоянием поляризации показывает неограниченное поведение из-за присутствия производной ДГЗ; однако ситуации, где это является критичным фактором, случаются статистически редко. С другой стороны, модель вектора дисперсии как простого разложения в ряд Тейлора и экспоненциальная модель не дают хороших результатов по аппроксимации ПМД высших порядков из-за неограниченного поведения по частоте модулей их векторов дисперсии. Для аналитического описания уширения импульса была использована модель движения вектора в пространстве Стокса, так как она требует только два параметра ПМД: дифференциальная групповая задержка волокна и величина деполяризации главного состояния поляризации, – статистика которых достоверно известна.

Поскольку точная модель ПМД более интересна в эксплуатации, чем в лабораторных условиях, то указанные модели, построенные без учёта физической основы явления, а именно двойного лучепреломления, не имеют практической значимости, а их применение в приборах некорректно.