Mathematical modeling of corneal hysteresis

В современных медицинских приборах, использующих для диагностики глазных патологий деформацию роговицы струей сжатого воздуха, процесс деформирования отслеживается с высоким временным разрешением: порядка миллисекунд. В частности, в популярном в отечественных клиниках анализаторе реакции глаза (Ocular Response Analyzer, в сокращении ORA) глаз подвергается воздействию струи, давление в которой сначала возрастает по некоторому стандартному закону, а затем убывает по тому же закону, т.е. кривая зависимости давления от времени симметрична относительно момента, в который давление максимально. С помощью высокоточной оптической системы определяются моменты времени, в которые примыкающая к апексу область поверхности роговицы максимально близка к плоской. Роговица проходит через такую деформацию дважды: при возрастании и при убывании внешнего давления. Для диагностики используются значения давления в моменты прохождения через уплощение. Поскольку кривая давление-время симметрична, при чисто упругом поведении роговицы оба указанные значения времени были бы расположены на этой кривой тоже симметрично, и отслеживание уплощения давало бы также симметричные значения времени и равные давле-

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International

License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

ния. Таким образом, снималась бы лишь одна независимая характеристика деформации роговицы. Между тем на практике симметрия не наблюдается, и моменты уплощения оказываются несимметричны: на нисходящей ветви уплощение происходит при меньшем давлении, чем на восходящей. Это явление называют корнеальным гистерезисом, а разность соответствующих давлений рассматривается как дополнительная диагностическая характеристика. Накоплен обширный эмпирический материал, на основании которого корнеальный гистерезис рассматривается как диагностический параметр, в частности как один из маркеров глаукомы [15, 16, 19, 20].

В литературе нагружение глазного яблока струей воздуха моделируется, как и для других способов его нагружения, на основе громоздких конечно-элементных моделей, содержащих много констант [9, 14]. Эти константы определяются, как правило, в измерениях на трупном материале с осреднением результатов по многим глазам. Механические свойства, в первую очередь упругие, глазных тканей и их вариации для разных групп пациентов детально изучаются с учетом их нелинейности, неоднородности и анизотропии [7, 8, 10, 11]. Между тем константы, характеризующие эти свойства, в большой степени индивидуальны, значительно изменяясь от пациента к пациенту [17], и не известны заранее. При анализе быстрых процессов (с характерными временами порядка нескольких десятков миллисекунд) дело осложняется тем, что становятся существенными вязкоупругие свойства материала. Независимые данные о поведении глазных тканей при столь быстром нагружении отсутствуют. Поэтому используются параметры, полученные в опытах с существенно бо_́льшими характерными временами. Все эти обстоятельства делают затруднительным эффективное решение обратной задачи непосредственно для обследуемого глаза . Для преодоления трудностей, возникающих в связи с недостаточностью имеющихся данных, применялся метод оптимизации [13]. Однако при таком подходе остается значительный произвол при выборе моделей, параметры которых подлежат оптимизации.

Авторами ранее был разработан [3] максимально упрощенный подход к описанию механики глазного яблока, который характеризуется небольшим количеством подлежащих определению параметров и который оказался полезен при моделировании различных типов тонометрии. В рамках этого подхода роговица представляется безмоментной (мягкой) двумерной поверхностью, а склеральная область нульмерным элементом, откликающимся изменением объема на изменение внутриглазного давления. В базовом варианте роговица и склеральный сегмент считались линейно-упругими, т.е. зависимости деформаций роговицы от напряжений и объема склеральной области от изменений давления полагались однозначными и линейными, а упругие свойства роговицы как двумерной поверхности пространственно однородными и изотропными. В даль- нейшем были рассмотрены обобщения базовой модели на случаи пространственно неоднородной и нелинейноупругой роговицы [4, 6].

В работе [5] этот подход был применен к моделированию деформирования глазного яблока под действием внешнего давления, приложенного к роговице в ограниченной области. Такая постановка описывает, в частности, нагружение роговицы струей воздуха. В [5] как роговица, так и склеральный сегмент считались линейно упругими. Показано, что при определенном внешнем давлении формируется участок, который с высокой точностью можно рассматривать как плоский. По внешнему давлению, при котором возникает эта зона, с хорошей точностью можно оценивать истинное внутриглазное давление, т.е. давление в ненагруженном глазу. На связь между этими давлениями влияют, хотя и не слишком значительно, упругие свойства как роговицы, так и склеральной области. Разумеется, чисто упругая постановка исключает вязкие эффекты: при симметричной кривой давление-время моменты времени, при которых достигается максимальное уплощение, окажутся расположенными на этой кривой также симметрично. В рамках такой постановки корнеальный гистерезис описан быть не может.

