Математическое моделирование параметров универсальной деформации краевой катастрофы K4,2 методом локальной асимптотики

Применение теории катастроф к различным областям физики позволяет адекватно описывать волновую структуру в фокальных и дифракционных областях в задачах рассеяния и распространения излучения в виде эталонных структур, содержащих специальные функции волновых катастроф [1; 3; 4; 8; 12; 15]. Для этого необходимо уметь связывать физические параметры реальной задачи с параметрами эталонных структур, соответствующих катастрофам того или иного типа, т.е. находить «параметры подобия», главными из которых являются коэффициенты универсальной деформации и функциональные модули.

Важной топологической особенностью является унимодальная катастрофа K _4,2 , структурно-устойчивая в четырехмерном пространстве, позволяющая описывать совместную каспоидную фокусировку типа «каустическое острие – A ₃ » как семейства первичных геометрооптических (ГО) лучей, так и семейства вторичных краевых лучей [3; 7; 11; 14]. В исследованиях [1; 10] рассмотрена кауст ическая структура краевой катастрофы K _4,2 .

^* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-02-00544-а).

12 Выпуск 1/2019

В настоящей работе методами математического моделирования построено первое приближение для коэффициентов универсальной деформации унимодальной краевой катастрофы Е = K 4 2 , имеющей разложение Е = ( A 3 , A 3 ) [3; 7; 14]. Это означает, что семейство ГО лучей образует особенность типа «каустическое острие» ( A ₃ ) с краем и семейство краевых лучей образует особенность A ₃ . Выражение для универсальной деформации краевой катастрофы Е = K имеет вид

F Σ = ν 2 ξ ²2 + a ξ 1² ξ 2 + ν 1 ξ 1⁴ + λ 1 ξ 1 + λ 2 ξ 1² + λ 3 ξ 2 + λ 4 ξ 1 ξ 2 , (1)

где V 1 = ±1; V 2 = ±1; a - функциональный модуль; X j - коэффициенты универсальной деформации.

Рассмотрим фазовую функцию Ф (Пр П ₂ , а ) в окрестности особой точки с координатами ( а o ) , в которой универсальная деформация переходит в нормальную форму и имеет вид

F _ V 2 ^ 2 + a ^2 + v _t ^ 4 .                           (2)

Справедливо тождество (см., например: [3; 7; 15])

ЛФ = F + 0,                              (3)

где Л - большой параметр задачи ( Л >>1, как аргумент не рассматривается); 0 ( a ) - фаза бегущей волны.

Для упрощения вычислений введем функцию ц = ЛФ . Тогда основное тождество приобретает вид

C = ц ( П 1 ( « ), П ₂ ( а ), а ) - F ^ (^, ^, а ( а ), X ( а )) -0 ( а ) = 0.           (4)

Между внутренними переменными фазовой функции и внутренними переменными универсальной деформации существует взаимно однозначное отображение [Там же]:

П 1 = g 1 ( ^ 1 , ^ 2 , ^{а )} , П ₂ =П О 2 ⁺ ^ 2 g 2⁽ ^ 1 , ^ 2 , ^а )•

Для определения коэффициентов X j ( а ), функционального модуля a ( а ) и фазы бегущей волны 0 ( а ) используем разработанный нами метод локальной асимптотики [2; 3; 5; 6; 9; 13].

Найдем методом локальной асимптотики выражения для коэффициентов X j ( а ), функционального модуля а ( а ) и фазы 0 ( a ). Введем обозначения:

_ дц        _ д 2 ц Ц i             , Ц ik д П (а о )         д П ' д П k i    дп,          i     д 2 n          i P j = „    . p# = „     , P j ■ j <« о >           6F <« о )

_   д 3 ц _ / ^k д^д^д^ , ’ ( а о )                   'i 'j lk (а о )                         (6) 3 _ » » '^     ’ - < i ’ j ’ k ’ l = 1’ 2 >- j, д ^ i (а о ,

^Ц( n , m )

В более сложных случаях мы будем использовать обозначения

n + m д ц дп П дп т

n + mz-i C _ д C ( а о /   ( n , m )    дп П дп т

n + m i    ∂η i ’ p ( n , m )     n'C.nm'C.m (а o )             д ^ 1д ^ 2

( а о

.

