Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки мембранного покрытия с подкрепляющим элементом

Автор: Конопацкий Евгений Викторович, Шпиньков Владимир Александрович, Бездитный Андрей Александрович

Журнал: Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура @vestnik-susu-building

Рубрика: Технология и организация строительства

Статья в выпуске: 4 т.22, 2022 года.

Бесплатный доступ

В работе на примере моделирования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек мембранных покрытий с подкрепляющим элементом рассмотрен подход к многомерной аппроксимации, прототипом которого послужил метод наименьших квадратов. Отличительной особенностью предложенного подхода является отсутствие необходимости составления и решения системы линейных алгебраических уравнений для определения полиномиальных коэффициентов аппроксимирующей функции. Вместо этого для минимизации суммы квадратичных отклонений между исходными данными и расчётными используются быстродействующие численные алгоритмы поиска экстремальных значений, реализованные в программном пакете MS Excel в виде функции «Поиск решения». В результате моделирования получаются уравнения, содержащие натуральные значения факторов. А в случае использования нелинейных координатных сеток или нормирования можно легко перейти к натуральным значениям факторов путём замены переменных. Из полученных результатов видно, что предложенный подход к аппроксимации многомерных экспериментальных данных является в достаточной степени гибким и эффективным инструментом, но вместе с тем обладает недостатками, присущими классическому методу наименьших квадратов в части возникновения незапланированных осцилляций между узловыми точками аппроксимации. Поэтому в работе приведен пример использования геометрической теории многомерной интерполяции для решения тех же задач моделирования, но с использованием геометрических интерполянтов. Как видно из результатов, в конкретном случае модели, полученные на основе геометрической теории многомерной интерполяции, наиболее точно отображают характер протекания процесса и потому являются более предпочтительными по отношению к моделям, полученным с помощью двумерной аппроксимации. Вместе с тем аппроксимационные модели получены в виде явных функций, а интерполяционные - в параметрическом виде.

Еще

Математическая модель, двумерная аппроксимация, двумерная интерполяция, геометрический интерполянт, цилиндрическая оболочка, напряжѐнно-деформированное состояние, подкрепляющий элемент

Короткий адрес: https://sciup.org/147239527

IDR: 147239527   |   DOI: 10.14529/build220406

Текст научной статьи Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки мембранного покрытия с подкрепляющим элементом

На сегодняшний момент развитие строительства большепролетных мембранных покрытий остается актуальным в связи со значительным числом возводимых объектов спортивного, социально-культурного и общественного назначения [1-4]. Ввиду этого вопрос надежности проектируемых конструкций, а в особенности мембранно- го покрытия, включающегося в совместную работу при поперечном изгибе с подкрепляющими элементами постели, остаётся актуальным. Проектируемые сегодня конструкции отличаются значительным разнообразием геометрии поверхности: плоские, положительной, отрицательной, нулевой гауссовой кривизны, первоначально плоские или с заданной стрелой провисания и т. п. Одной из осо- бенностей работы таких конструкций является не в полной мере исследованный вопрос в части совместного взаимодействия тонкостенной мембранной оболочки и подкрепляющего элемента конструкции под действием поперечной нагрузки. Теоретические исследования и внедрение конструктивных решений для большепролетных мембранных конструкций изложены в работах [5–8].

С учётом исследований [9, 10] закономерности изменения напряжений, возникающие в тонколистовой мембране и подкрепляющем элементе жёсткости под действием поперечной нагрузки, определяются коэффициентами k 1 , k 2 , k 3 , которые характеризуют степень влияния подкрепляющего элемента на его совместную работу с мембранной оболочкой. В результате были получены экспериментальные данные, представленные в [11]. При этом возникает задача анализа, оптимизации и обобщения полученных экспериментальных данных для последующей разработки методики расчёта напряжённо-деформированного состояния тонкостенных оболочек с различной кривизной поверхности.

Постановка задачи. Разработать математические модели для коэффициентов k i = f ( x 1 , x 2 ) , характеризующих напряженно-деформированное состояние мембранных покрытий с различной кривизной поверхности, где x 1 – функция жестко-стных характеристик, а x 2 – кривизна поверхности тонкостенной оболочки.