В [5] предложено обобщение упругой модели, рассматривающее роговицу как вязкоупругий материал фойгтовского типа, однако расчеты с использованием этого обобщения не проводились. В предлагаемой работе такое моделирование выполнено с использованием того факта, что характерное время релаксации деформаций много меньше, чем характерное время нагружения, осуществляемого в реальных устройствах. Это соотношение времен позволило рассматривать решение чисто упругой задачи как нулевое приближение и разработать метод получения первого приближения, учитывающего вязкоупругость как поправки к нулевому. Показано, что модель описывает появление корнеального гистерезиса, величина которого тем выше, чем больше характерное время релаксации деформаций, определяемое соотношением вязких и упругих констант. Детальный анализ зависимости всей совокупности параметров, которые могут быть определены при анализе получаемых данных, от механических свойств глазных тканей будет выполнен в дальнейшем.

Постановка задачи

На рис. 1 схематически представлены глазное яблоко, не нагруженное извне (рис. 1, а ), а также нагруженное внешним давлением, приложенным в ограниченной центральной области роговицы (рис. 1, б ).

В [5] были выполнены оценки, показавшие, что на временах, характерных для струйного нагружения роговицы, все еще можно пренебрегать инерционными эффектами, а также вязкостью жидкости в передней камере (воды с растворенными в ней низкомолекулярными компонентами). Поэтому будем описывать безмомент-

а                                               б

Рис. 1. К постановке задачи: а - глазное яблоко до нагружения; б - роговица нагружена внешним давлением. Плоскость AB отграничивает роговицу от склеральной области. Стрелки (б) показывают область действия внешнего давления. Остальные обозначения в тексте ную (мягкую) поверхность, представляющую роговицу (как и в [5]) статическими уравнениями, которые с сохранением предположений, сформулированных в [3], приобретают в случае присутствия распределенного внешнего давления, например создаваемого струей, следующий вид:

(—оT) - T> cos ф = 0,(1)

• -T2 sin ф- г0ф' T + Xr0 (p - p*) = 0,(2)

r' = X cos ф,(3)

• r0 = Rcsin Ф0, Ф0 =   , X=1 + ei, £2 = —-L(4)

Rc

Здесь Г - расстояние точки поверхности, представляющей         роговицу,         от         оси;

ф - угол между нормалью к этой поверхности и осью симметрии; — и ф₀ - значения этих величин в начальном состоянии (рис. 1, а ); p - текущее внутриглазное давление; T и T - касательные усилия в меридиональном и перпендикулярном к нему (окружном) направлениях; £ и £₂ - деформации в направлениях главных осей, отсчитываемые от начального состояния не нагруженной извне роговицы. Последнее считается условно соответствующим некоторому сферическому, пространственно однородному сегменту радиуса R (радиус роговицы), с внутренним давлением p , которое в дальнейшем будет отождествляться с внутриглазным давлением до нагружения. До начала деформирования ( t = 0) усилия T_v и T равны между собой и определяются формулой T = T ₂ = T = p₀R_c / 2. Все присутствующие в расчетах линейные размеры далее обезразмериваются по радиусу роговицы R . Штрихом обозначены производные по параметру s - длине дуги образующей роговицы в начальном состоянии, отмеряемой от точки пересечения роговицы с осью симметрии (апекса) и играющей роль одной из двух независимых переменных; другая независимая переменная - время t .

Функция радиальной координаты и времени p* ( r , t ) >  0 определяет приложенное к роговице внешнее давление. В случае струйного воздействия эта функция отлична от нуля при t >  0 в ограниченной области - — <  r <  — , в которой струя воздуха действует на роговицу. Тангенциальной составляющей воздействия струи на роговицу будем пренебрегать в сравнении с нормальной силой, обеспечиваемой внешним давлением.

