Математическое моделирование основных классов стохастических продуктивных систем

В настоящей работе предлагается метод описания стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях. В современном промышленном производстве, как и при высокотехнологичной организации сельскохозяйственного производства, наблюдается определенная общность подходов и методов организации продуктивных процессов, обусловленная возможностями планирования. Методами построения формальных математических моделей обосновывается простая классификация стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях.

В работе решается проблема построения и исследования математической модели стохастической (то есть подверженной случайным возмущениям) продуктивной системы. Важнейшим частным случаем таких объектов является система выполнения операций «точно в срок». Возникший первоначально для задач промышленного производства, этот метод организации жизненного цикла распространился в последнее десятилетие на методы программирования, обучения и тренировок, лечения и многое другое. При этом остаются неразработанными и неисследованными математические модели, отвечающие задачам оптимального управления, планирования оценивания параметров и уровней ри- сков. В задачах практической реализации таких систем ряд авторов создавал описания, сводящиеся к задачам логистики. Однако случайные возмущения (например, возврат «забракованных» операций разработки конструкторской документации на переработку, изменения в урожайностях или в скорости роста деревьев в лесоводстве, отклонения в интенсивностях выполнения операций и многое другое) авторы до настоящего времени пытались свести к простым аддитивным добавкам, как правило, с гауссовским законом распределения.

Темой исследования является построение в общих траекторных терминах такого математического описания, которое могло бы соответствовать принципу «точно в срок» и отклонениям от него. Также описание должно позволять разброс в интенсивности («скорости») выполнения операций с известными номерами и таким образом использовать метод случайной среды, которая и является набором этих интенсивностей. Описания, следовательно, должны опираться на разработанные авторами траекторные (известные также как мартингальные) методы построения моделей. Наряду с целью формирования модели, в работе необходимо решить следующие принципиальные задачи: определить условия, при которых система может являться «точно в срок» и решить задачу о возможности «совмещения» такого описания с моделью, не имеющей финитного носителя (когда с положительной вероятностью операции могут быть не выполнены за большое время). Эта последняя задача не является такой уж абстрактной, ведь, по существу, это иная формулировка проблемы о совместимости большинства теорий старения с теорией запрограммированной смерти.

Методы при построении и исследовании моделей использовались траекторные (мартингальные) в терминах точечных считающих процессов.

Том 29, № 4. 2019

Обзор литературы

Анализу продуктивных систем посвящено большое количество работ. В последние годы возрастает роль моделирования и различных описаний систем, подвергающихся случайным возмущениям, то есть стохастическим системам, которым и посвящена настоящая работа. Необходимо это, прежде всего, для задач управления, прогнозирования и оценивания параметров таких систем.

Прежде всего необходимо отметить, что используемый здесь термин «продуктивная система» не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, посвященной вопросам моделирования. Это объясняется тем, что он восходит к широко используемым в англоязычных источниках двум близким терминам: production system и productive system. Первый из них – production system – используется преимущественно для рассмотрения систем производства (систем мануфактуры), конструирования, технологических процессов, инженерных систем. Следует отметить (в качестве примеров стохастического описания моделей) работы, которые выполнили С. Пань и Ш. Ли [1], а также А. Фаз-лирад и Т. Фрайхайт [2]. При этом термин production system, как правило, сочетается со словами inventory или manufacturing. Второй англоязычный термин – productive system – имеет более широкое применение. Так, он, включая перечисленные объекты моделирования, используется еще и при анализе вопросов эффективности, сельскохозяйственных систем, в лесоводстве, при анализе критических состояний систем. Ц. Чжэнь [3] и С. Гупта [4] провели исследования, которые стали примерами стохастических описаний соответствующих систем. Стоит заметить, что все сказанное выше так же относится и к популярному современному объекту научных исследований «точно в срок», прообразом кото- рого служит англоязычный термин just in time (just-in-time).