Метод

Базовыми инструментами математического моделирования для обработки и анализа экспериментальных данных являются интерполяция и аппроксимация. При этом наибольшее распространение в инженерной практике получил аппроксимационный метод наименьших квадратов [12–14], который лежит в основе регрессионного анализа и заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений между исходными данными и расчётными:

n

E ( z i - z i ) ^ min.

i = 1

где zi – исходные значения экспериментальных данных; zi – расчётные значения, полученные в результате аппроксимации.

В соответствии с методом наименьших квадратов минимизация целевой функции в виде сум- n 2 мы квадратов регрессионных остатков ^ ( z i - z i ) i = 1

происходит методами математического анализа. В общем случае задача минимизации решается методом математического анализа функции многих переменных, который подразумевает определение частных производных с последующим со- ставлением и решением системы алгебраических уравнений. Однако, как следует из того же математического анализа, в случае с функцией многих переменных исследование на экстремумы (в нашем случае – минимум) необходимо проводить не только внутри, но и с учётом границ исследуемой области, что в значительной степени усложняет как математическое описание, так и программную реализацию такого решения. Исходя из этого в работе предлагается использовать быстродействующие численные алгоритмы поиска экстремальных значений, реализованные в программном пакете MS Excel в виде функции «Поиск решения», по аналогии с [15].

Традиционно критерием адекватности полученных моделей, свидетельствующих о степени их соответствия исходным экспериментальным данным, служит коэффициент детерминации R 2 , который определяется следующей зависимостью:

n

Z i zi - z i )

R2 = 1 - -i=i-----------, n Яzi -z)2 i=1

где z – среднеарифметическое значение исходных экспериментальных данных.

Коэффициент детерминации R 2 для модели принимает значения от 0 до 1. Считается, что чем ближе значение R 2 к 1, тем сильнее зависимость, а при R 2 = 1 достигается функциональная зависимость между аппроксимирующей функцией и исходными данными.

Тогда получается, что максимальное значение коэффициента детерминации R 2 на интервале от 0 до 1 достигается при минимальных значениях суммы квадратов регрессионных остатков n

^(zi - zi) . Исходя из вышеизложенного, пред- i=1

лагается в качестве целевой функции использовать непосредственно коэффициент детерминации R 2 , но находить при этом его максимум с помощью функции «Поиск решения» на интервале значений от 0 до 1.

Для первых двух функций k = f ( x^ x 2 ) и к 2 = f 2 ( X 1 , x 2 ) используются исходные данные непосредственно из таблицы. Чтобы увеличить точность итоговой модели по отношению к исходным данным, применительно к факторам x 1 и x 2 , определяющих функцию к 3 = f3 ( x 1 ,x 2 ) , было использовано нормирование, т. е. каждое отдельное значение было поделено на максимальное. В результате получим следующие значения факторов для построения модели к 3 = f3 ( x 1 , x 2 ) (см. таблицу).

Конопацкий Е.В., Шпиньков В.А., Бездитный А.А.

Обратное вычисление натуральных значений формул:

Нормированные значения факторов для построения модели к 3 = f 3 ( x 1 ,x 2 )

х1 х2 Натуральные значения фактора Нормированные значения фактора Натуральные значения фактора Нормированные значения фактора 8,89 1,00 0 0 1,11 0,13 0,008 0,259 0,33 0,04 0,011 0,345 – – 0,016 0,515 — — 0,032 1 факторов осуществляется с помощью следующих

x x2H

Xo ~ , 2  0,032

x = H , 1   8,89

где x 1 H и x 2 H – нормированные значения факторов x 1 и x 2 .

В результате проведения вычислительных экспериментов были подобраны следующие аппроксимирующие функции, обеспечивающие высокие значения коэффициента детерминации:

k 1 = a 1 x 2 x 2 + b 1 x 2 + c 1 x 1 x 2 + d 1 x 1 + e 1 x 2 + f 1 , к 2 = a 2 x 2 + b 2 x 1 x 2 + c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 ,

6   65   54   4

k 3 = a 3 x 2 Hx1 H + b 3 x 2 H + c 3 x 2 Hx1 H + d 3 x 2 H + e 3 x 2 Hx1 H + f 3 x 2 H + + g 3 x 2 Hx 1 H + h 3 x 2 H + i 3 x 2 Hx1 H + j 3 x 2 H + k 3 x 1 Hx 2 H + l 3 x 2 H + m 3 .

Для реализации метода наименьших квадратов были использованы возможности табличного процессора MS Excel. При этом с помощью команды «Поиск решения» были найдены значения полиномиальных коэффициентов, обеспечивающие для каждой модели максимальные значения коэффициента детерминации на интервале от 0 до 1.