Система уравнений вида (1.1) - (1.4) впервые сформулирована для мягкой упругой сферической оболочки в [2], применена для описания роговицы глаза в [1] и модифицирована для описания роговицы как двумерной поверхности в [3]. Она выписана в предположении малых деформаций, но допускает конечные смещения. Речь при этом идет лишь о деформациях растяжения-сжатия. Деформации, определяемые изменениями кривизны поверхности, на напряженное состояние не влияют в силу условия мягкости и могут быть большими.

Распределение давления вблизи поверхности роговицы определяется конструкцией устройства и эволюцией струи в процессе ее распространения. В настоящей работе при моделировании принято то же распределение, которое использовано в [5] и согласуется с экспериментальными данными для ORA , представленными в [9]. Это распределение задается функцией

p *^{( r} ) = ‘

p j

( COS ( п r^j ) + 1 ) /2

^{( r} £ [ ^{- r}j , ^rj ^])

( - r j <  r <  r j )

где p j - максимальное значение действующего на роговицу давления, которое достигается при r = 0. Далее для определенности будем называть p давлением в струе. Полуширина зоны влияния струи (т.е. области, где p*(r) отлично от нуля) rj полагается равной 0,385. Эта величина соответствует размерному значению, приведенному в [9]. Малость деформаций и узость об- ласти непосредственного струйного воздействия позволяют по мере надобности предполагать совпадение зависимостей р„ (r) и р* (s) в области действия струи, а

также отождествлять расчетные функции от r , характеризующие форму роговицы в этой области, с соответствующими функциями от s .

Изменение давления в струе р • со временем будем

задавать следующей функцией, описывающей динами-

ку струйного нагружения в ORA :

(

P j ⁽ t ) =- P j max

sin t

—

tc

.

Здесь t_c - время, при котором давление в струе р • до

стигает максимума р _mах . Кривая р^ ( t ) симметрична

относительно оси t = t_c . В расчетах принимается t_c = 12,5мс, что соответствует данным по ORA [15].

Максимальное давление в струе р _71пах варьировалось в

диапазоне от 20 до 60 мм рт. ст.

Будем использовать рассмотренные в [5] линейные

определяющие соотношения, учитывающие вязкоупругость фойгтовского типа, которые в общем случае с учетом пространственной изотропии представляющей

роговицу поверхности имеют вид:

• ⁸ 1    +Т8 , + К8 2 =     [ T ^— V c T2 ^— T o ^{(1 — V} c ) ] ,

Ec

• ⁸ 2    +^т8 2 ^+k8 i = -^ [ T 2 ^—V c T i ^— T o ^{(1 — V} c ) ] , E_c

A V s +T i ( A V s ) • = K ( р — р о ). (8)

Коэффициенты E * и v_c имеют смысл упругих модулей (модуля растяжения и коэффициента Пуассона) роговицы как двумерной упругой поверхности при медленных процессах; K отвечает за объемную упругость склеральной области, а A V - приращение склерального внутриглазного объема (части внутреннего объема, ограниченной склерой и плоскостью, отграничивающей склеру от роговицы) вследствие изменения давления. Коэффициенты т , к и т характеризуют вязкоупругое

поведение роговицы и склерального сегмента, определяясь отношением вязкостей к соответствующим упругим модулям [5]. Точкой здесь и далее обозначается производная по времени.

Полное приращение объема жидкости во внутриглазном пространстве в рассматриваемой задаче равно нулю:

A V = A V_c +A V_s = 0 (9)

Приращение «подроговичного» внутриглазного объема A V (части объема, лежащей выше плоскости AB ) вычисляется исходя из рассчитанных функций r ( s , t ) и ф ( s , t ) .

В силу симметрии задачи решение ищется только в одной полуплоскости (0 <  s < ф_с R_c ) . Условия на лежа

щей в плоскости AB внешней окружности роговицы, по которой она контактирует со склерой, и асимптотическое условие в точке ее пересечения с осью совпадают с использованными в [5]:

r ( Ф c^Rc ) = ^Rb = cons^{1,                 (10)}

s ^ 0 Г ~ s ( 1 + 8 1 ) .                          (11)

Условие (11) содержит, строго говоря, два асимптотических граничных условия при s ^0: r ^0 и r ^1 + 81. В отличие от задач с нагружением роговицы жестким тонометром, второе из этих условий не выполняется тождественно в силу уравнения (3), а преобразуется в силу того же уравнения к дополнительному асимптотическому условию ф^0.