В особой точке ( a _о ) (см.: [3])

• ■ = ^2 = °, ri = ri о.

  
  

  Крюковский А.С., Бова Ю.И. Математическое моделирование параметров...    13

  
  

  Кроме того, при П ₂ = П o ₂ внутренняя переменная ^ ₂ = 0 [см. выражение (5)] [3; 7; 14] и тождество (4) переходит в тождество сужения:

  
  

  q — м ( П 1 ( а ), п о 2 , а ) - V 1 ^ ⁴ -Х 1 ( а ) ^ 1 -X 2 ( а ) ^ 2 -о ( а ) = 0.

  
  
  
  

  Это тождество соответствует особенности A ₃ – каустическое острие для краевых лучей. В работах [2; 3; 9] показано, что в особой точке типа A ₃

  
  

  М 1 = М- 11 = Мт = 0, М- 1111 * 0.

  
  
  
  

  Учитывая (10), нетрудно установить, что, для того чтобы получить p 1 , необходимо продифференцировать тождество (9) в особой точке четыре раза по ξ ₁ , для определения Р 11 - пять раз и т.д.

  Выполняя вычисления, находим [2; 3; 13]:

  
  
  
  

  d — p 1 = 4 ।      ।

  ^М1111|

  
  

  , p ii =

  
  

  _-

  
  

  - ^м. d ², p ;,, =

  10 Над

  
  

  21 Н 25,0) - X Н (6,0)

  400 н _:      20 Н (4,0)

  
  

  d ³ ,

  
  

  V = sign Ц 1111 , ^щ =

  
  

  p (5,0) =

  
  

  2 Н (5,0) Н (6,0) - 6 Н (5,0) Н (7,0)

  ²⁵    Н (4,0)      ¹²⁵ Н (4,0)   ³⁵ Н (4,0)

  
  

  d ⁴ ,

  
  
  
  

  2                 2                             4

  ⁹ Н (5,0) Н (7,0)    ³ Н (6,0)    ¹¹⁷ Н (5,0) Н (6,0) , ¹ 989 Н (5,0)      1 Н (8,0)

  --

  
  

  _-

  
  

  _-

  
  

  140   ^4,0)      80 Н _:     800  ^     32 000 н 44,0)  56 Н ₍4,0>

  
  

  d 5 .

  
  

  Таким образом, формулы (11) получаются последовательно из анализа производных

  
  

  C(n 0) или Q(n 0) при n = 4, 5, 6, 7, 8, вычисленных в особой точке.

  В дальнейшем для получения первого приближения нам потребуются pа =-

  1      д² п,               1                        _          ,

  и Р 1а =------ • Величина p находится из анализа Q_{f3 3} в особой точке и имеет вид

  ™  д^1да J“

  ^Ма (3,0)     3 ^М(5,0)^Ма (2,0)     21 ^М(5,0)^Ма (1,0)      1 ^М(6,0)^Ма (1,0)

  М(4,0)    10    м24,0)       400    м34,0)2 0

  
  

  Р ¹

  
  

  _-

  
  

  _-

  
  

  2 ^М(4,0)

  
  

  •

  
  
  
  

  Величина р 1 _а

  
  

  находится из анализа Q _{(4 а )} в особой точке:

  
  

  ^р а = -

  
  

  Р ¹ 4 Н (4,0)

  
  

  ⎛

  Н а (4,0) ⎝

  
  

  _-

  
  

  Н (5,0) Нд (3,0) +

  ^Н (4,0)

  
  

  9 Н (5,0) Н а(2,0)     1 Н (6,0) Н а(2,0)

  
  

  _-

  
  

  ^{25     Н} (4,0)       ^{5     Н} (4,0)

  
  

  _-

  
  

  69 Н (5,0) Н« (1,0)     1 Н (5,0) Н (6,0)Нд (1,0)      1 Н (7,0) Н« (1,0) 1

  
  