Перед тем как обсудить методы выполнения операций в продуктивных системах, организованных по принципу «точно в срок», укажем, что приведенные здесь (а также иных моделях) случайные возмущения (стохастич-ность) рассматриваются как простые аддитивные (и, как правило, гауссовские) «добавки» к стандартным детерминистским описаниям. Такого рода описания доминируют, как хорошо известно, в анализе логистических задач (например, в транспортных задачах). Однако возмущения, присущие даже системам производства, не сводятся к логистическим проблемам. Продуктивные системы подвержены ограничениям на интенсивности выполнения операций, случайным явлениям возвращений на переработку и доработку, случайным отказам, стохастическим процедурам восстановления и многому другому. Также оказывается заведомо стохастическим описание прохождения многостадийных фаз жизненного цикла биологических объектов. Еще один подход, реализованный в упомянутых работах, сводится к описанию продуктивной системы как простой марковской цепи, что также далеко не всегда соответствует реальным объектам (и в силу отсутствия марковского свойства, и ввиду непрерывности времени выполнения операций).

Для того чтобы преодолеть указанные трудности моделирования, разрабатывались модели в траекторных терминах (называемых также мартин-гальными), в терминах точечных или считающих процессов. Необходимо отметить работу, выполненную А. А. Бутовым и А. А. Коваленко [5]. Эта работа построена на принципах, развитых А. А. Бутовым [6]. Упомянутые модели прохождения многостадийного жизненного цикла биологическими объектами разрабатывалось А. А. Бутовым в соавторстве с рядом ученых [7; 8].

Описание и математическое моделирование систем «точно в срок», являющихся важнейшим классом продуктивных систем, восходят к основополагающим (но не «математизированным» и не вероятностным) работам Й Суги-мори и других [9], а также М. Йаявуза и Э. Ачкали [10]. Наряду с инженерными, производственными и технологическими системами, организованными по принципу «точно в срок», в последние годы возникли системы обучения «точно в срок», представленные в работе С. Килли, Э. Моррисона [11], в сфере программирования – в работе Т. Папе, К. Ф. Больца, Р. Хиршфельда [12].

Отметим, что представленные в настоящей работе описания позволяют математически формализовать известную проблему - существует ли в системе биологических объектов программируемое прохождение стадий жизненного цикла в форме программируемого старения и программируемой смерти. Работы на эту тему, как правило, носят описательный характер и плохо поддаются математическому моделированию. Укажем лишь отдельные из них, посвященные рассуждениям о программируемой смерти - Б. Т Вайнерт и П. С. Тими-рас [13], Дж. Миттельдорф [14; 15], М. В. Благосклонный [16], А. Ковальд, Т. Б. Л. Кирквуд [17], Дж. Ван Раамс-донк [18]. При этом существенной особенностью рассматриваемых на основе терминологии процессов выполнения операций в продуктивной системе является многостадийность процессов, модели которой разработаны А. А. Бутовым и соавторами [19; 20]. Настоящая работа исходит из возможности описания многостадийных процессов выполнения операций в терминах случайных блужданий и процессов размножения и гибели, описанных в работах А. А. Бутова [6; 21], Л. С. Т. Хо [22] и П. Янга [23].

Материалы и методы

Рассмотрим модели продуктивных систем следующих двух типов:

• (a)    апериодического производства за ограниченное время;

• (b)    апериодического производства за время с неограниченным носителем функции распределения.

При этом как система (a), так и (b) могут допускать (I) циклическое производство, (II) непрерывное производство. Целью данной работы является обоснование выделения двух непере-секающихся классов моделей: (a) и (b).

Математическим обоснованием данной классификации служат приведенные ниже теоремы. Представим формальное математическое описание стохастической модели выполнения операций. Работа выполнена в мартин-гальных терминах, траекторными методами.