Выберем за характерное время процесса длительность возрастания струйной нагрузки t = 12, 5 мс. Как показывает анализ экспериментальных кривых, это время по крайней мере на порядок больше характерного времени вязкоупругого отклика системы. Далее в настоящей работе будем пренебрегать перекрестной вязкоупругостью роговицы: к = 0 , а также вязкоупругостью склеральной области: т = 0 . Тогда характерное время вязкоупругого отклика равно т и выполняется неравенство t_c >> т .

Это неравенство позволяет рассматривать в качестве нулевого приближения решение в каждый момент времени t чисто упругой задачи ( т = 0) при внешнем давлении P j ( t ) . В этом приближении определяющие деформацию роговицы уравнения (1)–(9) решаются при т = к = т= 0 с граничными условиями (10)-(11), а внутреннее давление р определяется для каждого t как собственное число. Такие решения были получены нами ранее в [5].

В первом приближении для определения формы роговицы с учетом немгновенности установления деформаций будем определять сначала деформации 8] ( s , t ) и 8₂ ( s , t ), решая для каждого s систему обыкновенных уравнений

8 ( s , t ) + т8! ( s , t ) = 4[ T ⁰ ( s , t ) — v T ⁰( s , t ) — T (1 — v_c ) ] (12)

E c

82 (s, t) + т82 (s, t) = -1* [ T20(s, t) — VcTAs, t) — T0(1 — Vc )] (13) Ec с начальными условиями 8] (s,0) = 82 (s,0) = 0 . Верхним индексом 0 здесь и далее отмечены значения функций в нулевом (чисто упругом) приближении.

Представим функции 8] ( s , t ) и 8₂ ( s , t ) в виде

8 1 ( s , t ) = 8 1 ⁰( s , t ) + A8 1 ( s , t ) ,

8 ₂ ( s , t ) = 8 ₂⁰ ( s , t ) + A8 ₂ ( s , t ) .

Примем во внимание, что правые части уравнений (12) и (13) дают 8 1 ⁰( s , t ) и 8 ₂⁰( s , t ) (значения деформа-

ций для стационарной задачи), т.е. удовлетворяют уравнениям (1.1) - (1.4). С учетом этого уравнения (1.13) - (1.14) переписываются для приращений деформаций AS] и As₂ :

As1( 5, t) + TAS1( 5, t) =-ts10( 5, t),(15)

As2 (5, t) + т AS 2( 5, t) = —т S2° ( 5, t),(16)

начальные условия для которой

As1( 5,0) = As2( 5,0) = °.(17)

Решение системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (15)–(16) может быть при необходимости легко получено в квадратурах.

Подставляя полученные в результате решения системы (15) - (16) функции As, ( 5 , t ) и As₂ ( 5 , t ) в (14), получаем S] ( 5 , t ) и S₂ ( 5 , t ) . Из геометрических соотношений (4) теперь определяется функция r ( 5 , t ), а из геометрического соотношения (3) с учетом (4) - функция cos ф ( 5 , t ). Эти функции задают, хотя и не полностью, скорректированное изменение во времени формы роговицы. Неполнота такого задания связана с тем, что в решении могут присутствовать как положительные, так и отрицательные углы, а по cos ф определяется лишь |ф|. Определение ф ( 5 , t ) требует дополнительного анализа. Для этого можно и достаточно показать, что при прохождении функции ф ( 5 ) через значение 5 , при котором она равна нулю, ф ( 5 ) меняет знак. После того, как скорректированная форма определена, из (9) может быть получено соответствующее изменение склерального объема. Однако, как будет показано ниже, непосредственно для оценки величины корнеального гистерезиса, полное знание уточненной формы не нужно: достаточно рассчитать функцию |ф ( 5 )| (или |sin ф ( 5 )|).

Примененный метод расчета формы, скорректированной с учетом вязкоупругости, не обеспечивает непосредственно соблюдения граничных условий, поскольку переход от полной постановки задачи к системе (15)-(16) понижает порядок по координате до нулевого. Однако функции r ( 5 , t ) и ф ( 5 , t ) , полученные из решения этой системы при начальных условиях (17) с использованием соотношений (3) и (4) удовлетворяют граничным условиям (10) - (11), т.е. дают корректное первое приближение. Покажем это.