В результате получены следующие математические модели в виде полиномиальных зависимостей:

k 1 = 2,55 x 2 x 2 - 0,046 x 2 + 3,057 x , x 2 + 0,801 x , + 2,925 x 2 + 0,789;

к 2 = 0,058 x 2 - 0,009 x , x 2 - 0,633 x , + 0,02 x 2 + 1,502;

к 3 = 258,033 x 6 H x 1 H + 546,743 x 6 H - 3,064 x 5 H x 1 H - 0,754 x 5 H -

- 260,239 x 4 H x 1 H - 543,407 x 4 H - 258,591 x 3 H x 1 H - 551,504 x 3 H +

+ 340,309 x 2 H x ! H + 686,824 x | H - 74,744 x j H x 2 H - 107,228 x 2 H + 6,672.

Для всех трёх моделей коэффициенты детерминации варьируются в пределах R 2 = 0,997...0,999 .

n 2

Поскольку общая дисперсия Е ( z i - z ) является величиной постоянной, аналогичный результат i = 1

можно получить, если минимизировать непосредственно сумму квадратов регрессионных остатков

n

^(zt -:;.) . Однако в этом случае решение нужно искать на всём интервале значений, который для каж- i=1

дой отдельной функции будет различным. Поэтому предпочтительней использовать коэффициент детерминации R 2, значения которого всегда находятся в интервале от 0 до 1.

Результаты и обсуждения

Полученные в результате моделирования коэффициенты детерминации говорят об очень высокой достоверности математических моделей. Однако чтобы убедиться в этом наглядно, выполним графическую визуализацию полученных моделей (рис. 1).

Рис. 1. Графическая визуализация математических моделей, полученных с помощью двумерной аппроксимации

Визуализация первой модели подтверждает достоверность модели по отношению к исходным данным. А вторая и третья модели, как видно из рис. 1, несмотря на высокие значения коэффициента детерминации, склонны к незапланированным осцилляциям, которые никак нельзя обосновать, исходя из условий протекания исследуемого процесса. В частности, коэффициенты k 2 и k 3 не могут быть отрицательными. Исходя из этого, для второй и третьей модели необходим поиск других решений.

Эту же задачу можно решить с использованием геометрической теории многомерной интерполяции [16–19], которая предусматривает использование геометрических интерполянтов для моделирования многофакторных процессов и явлений. Под геометрическим интерполянтом понимается геометрический

Рис. 2. Геометрическая схема моделирования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек мембранных покрытий с помощью двумерной интерполяции

объект, проходящий через наперёд заданные точки [20], координаты которых соответствуют исходным экспериментальным данным. Для построения геометрических интерполянтов необходимо разработать геометрическую схему и описать её аналитически с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки. Аналитическое описание геометрических интерполянтов выполняется с помощью математического аппарата «Точечное исчисление» [21–23].

Геометрическая схема моделирования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек мембранных покрытий с подкрепляющим элементом (рис. 2) представляет собой геометрический алгоритм построения поверхности отклика, проходящей через 15 наперёд заданных точек. Он включает определение опорных линий A1B1C1D1E1 , A2 B2C2 D2 E2 , A3B3C3D3E3 и обра зующей линии M1M2M3 геометрического интер-полянта.

На основании геометрической схемы (см. рис. 2) разработан вычислительный алгоритм аналитического определения искомой поверхности отклика, который включает 3 однотипных точечных уравнения для определения каждой из направляющих линий:

M j

= A j

-4   13- 3     13- 2 2  - 3 |      (     3     64- 2 2

u--u u +— u u uu + B 16 u u--u u

33      J jV    з

16    3 )

+ uu +

3 J

+ C j ( 12 uu + 40 u u^ 12 uu ^) + D j (-^- u^;

I 64 -2 23 i .

u--u u +16uu+

I -3   , 13-22

+E — u u +—uu j I

13- 3 ,4

—uu+

где u - текущий параметр точечного уравнения, который изменяется от 0 до 1; u = 1 u - дополнение параметра u до 1; 1 j 3.

Конопацкий Е.В., Шпиньков В.А., Бездитный А.А.

Далее следует определение образующей линии поверхности отклика:

M = v (v -0,15v)M1 + 8,842vvM2 + v(v-6,692v)M3, где v – текущий параметр точечного уравнения, который изменяется от 0 до 1;

v = 1 - v - дополнение параметра v до 1.

