Математические модели задач линейного программирования
Автор: Иваницкий А.В., Гребенник О.Г.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Математика, информатика и инженерия
Статья в выпуске: 1 (31), 2018 года.
Бесплатный доступ
В статье рассматриваются математические модели задач линейного программирования. Анализируются возможности применения моделей в человеческой деятельности.
Математика, линейное программирование, математическое модели
Короткий адрес: https://sciup.org/140272372
IDR: 140272372
Текст научной статьи Математические модели задач линейного программирования
В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики. Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.
Линейное программирование — это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений [1].
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации.
К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:
-
1. рационального использования сырья и материалов;
-
2. задачи оптимального раскроя;
-
3. оптимизации производственной программы предприятий;
-
4. оптимального размещения и концентрации производства;
-
5. составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);
-
6. управления производственными запасами;
Алгоритмы решения задач линейного программирования
Основными алгоритмами, представленными на данный момент, являются:
-
1. Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях. Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x) = c, где W(x) — максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c)пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.
Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:
-
- нахождение исходной вершины множества допустимых решений,
-
- последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.
-
2. Метод эллипсоидов — алгоритм нахождения точки, лежащей в пересечении выпуклых множеств. Полиномиальный алгоритм теоретически мог бы стать новым стандартом, однако, на практике алгоритм Хачияна применять почти невозможно: существуют задачи размером в 50 переменных, для которых требуются более 24 тысяч итераций метода Хачияна, количество же существенно более простых итераций симплекс -метода в таких случаях исчисляется сотнями или даже десятками [2].
-
3. Графический метод решения задачи линейного программирования основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.
Таким образом, задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий), например, при решении проблем управления и планирования производственных процессов, в проектировании и перспективном планировании, в военном деле и т.д.
Список литературы Математические модели задач линейного программирования
- Методы оптимальных решений [Электронный ресурс] - Электрон. текстовые дан. - режим доступа - http://reshimna5.ru/tasks/task_17645.pdf Методы оптимальных решений, свободный
- Задача линейного программирования [Электронный ресурс] - Электрон. текстовые дан. - режим доступа - https://lektsia.com/3x19b.html, свободный