При t = 0 начальное условие As₂ ( 5 , 0) = 0 выполняется для всех s , в том числе при s =ϕ R , т.е. на границе роговицы. В силу геометрических условий (4) S₂° (ф_с R_c , t ) = 0 при любом t . Уравнение (16) с учетом начального условия    As₂ ( 5 , 0) = 0   дает решение

As ₂( ф _cR_c , t ) = 0 . Отсюда s ₂( ф _cR_c , t ) = 0, и из (4) следует выполнение граничного условия (10).

Из асимптотического условия (11) и соотношений (4) для нулевого (чисто упругого) приближения следует, что при 5 ^0 компоненты деформации асимптотически совпадают для каждого t :

S 1 ⁰( 5 , t )~ S 20 ( 5 , t ).                        (18)

Из этого следует, что асимптотически совпадают также их производные по времени: S j°( 5 , t )~ S ₂°( 5 , t ). Уравнения (15) и (16) теперь асимптотически одинаковы. Одинаковы также и начальные условия. В силу геометрических условий (4) при 5 ^ ° асимптотическое условие (11) теперь выполняется для Δ , а с учетом (18) и для Sp Все необходимые граничные условия, таким образом, выполнены.

Далее должен быть выполнен расчет уточненных значений динамических параметров p , T_v и T₂ по уже полученной в первом приближении геометрии объекта. Давление p определяется из (9) и (8) (при т = °), а T_v и T получаем после подстановки найденных уже функций r ( 5 , t ) и ф ( 5 , t ) в (1)-(2) систему уравнений первого порядка по s , которая решается с асимптотическим граничным условием / , ‘ >  ° при 5 ^ °.

В дальнейших расчетах мы ограничимся первым приближением, причем нам понадобятся уточненные значения лишь геометрических характеристик. Будем исследовать, на каких интервалах времени в окрестности апекса достигается образование области, близкой к уплощенной. Таковых интервалов два: в процессе возрастания и убывания внешнего давления.

В [5] был обоснован выбор интервала значений s< sf , в котором целесообразно проверять близость поверхности роговицы к плоской: 5f ~ 0,1. Сформулированы критерии такой близости. Будем определять момент максимального уплощения отдельно для периодов возрастания внешнего давления (° < t < tc) и его убывания (tc < t < 2tc) . На каждом из этих интервалов, несколько модифицируя предложенный в [5] метод, моментом максимального уплощения считаем такое значение времени t , при котором на этом интервале sf достигается минимум функции А(t) =1 |sin ф(5)| d5 .

J °

Соответствующие значения времени обозначим t для периода возрастания давления и t для периода его убывания.

Уплощение, достигаемое при t = t и t = t , следует считать достаточным, если при s < s выполнено неравенство

I sin ф ( 5 )| <9 ,                      (19)

где 9 выбирается достаточно малым, т.е. таким, чтобы диапазон давлений струи, в котором это неравенство выполняется, был бы достаточно узким и приемлемым в соответствии с требуемой точностью измерений. Сколь угодно малым критерий 9 выбран быть не может, по-

Pj, мм рт.ст.

Рис. 2. График функции Х(Pj) при Pjmж = 60 мм рт. ст. и т = 0, 1 и 1,5 мс при возрастании и убывании внешнего давления. Черные кривые соответствуют возрастанию давления, синие – его убыванию; индексы 1 и 2 обозначают кривые при т = 1 и 1,5 мс соответственно. Красная кривая построена для статического решения (т = 0) и одинакова при возрастании и убывании внешнего давления скольку точное уплощение ни при каких значениях параметров не достигается. Ни расчет функции Х(t), ни проверка неравенства (19) не требуют знания функции ф(5, t) , (или sin ф(5, t)), а лишь ее абсолютной величины, легко вычисляемой в первом приближении рассмотренным выше методом.

Результаты численного моделирования

Упругие константы, как и в наших предыдущих работах, для удобства оценок далее переобозначены по формулам E_с = б E_c , K = (CE_S ) ^{- 1}, где б = 0,5 мм -средняя в норме толщина роговицы, а £ = 1,44 х 10 ^{- 5} мм^–3 [3]. Будем называть E и E роговичной и склеральной жесткостями соответственно. Расчеты проводились для их нормальных значений Е_с = 0,3 МПа, E_s = 10 МПа [3]. Время релаксации деформаций т варьировалось вблизи значения т = 1 мс. Истинное внутриглазное давление p (т.е до начала нагружения) во всех расчетах принималось равным 12 мм рт. ст. Параметры кривых p ( s ) и p_j ( t ) выбирались, как указано выше. Коэффициент Пуассона во всех случаях считался равным v_c = 0,45.