  ¹⁰⁰⁰     Н (4,0)      ^{10 Н} (4,0)

  
  

  _-

  
  

  ³⁵ Н (4,0)     ,

  
  
  
  

  Будем искать приближенные выражения для X j ( а ), а ( а ) и 0 ( а ) в виде

  
  

  M

  
  

  M

  
  

  ^X j ^(а ) = E ^X J а k ^Аа к , a ^(а ) = a F ⁺ Е a а k ^Аа к ,

  
  

  к =1

  M

  
  

  к =1

  
  

  MM

  
  

  0 ( а ) = 0 + Уе_а Аа, + У Уе_аа Аа,Аа,,

  o α _kk α _k α _jkj

  к =1                  к =1 J =1

  где Аа к = а к - а ок ; M - размерность конфигурационного пространства. В

  
  
  
  

  дальней-

  
  

  шем для сокращения записи индекс k у α _k будем опускать, как это сделано в выражениях (12)–(13).

  
  

  14 Выпуск 1/2019

Определим коэффициенты, входящие в (14). Для того чтобы найти Xto, продифференцируем сужение (9) один раз по ^1, один раз по а (т.е. вычислим 0(1 0)а ) и положим а = а о, ^ = о.

Тогда находим, что λ1α = μ1α p11.

Перейдем теперь к вычислению X _{2 а} . Для того чтобы найти X _{2 а} , необходимо продифференцировать тождество (9) два раза по ^ 1 , один раз по а ( О (_{2 0) а} ) и учесть (15).

Получим

• X2а = "2"(Ц1а pH + Ц11а (pl ) ).

Входящие в (17) необходимые величины уже определены в формулах (11).

Рассмотрим теперь определение с точностью до членов второго порядка включительно фазы бегущей волны 6 ( а ).

Величина 0 ( а o ) легко находится из тождества (9):

6 о = 6(а о ) = Ц( П1(0, а о ), По 2 ,а о ), где П1(0, ао) = по । — значение первого внутреннего параметра задачи в особой точке.

Для определения 6_а продифференцируем тождество (9) один раз по а ( О (₀,₀) _а ) и учтем (15). Тогда

6а = ^ .

Для вычисления коэффициентов 6_а в , а — а k , в — в j продифференцируем тождество (9) еще и по в . Анализируя О _{(0 0}) _а в в особой точке, находим

6ав = Цав + Ц1аpв + Ц1вpа .

Все величины, входящие в (20), известны [см. выражение (12)].

Таким образом, сужение позволило нам определить линейное приближение для X 1 , X ₂ и 6 . Для нахождения X ₃ , X ₄ и функционального модуля a необходимо рассмотреть полное выражение для универсальной деформации (1) особенности Е — K 4 2 .

Здесь следует отметить, что, во-первых, все производные П₂ по ^ и а равны нулю:

p ( n ,0) = ⁰ , p ( n ,0)а = ⁰ ,                                  ⁽²¹⁾

что явно следует из (5), а во-вторых, в особой точке

Ц 12 = 0,                                      (22)

что вытекает из равенства нулю в особой точке C (1 1) .

Найдем линейное приближение для коэффициента λ ₃. Для этого продифференцируем тождество (4) один раз по ^₂ , один раз по а (т.е. вычислим C (₀,1) _а ) и учтем (15), (21)(22). Тогда

λ _{3 α} = μ _{1 α} p ¹ ₂ + μ _{2 α} p ₂ ² .                              (23)

Для вычисления p 2 продифференцируем дважды по | 2 тождество (4) в особой точке, т.е. вычислим C (_{0 2}) , и получим, что

2         2               .

Р 2 = I----1, ^V2 = sign Ц 22 .

V Ц 22

Крюковский А.С., Бова Ю.И. Математическое моделирование параметров...

Сложнее определяется производная р ₂ . Для этого вычислим в особой точке производные тождества (4) C (₁₂) и C (₃ 1) и решим систему уравнений относительно р 2 и р ₁₂.

