Математические свойства отдельных показателей оценки эффективности инвестиций

Оценка эффективности инвестиций – важная задача, решать которую приходится практически каждому субъекту хозяйственной деятельности. Это государственные органы, коммерческие и некоммерческие компании, физические лица. Теория решения этого вопрос имеет почти вековую историю.

Современная теория предлагает для оценки и сравнения эффективности инвестиций такие показатели, как net present value (NP V), internal rate of return (IRR ), profitability index (PI), modified internal rate of return (MIRR ), payback period (Pb ), equivalent annual annuity (EAA ), equivalent annual cost (EA C) [1, 2, 4].

Наиболее надежной считается оценка по NPV, которая определяется на основе следующей формулы:

NPV = S = о^ = 3 = о N FF_t х WlF_k.„         (1)

где k - ставка дисконта;

N CF_t - чистый денежный поток;

t - определенный период времени;

n - срок, в течение которого используются инвестиции;

P VIFk,t - коэффициент текущей стоимости, который рассчитывается по формуле:

PVIF_{k t} = ^—, ^,t:    ( 1 ккУ

Чистый денежный поток бывает «ординарный» и «неординарный». Рассмотрим только первую категорию, на этом этапе рассуждений это целесообразно, поскольку вторая категория более сложна. Итак, ординарный NCF_t - такой, у которого N CF_o< 0, а все последующие значения неотрицательны и хотя бы одно из них больше 0. Эта величина (N С F_o) -сумма инвестиций, обозначим её через I . Все неотрицательные величины назовем притоками и обозначим CIF_t. Выделим также «аннуитет», т.е. такой чистый денежный поток, у которого в конце каждого года возникают одни и те же суммы притоков (начиная с 1-го года): CIF== CIF==_ = CI F_t...= CIF_n . Поскольку притоки из года в год неизменны, то отбросим индекс, привязывающий ко времени и обозначим их через С IF. Формула NPV в этом случае изменит свой вид:

NPV С!№^-^CIF¹^- Л (3)

Отметим, что в левом слагаемом правый множитель выделяют в самостоятельный коэффициент, обозначаемый как       ,

(коэффициент

текущей стоимости аннуитета), т.е.:

PVIFA_kn ,

_ yn     ¹   _ (ЫЧк)^^¹ — Lt =¹ (i ₊ k) t — к( 1+к)^п ,

Для дальнейших рассуждений классифицируем инвестиционные проекты на 4 типа:

• 1)    с одинаковыми суммами и сроками;

• 2)    с отличающимися суммами, но одинаковыми сроками;

• 3)    с одинаковыми суммами, но отличающимися сроками;

• 4)    с отличающимися суммами и отличающимися сроками.

Для оценки и сравнения эффективности инвестиций 3го типа А.Б.Коган предложил показатель «скорость прироста стоимости» (SG) [3, 5]:

NPV

,

По идее, заложенной в этот показатель, из нескольких альтернатив 3-го типа, наиболее выгодной должна быть та, у которой этот показатель больше. Проект не эффективен, если SG имеет отрицательное значение.

Для оценки и сравнения эффективности инвестиций 4-го типа А.Б.Коган предложил «индекс скорости удельного прироста стоимости» ( IS ):

IS ₌ , (6) n∗ ^,

По идее, заложенной в этот показатель, из нескольких альтернатив 4-го типа, наиболее выгодной должна быть та, у которой этот показатель больше. Этот показатель объединяет два принципа: «быстрее» и «больше» и отражает количество рублей чистой текущей стоимости проекта, получаемых ежегодно на каждый рубль инвестиций (руб./руб. в год). Проект не эффективен, если IS имеет отрицательное значение.

Конструктивную критику IS удалось получить от анонимного рецензента журнала «Экономика и математические методы», процитируем его: «рассмотрим проект, требующий инвестиций 1000 и дающий ежегодно один и тот же чистый денежный приток в размере 420. При ставке дисконтирования 10% NPV этого проекта за 10 лет составит 1580,7, за 11 лет – 1727,9. Значения IS при этом составят соответственно 158,1 и 157,1. При дальнейшем увеличении длительности проекта IS будет уменьшаться. Следуя автору, необходимо было бы прекратить реализацию проекта в конце

10-го года, хотя это экономически нецелесообразно (поскольку есть возможность ежегодно получать доход 420 без дополнительных инвестиций)».

Налицо парадоксальная ситуация: показатель с «правильной экономической логикой» конфликтует с другой «правильной экономической логикой». Этот пример побудил авторов основательно исследовать математические свойства IS и SG .

В примере выше описан 3й тип проектов, сравниваемых на основе SG . Приведенный пример иллюстрирует, что у IS и SG имеется экстремум (в данном случае – на 10м году). Поскольку для ординарных денежных потоков эти два показателя ведут себя схоже (это следует из их формул), то дальнейший анализ выполним только для SG ⁴⁹ .

Условимся, что экстремум существует при n=N₀ . Таким образом, SG применим при значениях n в диапазоне от 1 до N 0 . Для отыскания N 0 проанализируем математические свойства SG . Для упрощения анализа введем более краткие обозначения: 1 + к = (р, GIF = Ь, тогда для анализа связи SG с n , запись этого показателя в «математических терминах» (на основе формулы 3 и формулы 5) будет выглядеть т.о.:

I b__ ь

SG- ="-*^ = LlJ^ = (--1V-b-J-. п п        п \к ) п к пфп

Для нахождения экстремума этой функции, приравняем её производную к 0:

dSG_n дп (8)

-(^i)4+h^+r^ = 4-GH)1+--V-!^) = o,

\к / п2 кп2фп к пф2П п \ \к / п кпфп к фп /

Выполнив следующие преобразования, получим:

(.— AL = -J- + -

\к ) п к пфп к фп

N₀ выводится из формулы (9), её функция выглядит следующим образом

(запишем её в «финансовых» символах):

F(«о) = (^ - 1) (1 + кУ« — ^ln(1 + k)N0 - ^,

Это трансцендентное уравнение, которое не решается аналитически. Первое слагаемое – это показательная функция, второе слагаемое – линейная функция. Для определения N0 нужно выполнить расчет по формуле 10 для нескольких значений n. N0 определяется исходя из условия, что FCNA имеет минимальное отрицательное значение.

Итак, если n меньше или равна N 0 , то оценка SG достоверна. Если n больше N 0 , то SG не дает достоверную оценку. Для устранения этого свойства показателя необходимо модифицировать его формулу.