Геометрические характеристики роговицы (см. рис. 1, а ) принимались равными R_c = 8 мм, R_b = 5,8 мм, что соответствует стандартным для человеческого глаза значениям.

Численное решение состоит из двух этапов. Сначала ищется нулевое приближение: для каждого момента времени t решается чисто упругая задача, т.е. система обыкновенных (с независимой переменной s ) уравнений и граничных условий (1)–(11) в пренебрежении вязкоупругими эффектами ( т = к = т = 0) при внешнем давлении p , соответствующем этому времени. Это решение находится тем же методом, что и в [5]: система решается методами Рунге-Кутта четвертого порядка и стрельбы при различных внутренних давлениях p с игнорированием условия постоянства объема (9), а затем подбирается собственное число p , при котором это условие выполняется.

Для поиска первого приближения использовалась система обыкновенных уравнений (12)–(13) с граничным условием Б] ( 5 , 0) = е₂ ( 5 , 0) = 0 , которая при численном расчете предпочтительней системы (15)–(16), поскольку вычисление правых частей ее уравнений не требует численного дифференцирования. Для рассчитанных на первом этапе функций T ⁰( s , t ) и T ⁰( s , t ) соответствующая задача Коши решалась с использованием разностной схемы Эйлера. Затем, как описано в предыдущем разделе, на этом интервале для каждого значения времени t рассчитывалась функция cos ф ( 5 , t ), а по ней |sin ф ( 5 , t )|. Раздельно для этапов возрастания и убывания внешнего давления определялись значения времени t и t , в которые достигается

Рис. 3. Кривые зависимости давления в струе P j от времени t для P j max = 20 ( а ) и 60 ( б ) мм рт. ст. Крестики указывают моменты максимального уплощения для т = 1 мс

sf минимальное значение функции X(t) = 1 |sin ф(s)| ds 0

(моменты наибольшего уплощения). Для этих моментов подбиралось минимальное значение 9 , обеспечивающее выполнение неравенства (19).

На рис. 2 изображена зависимость величины X от внешнего давления p_j при его возрастании и убывании для двух рассмотренных времен релаксации деформаций т в сравнении с чисто упругим приближением ( т = 0) при P j max = 60 мм рт. ст. Значение P j , при котором достигается максимальное уплощение (минимум функции X ( р. ) ), больше соответствующего значения в статическом случае при возрастании внешнего давления и меньше при его убывании. Эта разница увеличивается с увеличением времени релаксации деформаций т .

Во всех точках максимального уплощения неравенство (19) выполнялось с 9 = 3 х 10 - 4 , что соответствует практически плоской поверхности.

Степень асимметрии расположения времен уплощения при симметричной кривой p ( t ) можно охарактеризовать двумя параметрами.

Во-первых, это время запаздывания A t_h момента уплощения при спуске по этой кривой по сравнению с аналогичным моментом при подъеме по ней, которое определяется формулой

A t h = t + + 1 _— — 2 t c .

Эта величина всегда неотрицательна и равна нулю при симметричном расположении точек максимального уплощения на кривой p(t), т.е. при tc = “(t + + t -)

Другой параметр, характеризующий асимметрию уплощения, – разность внешних давлений в моменты уплощения на подъеме и спуске: A p _A = р _у( t ₊) — р _у( t _), которую называют величиной корнеального гистерезиса (или просто корнеальным гистерезисом).

Полученные в расчетах значения давлений уплощения p + и p ^— , а также времени запаздывания A t_h и корнеального гистерезиса A p_h сведены в приводимую ниже таблицу

Для чисто статического приближения ( т = 0) при значениях упругих характеристик, принятых в настоящей работе, р + = р -- = 13,8 мм рт. ст. [5], а параметры гистерезиса A p_h и A t_h равны нулю.