Находим

2 1 1= p 2_________ 1зн                     . 3 ^ 112 ^ 22 ^ (5,0) p 2 =    ^/-ч 2              x 3 ^ 112 ^ 122    2 ^ 1112 ^ 22 1                    , 2(3 ^ 112 —^ 1111 ^ 22 ) V                             5 ^ 1111     ;        (25) 21                      2 П 2 =__ pp ______ II    _3^(5,0)^1H_II p 12 =  ^/^ 2             \ 2 ^ 1112 ^ 112     ,           H 1111 H 122 . 2(3 ^ 112 -Ц 1111 Ц 22 ) V                5 ^ 1111

Из формул (25) следует, что особенность K _4,2 формируется при условии

3Ц112 ^ Ц1111Ц22.

Перейдем теперь к определению линейного приближения для коэффициента X ₄ . Продифференцируем тождество (4) по ξ₁ , по ξ₂ и по α . Тогда найдем

X4а = (^112pаp2 + И11аp2 + ^12аp2 )p1 + ^1аp12 + ^2аp12.

В формуле (27) нам известны уже все выражения, кроме р 1₂ . Для определения производной р \₂ вычислим в особой точке производные тождества (4) C (_{2 2}) и C (₄ 1) , решим систему уравнений и найдем р ^ и р ^ :

16 Выпуск 1/2019

В формулах (28)-(29) все величины известны, кроме p22. Для определения этой производной продифференцируем в особой точке тождество (4) три раза по ξ2. Из анализа C(о 3) находим p 22 = — (3Ц112 (p 2 ) + 3^122 p 2 p 2 + М- 222 (p 2 ) )• (30) 3ц22 х М

Перейдем теперь к определению функционального модуля a. Величина aF находится просто. Продифференцируем тождество (4) в особой точке два раза по ξ1 и один раз по ^2 (C(2 1)). Тогда получим, что aF = 2 М-112 (pl ) p 2. (31)

Коэффициент аа найдем из анализа C(2 1)а а а = 2 (( Р1 )2 (^1112 РаР 22 + Р 2 (^1111Ра +U111a) + U112 Р L + М112а Р2 ) +

^{+ 2 Р} 1 ( М 112 ^Р а ^Р 12 ⁺ М- 112 ^Р 1а ^Р 2 ⁺ М 11а ^Р 12 ⁺ М 12а ^Р 12 ) ⁺

⁺ Р 11 ( м- 112 Р а Р 2^{2 +}Н 11а Р 2 ⁺Н 12а Р 22 ) ⁺ М 1а Рт ⁺^ 2а Р 112 ) •            (32)

В формулу (32) входит производная p 2 _а , которую найдем из анализа производной ^C (0,2)а тождества ^(4):

p 2а = — 2 М Р "2" ( ^м 11а ( p 2 ) ⁺ М 122 p а ( p 2 ) ^{+ 2} p 2 p 2 ( ^M 112 p а ^+М 12а ) ⁺

⁺ И 1а p 22 ^+м 22а ( p 2 ) ^{+ М} 2а p 22 ) ^.                        (³³⁾

В выражения (32)-(33), помимо вычисленных выше, входят производные p 22 , p \₁₁2 , p 112 . Эти величины, а также p _u12 могут быть найдены как решения четырех уравнений C (1,3) , C (₃,₂) , C (5,1) , C (₄,₂) , найденных из тождества (4). К сожалению, явные выражения слишком громоздки и не могут быть приведены в данной работе.

Таким образом, в исследовании получены формулы, позволяющие рассчитывать в первом приближении параметры универсальной деформации волновой катастрофы типа K _4,2 , являющейся единой структурно-устойчивой дифракционной фокусировкой как краевых лучей, образующих каустическое острие A ₃ , так и геометрооптических луч _r ей, образующих каустическое острие A ₃ с краем. Коэффициенты, образующие вектор Х ( а ), вычислены в линейном приближении, фаза бегущей волны 0 ( а ) найдена во втором квадратичном приближении. Для функционального модуля a мы ограничились нулевым приближением и указали путь для явного вычисления линейного приближения.