Рассмотрим стохастический базис B = ( Q , F , F = ( F t ) t > о , P ) (то есть вероятностное пространство ( Q , F , P ) , снабженное неубывающим непрерывным справа потоком σ -алгебр F = ( F t ) t > о , пополненным по мере P [5; 6; 21; 24]). На B определим продуктивный процесс X = ( X t ) t > о , заключающийся в выполнении конечного положительного и целого числа K операций. Траектории процесса X предполагаются регулярными (то есть непрерывными справа при t > 0 и имеющими предел слева при t > 0). В качестве процесса выполнения рассмотрим невозрастающий процесс случайного блуждания в случайной среде E = = { ( ^x t (1) ) , >  0 , — ( ^x t ( K - 1) ) t >  о } - где неотрицательные случайные функции X t ( i ) являются F o -измеримыми при всех i ≥ 1 и t ≥ 0 [6]. Пусть случайная величина X t = X t ( го ), ю еП , является числом еще не выполненных операций продуктивного процесса ∀ t ≥ 0 . Тогда для процесса случайного блуждания (рассматриваемого в качестве модели выполнения K операций) справедливы соотношения: X t g {0,1, .„ , K } при t > 0, X 0 = K £ {1,2, . } и ^ X t = X t - X t - £

Том 29, № 4. 2019

e { - 1,0} при t > 0 (где X t - = lim X s ). s → t - 0

Процесс выполнения может быть представлен в виде:

X t = K - A t ,        (1)

где A q = 0 и неубывающий процесс A = ( A t ) _t > Q равен A t = = £ I { A X_s = - 1}, где I { • } - инди-

0< s < t каторная функция, то есть I {true} = 1, I{false} = 0. При последовательном выполнении процесс A является точечным считающим процессом и, следовательно, скачкообразным неубывающим субмартингалом со скачками AAt £ {0, I (1< Xt -)}. Следовательно, в разложении Дуба - Мейера для компенсатора Ã [6; 24] справедливо равенство:

t

A_t = J a s • I {1 < X_s }ds ,    (2)

где интенсивность скачков a t > 0 определяется случайной средой E :

K at =2 Xt (i )• I {Xt = i}.   (3)

i = 1

На базисе B для каждого последовательного номера i £ { K , K - 1, . ,1} марковский момент т (i ) является временем начала выполнения i -й операции: т (K ) = 0 и для z '£ { K - 1, . , 1} :

т ( i ) = inf{ / > т ( i + 1): X t = i } . (4)

Момент завершения всего продуктивного процесса т (0) (несоответствующий началу выполнения операции) определяется аналогично:

т (0) = inf{ ? > т (1): X t = 0} .   (5)

Для момента т (0) также имеет место равенство т (0) = inf{ Z > 0: X t = 0} .

Для марковских моментов т (i ) Р - почти наверное (то есть с единичной вероятностью) справедливы неравенства:

т ( K ) <т (K - 1) < ■•■ < т (1) < т (0) . (6)

Если Р{ т (0) <да } = 1, то процесс выполнения конечен. Тогда т (i ) - моменты остановки на B . В этом случае при всех x е ( -да , да ) определена функция распределения F _T (0) (x ) = ^ { т (0) < x } и для всех i e {K , ^ ,1} - условные функции распределения F i -^ Vx ) = P { т ( i - 1) < x | ^F _T (i ) } . Из (6) следует, что P – почти наверное для всех i e { K ,...,1} выполняются равенства:

F (0) (0) = F^-^i )) = 0 . (7)

Заметим, что в случае K > 1, F _T (0) ( x ) не совпадает со случайной функци-

⁽¹⁾                                              ( 1)

ей f (0) ( x ), поскольку F (0) ( x ) = 0 при x < t (1).