Величина корнеального гистерезиса A p_h тем больше, чем больше время релаксации деформаций т , и сильно зависит от максимума приложенного внешнего давления p_{j max} , значительно возрастая с его существенным увеличением. При достаточно большом зна-

Результаты расчетов

	P j max = 20 мм рт. ст.		P j max = 60 мм рт. ст.
	т = 1 мс	т = 1,5 мс	т = 1 мс	т = 1,5 мс
р + , мм рт. ст.	16,4	17,1	20,4	22,2
р — , мм рт. ст.	12,4	11,3	8,8	5,0
A рк , мм рт. ст.	4,0	5,8	11,6	17,2
A t h , мс	1,7	2,5	1,8	2,7

чении p    корнеальный гистерезис Δp принимает значения того порядка, который измеряется в ORA. Время запаздывания Δt возрастает с τ , а при переходе к бо́льшим значениям pjmax существенно не меняется. Порядок времени запаздывания совпадает с порядком этой величины, определяемой в эксперименте.

На рис. 3 изображена зависимость внешнего давления от времени (6), на которой нанесены моменты максимального уплощения при возрастании и убывании внешнего давления для τ= 1 мс.

Обращает на себя внимание, что в достаточно широкой окрестности момента максимального уплощения отклонение от плоской формы остается весьма малым. Это обстоятельство, с одной стороны, снижает требования к фиксирующему уплощение оптическому устройству, а с другой – уменьшает точность определения этого момента.

Заключение

Предложенная модель деформирования глазного яблока под действием приложенного к нему в узкой области внешнего давления с учетом немгновенности установления деформаций роговицы позволила описать явление корнеального гистерезиса, т.е. запаздывания момента уплощения роговицы при убывании внешнего давления в сравнении с аналогичным моментом при его возрастании. При этом в расчетах по модели удалось получить для двух основных характеристик этого явления: величины корнеального гистерезиса и времени запаздывания уплощения – значения того же порядка, который наблюдается в эксперименте.

Величина корнеального гистерезиса зависит от максимального внешнего давления, приложенного в процессе нестационарного процесса нагружения–разгрузки, значительно возрастая с его увеличением. Таким образом, использование корнеального гистерезиса для получения объективных характеристик механического состояния глазного яблока требует надежной повторяемости параметров процесса.

В настоящей работе исследование проводилось для нормальных значений упругих констант, характеризующих глазное яблоко. Предстоит провести исследование зависимости параметров корнеального гистерезиса от этих констант, которые на практике могут значи- упругих   оболочек. – СПб:   Изд-во   Санкт-

Петербургского университета. – 388 с.

тельно отклоняться от нормы. Отдельного анализа требует выяснение вопроса о влиянии на корнеальный гистерезис вязкоупругих свойств склеральной области. В настоящей работе последняя рассматривалась как упругая. Чтобы выяснить, следует ли учитывать ее вязкоупругость, придется не только выполнить дополнительные расчеты, но и провести целенаправленное сопоставление с экспериментальными данными. Предстоит оценить соотношение между временами релаксации деформаций для роговицы и склеральной области. Не исключена и возможность того, что на столь малых временах склеральная область ведет себя как абсолютно жесткое тело.

По данным о моментах уплощения при нагружении и разгрузке в приборе ORA рассчитывается помимо величины корнеального гистерезиса еще несколько параметров, которым приписывается диагностическое значение. Между тем, физический смысл этих параметров остается не полностью ясным. В рамках развиваемого нами подхода возможно выяснить, от каких именно механических характеристик глазного яблока и процесса нагружения они зависят, и поставить вопрос об использовании данных, предоставляемых ORA , для оценки таких характеристик. В конечном счете получение на основании клинических измерений сведений о реальных механических свойствах глазных тканей повышает информативность этих измерений и открывает путь к разработке новых, физически обоснованных, диагностических критериев.

При этом может потребоваться некоторая модификация модели, в частности для учета неоднородности толщины роговицы, которая, как показывают многочисленные исследования [9, 12, 14, 18], имеет существенное значение для оценки реального внутриглазного давления. В соответствии с этими представлениями стандартный набор параметров, измеряемых ORA , включает эмпирически введенную величину: роговично компенсированное внутриглазное давление. Первым этапом такого исследования может служить разработанный авторами ранее подход [4], при котором неоднородность толщины и механических свойств роговицы учитывается через интегральную характеристику – эффективную жесткость. Окажется ли такой подход достаточным в рассматриваемом случае или потребуется его уточнение, покажут дальнейшие исследования.

С. 375–390.

Vol. 20, No. 1. – P. 39–48.

Финансирование. Работа выполнена в рамках Госпрограммы АААА-А19-119012990119-3