Обратим внимание, что разработанная геометрическая схема и полученный на её основе вычислительный алгоритм являются одинаковыми для всех трёх моделей k , k и k , но с разными исходными данными. Это даёт возможность посредством покоординатного расчёта получить 3 отдельные модели, которые аналитически определяются с помощью 3 различных систем параметрических уравнений. Чтобы не перегружать статью, приведём систему параметрических уравнений только для первой модели:

% ! = 2,927 v 2 - 11,492 v + 8,894

x 2 = - 0,006 u 4 + 0,096 u 3 - 0,113 u 2 + 0,056 u

< k 1 = ( 16,278 v 2 - 16,492 v - 1,067 ) u 4 + ( - 15,863 v 2 - 9,31 v + 28,373 ) u 3 + + ( 1,267 v 2 + 33,066 v - 37,213 ) u 2 + ( 3,582 v 2 - 20,109 v + 17,547 ) u -- 0,231 v 2 - 2,799 v + 4,06.

Выполним визуализацию геометрических моделей для сравнения интерполяционных моделей с аппроксимационными (рис. 3).

Рис. 3. Визуализация геометрических моделей, полученных с помощью двумерной интерполяции

Из рис. 3 видно, что в данном конкретном случае модели, полученные на основе геометрической теории многомерной интерполяции, наиболее точно отображают характер протекания процесса и потому являются более предпочтительными по отношению к моделям, полученным с помощью двумерной аппроксимации. Вместе с тем аппроксимационные модели получены в виде функций, заданных в явном виде, в то время как интерполяционные модели, полученные на основе точечных уравнений и вычислительных алгоритмов на их основе, представлены в параметрическом виде, что затрудняет их дальнейшее использование в инженерной практике.

Выводы

Описанный в работе подход по реализации метода наименьших квадратов с помощью поиска решений в табличном процессоре MS Excel является в достаточной степени гибким и эффективным инструментом. Его преимуществами являются простота реализации, возможность использования натуральных значений факторов и возможность обобщения на многомерное пространство, что расширяет существующий инструментарий моделирования многофакторных процессов и явлений. Но также он обладает недостатками, присущими классическому методу наименьших квадратов в части возникновения незапланированных осцилляций между узловыми точками аппроксимации. Поэтому в работе для конкретных моделей реализована двумерная интерполяция на основе геометрической теории многомерной интерполяции, которая показала более качественные результаты не только по отношению к исходным данным, но и по отношению к характеру протекания процесса, что позволило избежать незапланированных осцилляций, которые были ярко выражены на аппроксимационных моделях напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек мембранных покрытий с подкрепляющим элементом.

Список литературы Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки мембранного покрытия с подкрепляющим элементом