Определение

Конечный процесс выполнения X = ( X t ) _t > q называется «точно в срок» (или процесс «точно в срок T »), если существует такое число T е (0, да ), что:

P { t (0) <  T } = 1 и P { t (0) > T - £ } > 0

V £ >  0 .             (8)

В модели мы предполагаем, что распределение процесса X определяется случайной средой E . Следовательно, случайные функции и F^i - y^x ) при всех i e { K , ^ ,1} и функция распределения F _T (0) ( x ) абсолютно непрерывны, то есть существуют плотности распределения моментов. Наряду с процессом X в модели рассмотрим вспомогательный процесс одного скачка N = ( N t ) t > 0 с N t = I { X_t > 1} = I { t < т (0)}. Разложения Дуба – Мейера для N на стохастическом бази з B ^N = ( Q , F , F ^N = ( F N ) t > 0 , P ) (с F_t N = c t( N s ; s < t )) по теореме Деллашери [24] имеют вид:

t

N t = 1 — j N s P s ds + m N ,   (9)

где dTo)( t)/dt/

/(1 - F T ₍0) ( t ))

, (10)

а ( m t ) _t > q - квадратично интегрируемый мартингал.

Результаты исследования

Предложение

Условие (8) «точно в срок T » для процесса X эквивалентно (11):

t

J ^ s ds <  да при t <  T , и

T

∫ µ _s ds =∞ . (11)

Доказательство

Как следует из (7) и (10), t

=log (1 - FT (0)(t)), что и доказы- вает (8).

Предложение доказано

t

Обозначим ^ t ( i ) = J X _s ( i ) ds и Ф( t ) =

= min { ^ t ( i ) } при ф ( t ) = min { ^ ( i ) } .

1 < i <  K                  1 < i <  K

Модель с финитным носителем процессов выполнения операций в случайной среде

Теорема 1 (критерий «точно в срок»)

Процесс X в случайной среде E является «точно в срок T » тогда и только тогда, когда Р - почти наверное выполняются условия (12) и (13):

Ф ( t ) <да при t <  T ,      (12)

ф ( Т ) =да .         (13)

Доказательство

Аналогично N = ( N t ) _t > 0 рассмотрим для всех номеров i e { K, ^. ,1} вспомогательные процессы N ( i ) =

= ( N t ( i )) t > 0 с N t ( i ) = I { X t > i } = I { t < t ( i - 1) на стохастических базисах в ⁽ i' = = ( Q , f , F ⁽ i ) = ( F/ i ) ) t > Q , P ) с F i ) = =< г { т ( i ), ( N s ( i ); s < t ) } . Разложения Дуба -Мейера процессов N ( i ) на B ⁽ i ) имеют вид:

t

N t ( i ) = 1 - J N s ( i ) • H s ( i ) ds + m N ⁽ i ) , (14) 0

где при всех i e {K, „ . ,1}:

F t ⁽ i ) =

dF ⁽ i ) ^dF T ( i - 1)

( t)/dt /

/ 1- FT^Ftt »’

N (i а (mt )t>0 — соответствующие квадратично интегрируемые мартингалы. Отметим, что в случае K > 1, B N Т B(1), поскольку FtN ТFt(1). Поэтому цt ^ pt (1). Из (1), (2), (3) и (12) получаем, что при всех ie{K, . ..,1}:

Д ( i ) = X t ( i ) • I { X t = i }. (15)

Покажем достаточность условий теоремы. Из (6) и (13) следует, что для каждого номера ie {K, „. ,1} P - почти наверное выполняется соотношение lim t ^ T

{ ф t ⁽ i ) ^- Ф т ( i ) ⁽ i ) }

=« .

Пусть ^v t ⁽ i ) =^E { N t ⁽ i ) I F _T (i ) } ^- услов ^- ное математическое ожидание N t ( i ). Тогда из (14) и (15) следует, что при t < т ( i ) v t ( i ) = 1 и при t & Q u (i ), T):

t

V t ( i ) = 1 - J V s ( i Я ( i ) ds .   (17)

^{t (} i )

Решением (17) является случайный процесс:

^v t ⁽ i ) = I^{t >^{т (} i ^)} • exp { ^{- (} Ф t ⁽ i ) ^- Ф т ( i )⁽ i )) } .

