Математические основы компьютерной графики для начертательной геометрии

Современная компьютерная графика предназначена в основном для индустрии развлечений и широко используется в компьютерных играх, кино или рекламе. Современные движки типа Unreal Engine или Unity способны обеспечивать кинематографическое качество изображения. Обратной стороной такой производительности является тот факт, что современные видеоадаптеры предназначены для работы с полигонами и шейдерами, в то время как возможности работы с векторной графикой либо отсутствуют, либо реализованы в режиме совместимости.

Реализация интерактивной обучающей системы для начертательной геометрии с использованием современных технологий требует решать два вида проблем - кор-

ректного визуального отображения построений и верификации решений. Для решения обеих проблем необходимо программно реализовать алгоритмы геометрии для прямых, плоскостей, их пересечений, проекций или следов. Например, если в результате решения должна получиться прямая, параллельная заданной, то, во-первых, необходимо проверить, что прямая однозначно определена, а затем проверить ее на параллельность.

Прямая полностью определена, когда в аналитическом виде можно получить ее каноническое уравнение, т. е. уравнение прямой, проходящей через точку (х₀; у₀; Z 0 ) и параллельно вектору

(т; п; р):

х-Хо  У — Уо

Z-Zo

т    п

Р

Однако для задач визуализации в проще будет использовать параметрическую форму

( х = mt + х₀ у = nt+ у о z = pt + z o

В то же время, в задачах начертательной геометрии прямая может быть задана как двумя точками, так и двумя плоскостями, соответственно существует необходимость преобразования таких случаев в канонический вид:

Х — Х1  У — У1  Z — Z1

х-х2  у-У2  Z — Z2

Направляющий вектор будет равен

(X2 — Х1; У2 — у1; Z2 — Z1)

Для проверок построений необходимо также уметь аналитически определять положение прямых в пространстве. Две прямые могут скрещиваться, пересекаться в точке, быть параллельными или совпадать.

Для определения взаимного расположения прямых заданных видом (2) найдем сначала вектор, проходящий через точки M 1 и M 2 , которыми заданы обе прямые (4). Если прямые скрещиваются, то смешанное произведение векторов должно быть отлично от нуля:

(Р1 • Р2 • М1М2) * 0

Вычислим смешанное произведение векторов:

1П2 m1 ^ |Р 2

I m 1   m 2   Х 2 — хы (^•1^^ М^) = \П1  П 2   У 2 —У 1 | 1 Р 1    Р 2    Z 2 — Z 1 | У 2— У 1|          |П 1       У 2   1    ,          .  |П 1    П 2| Z 2 —Z 1|— m2 • | P 1   Z 2 —Z 1| + (X2—Х1 )^|Р 1   Р 21                      (6)

Если векторы компланарны, необходимо проверить векторы р^ и р^ на коллинеарность. Для этого необходимо составить систему уравнений из соответствующих векторов. Если все три коэффициента γ совпадают, то прямые либо параллельны, либо совпадают:

Г m2 =yi^mi )П2=У2^П1 ( Р2 = уз • pi

Если прямые параллельны, то у них нет общих точек а значит точка М₁ не подходит для второй прямой:

X i — X 2

У1 — У2 _ Z1 — Z2

m 2

^ 2

Р 2

Если прямые пересекаются, то можно найти их точку пересечения. Пусть прямые заданы видом (2):

! х = m₁t + х₁ у = п^ + У 1 Z = P 1 t + Z 1

! х = m₂s + х₂ У = ^ 2 S + У 2 Z = P 2 S + Z 2

Тогда поскольку точка M (х₀; у₀; z₀) пересечения прямых принадлежит обеим прямым, то мы можем найти значения параметра t и s:

( X₀ = m 1 t + X 1 y 0 = П 1 1 + У 1 Z o = P i t + Z 1

tXo = m2S + X2

M: { Уо = ^s + У2 ( Zo =P2S + Z2

В результате можно составить следующую систему уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются, то система совместна и имеется единственное решение:

Гm1t + X1 = m2s + x2         Г         t = (m2s+X2 %1)

] nt + У-1 = n2s + y2   => J                m1

I ^{1     ?l       2     22}             I      (m₂s+x₂-^₁) ,

(^ Pit + Zi = P2S + Z2        (^ni —m;— + yi = n2s + y2

Аналогично, необходимо также решать и задачи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Существуют три варианта расположения прямой и плоскости: прямая пересекает плоскость в точке, прямая параллельна плоскости и прямая лежит в плоскости.

