Математическое моделирование и численный расчет скоростей конвективного течения газа при кольцевом нагреве

При описании сложных течений газа используется модель сжимаемой сплошной среды, основанная на решении полной системы уравнений Навье-Стокса [4]. Эта модель адекватно описывает физические процессы в указанных течениях, поскольку учитывает диссипативные свойства вязкости и теплопроводности.

Такие исследования, проведенные в последние годы [5-8, 11], были посвящены изучению течения газа в разных частях восходящего закрученного потока. Рассматривались стационарные и нестационарные течения в придонной и вертикальной частях восходящих закрученных потоках. С работ [1, 2, 12, 13] начался новый цикл исследований сложных течений газа, предполагающих математическое моделирование и численные расчеты трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в целом. Исследовались сложные течения газа в восходящих закрученных потоках, инициированных нагревом подстилающей поверхности и вертикальным продувом при учете действия сил тяжести и Кориолиса. Кроме того, сделана попытка в этой же модели без учета действия силы Кориолиса описать возникающее при нагреве подстилающей поверхности конвективное течение вязкого теплопроводного газа [15]. Причем нагрев осуществлялся в центре нижней грани расчетной области в виде круга конечного радиуса.

Целью данной работы является математическое моделирование и численный расчет скоростных характеристик в начальной стадии формирования трехмерного нестационарного конвективного течения газа, вызванного локальным кольцеобразным прогревом нижней поверхности расчетной области.

Полная система уравнений Навье-Стокса в безразмерных переменных с учетом действия силы тяжести в векторной форме имеет следующий вид [3]:

где значения безразмерных положительных коэффициентов вязкости и теплопроводности следующие: « - 0 . 001, k ₀ » 1.458333 « 0 .

Эта система в дифференциальной форме передает законы сохранения массы, импульса и энергии в движущейся сплошной среде, а также учитывает влияние силы тяжести [4].

В системе (1): t - время; x , y, z - декартовы координаты; P - плотность газа; V - (u, v, w) - вектор скорости газа с проекциями на соответствующие декартовы оси; T - температура газа; g -(0,0, - g) — вектор ускорения силы тяжести, а g - const > 0, показатель политропы для воздуха у - 1.4.

Набор функций и - 0, v - 0, w - 0,

T ₀( z ) - 1 - kz ; _{k -} !x«L ,   l - 0.0065 K , x ₀₀ - 10м,

T00

T00 - 288oK(4)

и

P0 (z) - (1 - kz)v-1;  v - yg - const > 0

задают точное решение [9] системы (1) и используются в качестве начальных условий при численном решении полной системы уравнений Навье-Стокса.

Расчетная область представляет собой куб с длинами сторон x ⁰ - 1 , y ⁰ - 1 и z ⁰ - 1 вдоль осей Ox , Oy и Oz соответственно.

Для плотности на всех шести гранях куба x - 0, x - x ⁰, y - 0 , y - y ⁰, z - 0, z - z ⁰ ставится «условие симметрии»[10]. Это означает, что на границе предполагается равенство нулю производной функции плотности газа в направлении нормали к граничной поверхности.

Для температуры на пяти гранях куба x - 0, x - x ⁰, y _- 0 , y - y ⁰, z - z ⁰ задаются условия теплоизоляции («условие симметрии») [10].

На нижней плоскости z - 0 значения температуры в кольце между концентрическими окружностями с безразмерными значениями радиусов r - 0 . 1 и r - 0 . 3 заданы в виде функции

T(t, x,y) - 1 + M ( 1 - е t ) cos ( 15 . 7_Л/ ( x - 0 . 5 ) ² + ( y - 0 . 5 ) ² )

моделирующей кольцеобразный локальный нагрев нижней грани расчетного куба. Множитель М в формуле (6) равен превышению максимального безразмерного значения температуры над масштабным единичным значением и составлял в данной работе 0.125 (размерное значение 36^оК).

Краевые условия для компонент вектора скорости газа на всех шести гранях берутся соответствующими «условиям непротекания» для нормальной к граничной поверхности составляющей вектора скорости (равенство нулю нормальной составляющей к этой поверхности вектора скорости газа) и «условиям симметрии» для двух других компонент вектора скорости течения [10]. Данные краевые условия фактически означают рассмотрение конвективного течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в непроницаемой и теплоизолированной кубической емкости.

Расчетная область заполняется трехмерной сеткой узлов пересечения трех семейств плоскостей X = X,, y = yj, z = zk, где Xi = i-Ax, yj = j-Ay, zk = k-Az, 0 < i < L , 0 < j < M, 0 < k < N. Ax = x0/L , Ay = y0/ M, Az = z0 / N - разностные шаги по трем пространственным переменным.

Зная в начальный момент времени t = 0 во всех точках куба все искомые функции с помощью явной разностной схемы вычисляются значения искомых функций во внутренних точках куба, во внутренних точках каждой из граней, ребер и вершин.

Расчеты проводились при следующих входных параметрах: масштабные размерные значения плотности, скорости, расстояния и времени равны соответ- ственно

êã

Р00 = 1.2928тг, и00 = 3 3 3-, x00 = 10 ' ìñ t00

= ^x 00 / ^и 00 = ⁰ - ⁰³ c .

Разностные шаги по трем пространственным переменным A x = A y = 0 . 01, A z = 0 . 1 а шаг по времени A t = 0.001.

Расчеты показали, что изменение x -ой и y -ой компонент скоростей газа имеет ярко выраженный нестационарный характер. Кроме того, в начальные моменты времени общая структура скоростей имеет центральную кольцевую симметрию, что соответствует движению газа принятой изначально центральной кольцевой схеме нагрева подстилающей поверхности. В целом же нестационарный конвективный поток в условиях действия силы тяжести при такой схеме нагрева сохраняет центральную симметрию.

Что касается z -ой компоненты скорости газа, то в начальные моменты времени нагрева она имеет кольцевой характер с очень малыми значениями. С увеличением времени расчета кольцеобразная структура размывается в пространстве. Начиная с некоторого момента времени фоновые значения вертикальной компоненты скорости становятся отрицательными, а в центре расчетной области имеют куполообразную форму. Такое пространственное распределение значений вертикальной составляющей скорости говорит о том, что движение газа с этого момента времени направлено вертикально вниз и скорость этого движения больше на периферийных участках и меньше в центральной части расчетной области.

Основным результатом данной работы является то, что численное решение в нестационарном случае полной системы уравнений Навье-Стокса с корректно поставленными начальными и краевыми условиями позволяет математически моделировать и исследовать конвективное течение газа, вызванное кольцевым нагревом придонной части. Ясно, что полученные в данной работе результаты являются лишь началом более детального и подробного исследования подобных течений газа. Тем не менее, предложенная вычислительная схема работает корректно, начальные и краевые условия адекватны исследуемым течениям газа, возникающим в результате кольцевого нагрева, и результаты расчетов получаются понятными с физической точки зрения.