Из чего следует, что

= lim exp {-(9t(i) — фт(i)(i))} P t ^ T vT (i)=

- по-

чти наверное. Из (16) получаем, что для всех ie{K, ^,1} Vt(i)=0 P - по-

чти наверное, откуда и получаем, что P{X T >  1} = P{N T >  1} = N T = E { N T (1) } = 0. Из (6), (12) и (18) также получаем, что N t >  0 при любых t < T . Достаточность доказана. Покажем необходимость условий теоремы. Условие (12) очевидно необходимо (в противном случае из (18) следовало бы, что P{X u = 0} = I {true} = 1 при каком-то значении u <  T ). Доказательство необходимости (13) проводится от противного. Определим для каждого номера i e { K, ^ ,1} и для каждого числа n > 1 множество

Г ⁿ ( i ) = ^ ® eQ :

Tc™

J X _s ( i ) ds <  n > .

Заметим,

I 0

что Г ⁿ ( i ) g F q . Если (13) не выполнено, то существуют такой номер i e { K , ^ ,1} и конечное число n , что Р { Г ⁿ ( i )} > 0 .

Рассмотрим процесс     X = ( X t ) _t > q

с X t = Xt• I { Г n ⁽ i )} , а также x_t =e { X_t I F _T ( i )}. Из (18) получаем, что X t ( i ) = = i • I ^{{ r n (} i )} • lim exp { ^-(

t⁽i) — фт(i)⁽i))} ^

>I{Гⁿ(i)}-exp{-n}>0, что противоречит (8), поскольку на множестве Гⁿ(i) значения X_T и X_T совпадают. Теорема доказана.

Несовместность моделей

Рассмотрим семейство моделей с процессами выполнения операций X(T) = (Xt (T))t>q «точно в срок T». Пусть время T=T(to), ® eQ, является строго положительной F0-измеримой случайной величиной. Возникает вопрос, существует ли такое распределение моментов времени T, с некоторой плотностью р(t)=рт(t), t>0, что результирующая модель соответствует процессу с плотностью вероятности моментов завершения выполнения операций, обладающей бесконечным носителем (а не финитным, как в случае с «точно в срок»)? Например, могут ли моменты смерти в гипотезе программируемой смерти быть так распределены, чтобы результирующая кривая дожития соответствовала схеме Гомпертца или ее аналогам? В рассмотрении мы предполагаем, что определяемая в (10) функция pt = pt (T) отвечает «точно в срок T». Не ограничивая общности мы предполагаем, что переходная функция - плотность вероятности р(t) - является гладкой функцией. Заметим, что результирующему процессу X(T) соответствуют момент завершения ^(0)=inf{t> 0: Xt (T)=0} аналогично т(0) в схеме (4) - (5). Для него определим процесс одного скачка N(T)=(Nt (T))t>о с Nt = I {Xt (T)>1}= = I {t < ^(0)}. Разложения Дуба - Мейера для N(T) на стохастическом базисе BN(T) = (П, F, F N (T ’ = (FN(T >), 4», P) (с fP(T) = п(Ns (T); s< t)) аналогично (9) – (10):

Доказательство

Покажем справедливость утверждения от противного. Пусть при любом значении s, s > 0 момента T = T(to), ©eQ, модель отвечает условию (8) «точно в срок s». Следовательно, выполняются соотношения (11) V s, s > 0:

j Pt (5)dt = «.         (19)

Из того, что функция плотности распределения ρ(s) гладкая, следует, что существуют числа r и u такие, что 0 < r< u< да и для некоторого е > 0 выполняется р(s) > е при всех 5е [r, и]. Тогда:

∞u ht = j р( s) -pt (s) ds > eJ pt (s) • I {t < s} ds.

0                   r

Из (20) следует, что при любом u > 0,

Nt (T)=1-f Ns (T) • hsds+mN^(T), 0

dF^ (0)( t)/dt/ ht            /(I" Fg(0)( t)),

N (T К а (mt )t>0 - квадратично интегрируемый мартингал на B N(T). Таким образом, задача сводится к вопросу о существовании p(t) такой, что конечная функция ht интегрируема на любом конечном интервале.