Прямая (1) пересекает плоскость о: Ax+ By+Cz+D = 0 тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор (m;n;p) не ортогонален вектору нормали плоскости n̅ (A;B;C), то есть скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора отлично от нуля:

Am + Вп + Cp ^ 0

Если прямая параллельна плоскости, то точка M (x0;y0;z0) не удовлетворяет уравне нию плоскости:

( Am + Вп + Ср = 0

{Ax0 + By0 + CZ0+D ^ 0

А если лежит в плоскости, то удовлетворяет:

Г Am + Вп + Ср = 0

{Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

Для того, чтобы найти точку пересечения Q (x_q;y_q;z_q) прямой и плоскости необходимо отметить, что эта точка принадлежит прямой, а следовательно, при некотором параметре t 0 удовлетворяет уравнениям:

{ x_q = mt₀ + X₀

yq=nt0+y0  Q: (mt0 + X0;nt0+y0;pt0 + Z0)

^Zq = P ^t0 ^{+ Z}0

С другой стороны, точка Q (mt₀ + x₀; nt₀ + y₀; Pt₀ + z₀) принадлежит плоскости о следовательно, координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости:

A(mt0 + x0) + B(nt0 + y0) + C(Pt0 + z0) + D = 0

Amt0 + Bnt0 + CPt0 = —D — Ax0 — By0

t0

—D — AX0 — By0 — CZ0

^{— Cz} 0

Am + Вп + Cp

Для того, чтобы построить плоскость, проходящую через прямую и перпендикулярную данной плоскости а достаточно любой точки, принадлежащей этой прямой, направляющего вектора (1) и нормали п к плоскости а:

I х — х₀   т А|

|у —У о п в| = 0                         (17)

I z — z₀   р СI

(х —В" (у — _Уо). ^т ^+(z —z „ )J ^m А\ =0 Р с                 р с               I п в ।

(х — х₀) • (пС — рВ) — (у — у₀) • (тС — рА) + (z — z₀) • (тВ — пА) = 0

Для проверки перпендикулярности плоскостей достаточно найти скалярное произведение их нормалей. Если оно равно 0, то плоскости перпендикулярны:

т 1 т₂ + Л 1 Л 2 + р 1 р₂ = 0                    (18)

Проекция прямой m на плоскость а определяется системой уравнений плоскости ш, проходящей через эту прямую и перпендикулярную плоскости а (17) и самой а:

| А_ах + В_ау + C_az + D_a =0

(А_мх + B_toy + C_Mz + D_M = 0

Что также можно выразить через точку пересечения Q (х ^ ; y_q;z_q) прямой с плоскость

а:

= (B_aC_to

/I В_а  CJ |С ,   А,| |А ,   В_а

⁽|в_м  С_М| ^; |С_М   а_м|^;|а_м   в_м

• —    В_мС_а;С_аА_м

• —    С_мА_а;А_аВ_м—А_мВ_а)

Для решения задачи визуализации прямой на эпюре необходимо соответственно построить проекции прямой на плоскости Oxy, Oxz и Oyz. Поскольку в случае плоскостей осей координат одна из координат равна 0, очевидно, что в формуле (2) достаточно убрать соответствующую координату: z для плоскости Oxy, y для Oxz и x для Oyz.

В статье даны аналитические решения основных задач начертательной геометрии в компьютерной графике, например таких

как построение прямых и их проекций, взаимное расположение прямых и плоскостей, построение перпендикуляров и проекций. Приведенные выше решения легли в основу компьютерной библиотеки для визуализации простейших задач начертательной геометрии как часть задачи построения интерактивной системы обучения начертательной геометрии, разработка которой происходит в настоящее время на кафедре РК1 «Инженерная графика» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.