  • Мущанов, В.Ф. Мембранные системы большепролетных покрытий с конструктивным предварительным напряжением / В.Ф. Мущанов, A.Н. Оржеховский, Д.С. Коровкина // Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры. - 2019. - № 4(138). - С. 38-43.
  • Ларионов, И.В. Основные достоинства применения мембранных пространственных конструкций покрытия / И.В. Ларионов // Поколение будущего: взгляд молодых ученых - 2021: сборник научных статей 10-й Международной молодежной научной конференции, Курск, 11-12 ноября 2021 г. - Курск: Юго-Западный государственный университет, 2021. - С. 210-212.
  • Веселов, В.В. Анализ обрушения каркаса при демонтаже покрытия спортивно-концертного комплекса «Петербургский» / В.В. Веселов // Обследование зданий и сооружений: проблемы и пути их решения: материалы XI науч.-практ. конф., Санкт-Петербург, 18-19 ноября 2021 г. -СПб.: СПбПУ, 2021. - С. 5-13.
  • Исследование живучести мембранного покрытия большепролетного сооружения / Г.М. Кравченко, Е.В. Труфанова, Ю.М. Боженко-ва, Д.А. Суслопаров // Строительство и архитектура. - 2019. - Т. 7, № 2. - С. 10-14. DOI: 10.29039/article_5d4c0a3c3ff755.70793988.
  • Еремеев, П.Г. Пространственные тонколистовые металлические конструкции покрытий / П.Г. Еремеев. - М.: Изд-во Ассоц. строит. вузов, 2006. - 560 с.
  • Расчет и проектирование пространственных металлических конструкций / Е.В. Горохов, B.Ф. Мущанов, Я.В. Назим, И.В. Роменский. - Макеевка: ДонНАСА, 2012. - 560 с.
  • Конструкции стационарных покрытий над трибунами стадионов / Е.В. Горохов, В.Ф. Мущанов, Р.И. Кинаш и др. - Макеевка, 2008. - 404 c.
  • Моисеенко, М.О. Алгоритм расчета пластин с начальным прогибом с учетом податливости контура / М.О. Моисеенко, О.Н. Попов // Научный альманах. - 2017. - № 12-2(38). - С. 43-50.
  • Мущанов, В. Ф. Учет совместной работы тонколистовой мембраны с подкрепляющими элементами стабилизирующей системы / В.Ф. Мущанов, В.А. Шпиньков // Металлические конструкции. - 2016. - Т. 22, № 2. - С. 79-89.
  • Мущанов, В.Ф. Уточнённая оценка совместной работы тонколистовой мембранной обшивки с подкрепляющим элементом / В.Ф. Муща-нов, В.А. Шпиньков // Металлические конструкции. - 2018. - Т. 24, № 3. - С. 133-141.
  • Особенности совместной работы подкрепляющего элемента с пологой цилиндрической безмоментной оболочкой при действии поперечной нагрузки / В.Ф. Мущанов, Е.В. Конопацкий, В.А. Шпиньков, А.А. Крысько // Металлические конструкции. - 2021. - Т. 27, № 2. - С. 97-118.
  • Голованчиков, А.Б. Аппроксимация экспериментальных данных методом наименьших квадратов и методом наименьших относительных квадратов / А.Б. Голованчиков, К.Д. Минь, Н.В. Шибитова // Энерго- и ресурсосбережение: промышленность и транспорт. - 2019. -№ 1(26). - С. 42-44.
  • Герасимов, С.А. Метод наименьших квадратов и метод площадей: что и когда лучше? / С.А. Герасимов // Учебная физика. - 2021. - № 3. -С. 20-25.
  • Конопацкий, Е.В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. -2019. - № 9(183). - С. 11-18. DOI: 10.14489/vkit.2019.09.pp. 011-018.
  • Konopatskiy, E. V. Study of high-strength steel fiber concrete strength characteristics under the influence of elevated temperatures using mathematical modeling methods / E. V. Konopatskiy, S.N. Mashtaler, A.A. Bezditnyi // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - 687 (2019). - P. 022040. DOI: 10.1088/175 7-899X/68 7/2/022040.
  • Конопацкий, Е.В. Геометрическая теория многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении, 2020. - № 1(7). - С. 9-16. DOI: 10.30987/2658-6436-2020-1-9-16.
  • Konopatskiy, E.V. Geometric modeling of multifactor processes and phenomena by the multidimensional parabolic interpolation method / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // Journal of Physics: Conference Series: XIII International Scientific and Technical Conference "Applied Mechanics and Systems Dynamics", Omsk, 05-07 November 2019. -Omsk: Institute of Physics Publishing, 2020. -P. 012063. DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012063.
  • Конопацкий, Е.В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018): сб. науч. тр. II Междунар. науч.-практ. конф., Донецк, 14-15 ноября 2018 года. - Донецк: ДонНТУ, 2018. - С. 309-318.
  • Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов и явлений многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия. - 2019. - Т. 10, № 2. - С. 77-86. DOI: 10.1758 7/prin. 10.77-86.
  • Геометрическое моделирование адаптивных алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Е.В. Конопацкий, И.В. Селезнев, О.А. Чернышева [и др.] // Вестник компьютерных и информационных технологий. -2021. - Т. 18. - № 9(207). - С. 26-34. DOI: 10.14489/vkit. 2021.09.pp. 026-034.
  • Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка: МИСИ, 1995. - 227 с.
  • Балюба, И.Г. Точечное исчисление / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага. - Макеевка: Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 2020. - 244 с.
  • Балюба, И.Г. Точечное исчисление. Историческая справка и основополагающие определения / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий // Физико-техническая информатика (СРТ2020): материалы 8-й Междунар. конф., Пущино, Московская обл., 9-13 ноября 2020 года. - Нижний Новгород: Автономная некоммерческая организация в области информационных технологий «Научно-исследовательский центр физико -технической информатики», 2020. - С. 321-327. DOI: 10.3098 7/conferencearticle_5fd755c0adb 1 d9. 27038265.
Еще
Статья научная