Теорема 2 (о несовместности моделей)

Не существует гладкой функции плотности р(t) с финитным носителем такой, чтобы функция ht была интегрируема на любом конечном интервале [0, и ] с 0 < и<да.

u ∫ 0

и ( и

htdt>j Js-pt(5)• I{t<s}ds dt =

0 V r

uu

= j j s-1{r< s} -pt (s) • I{t< s} dsdt. 00

Меняем порядок интегрирования и получаем из (19) неравенство:

uu

( u

\

Jhtdt>£-j jI{t<s}-p_t(s)dt ds =

r V 0

u

= £•[

^ 5        ^

r V 0        7

да,

что противоречит предположению об интегрируемости h_t на [0, u].

Теорема доказана

Обсуждение и заключение

В работе дано общее определение систем «точно в срок» общего вида. В Предложении и Теореме 1 сформулированы условия принадлежности продуктивных систем классу «точно в срок». Как показано в Теореме 2, модели таких систем оказываются в определенном смысле несовместными с моделями систем с бесконечными носителями распределения моментов завершения процессов выполнения операций. В частности, модели для процессов с заведомо сезонным режимом выполнения (например, в зерноводстве) несовместимы с моделями с потенциально сколько угодно долго живущими объектами (например, в лесоводстве). Заметим, что также несовместны модели программируемого старения в геронтологии с моделями износа (например, Гомпертца – Мейкхама).

Предлагаемый метод математического описания и исследования достаточно легко может быть распространен на общий случай процессов случайного блуждания в случайной среде (в том числе для процессов размножения и гибели).

В ряде случаев также целесообразно рассматривать X = (Xt) t >q как процесс размножения и гибели в детерминированной среде [21–23]. Для процесса выполнения значения Xtе {0,1, 2 .} при t > 0 X₀= Kе {1,2, ..} и AX_t = Xt-X_t- е{-1,0,1} при t > 0. Тогда, вместо (1) имеем:

Xt = K - At + B_t,      (21)

где Aq = Bо = 0 и неубывающие процессы A = (At)_t>₀ и B = (B_t)_t>0 равны     At = £ I {AX, =-1}. I {Xs—>1}

0< s < t и Bt = ^ I {AX, =1}. Компенсаторы 0< ,< t субмартингалов A и B, аналогично (2), представим как:

tt

At =J as • I {1 < Xs} ds, Bt =J bs • I {1 < Xs} ds.

0                    0

Интенсивности скачков a_t≥0 и b_t≥0 для процессов размножения и гибели в общем детерминированном случае определяются равенствами (27):

as = «(^s) • Xs⁺П^(s) • I{1^Xs}, ⁽²³⁾ bs = в s) • Xs + у( s) • I {1< Xs}. (24)

Тогда выполнение (8) в требовании «точно в срок T» определяется решением уравнения (29) для математического ожидания R_t (i)=Е {Xt}:

t

Rt = K + J (es — as) • Rsds + 0 t

+J (Ys - ns )• P{1 ^ Xs}ds.   (25)

При этом, как следует из Предложения и Теоремы 1, даже в скалярном случае функция as (а также в отдельных случаях βs) не интегрируема. Для (21), (22), (23) и (24), как и для уравнения (25), естественно, актуальны многомерные обобщения, что представимо в форме линейного операторного уравнения (см. [25]). Определение условий существования и единственности неотрицательного решения линейного интегрального уравнения в настоящее время остается актуальной задачей, поскольку представления условий в терминах собственных значений операторов в соответствующих Банаховых пространствах [25] даже в простых (в том числе скалярных) случаях харак- теризуют траекторное поведение функций αs,βs,γs и ηs опосредованно.

Полезными и интересными представляются дальнейшие исследова ния и для управляемых продуктивных систем, в том числе для управляемых процессов случайного блуждания.

Поступила 01.08.2019; принята к публикации 15.10.2019; опубликована онлайн 31.12.2019

Об авторах:

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.