Математическое моделирование процесса центробежного промывания осадка паром (на примере сахарного производства)

В настоящее время, как и в прошлом, производственники и ученые проявляют интерес к процессу промывания белого сахара паром. Что обусловлено преимуществом данного способа обработки перед способом промывания слоя кристаллов белого сахара водой, в частности, в отношении расхода воды, потерь от растворения сахара в воде и др. [1].

Хотя вопрос о промывании сахара паром поднимался в технической литературе, особенности механизма данного явления изучены еще недостаточно [2]. В то же время процесс промывания сахара-песка паром, подаваемым в рабочий объем ротора центрифуги под избыточным давлением, представляет собой известный практический и теоретический интерес. Поэтому провели исследование влияния данного кинетического фактора на эффективность промывания водяным паром кристаллов сахара. Причем, анализируя данное явление, приняли во внимание, что с позиций положений гидродинамики, водяной пар относят к жидкостным средам, и поэтому кинетика процесса промывания паром может быть исследована в рамках положений этой физической теории.

Постановка задачи

Имея в виду, что в химической технологии процесс промывания кристаллов сахарозы рассматривается как процесс, обратный кристаллизации, кинетику растворения исследовали аналогично анализу кинетики их роста. При этом в основу анализа положим ряд допущений, несильно искажающих протекание реального физического явления. Так, предположим, что процесс промывания сахара-песка является стационарным и изотермическим, паровой агент представляет собой вязкую несжимаемую жидкость невысокой плотности, кинетика растворения кристаллов сахарозы в данном агенте обусловливается диффузионным отводом растворенного вещества от поверхности кристалла в паровой поток. В свою очередь, учитывая, что слой из осевших в результате центрифугирования на стенке ротора кристаллов сахара упакован достаточно плотно, характер течения жидкости в поровом пространстве между кристаллами принимаем капиллярным и одномерным [3].

При этом, как часто поступают при количественном анализе аналогичных диффузионных задач, исследование явления парового промывания сахара как процесса конвективного переноса целевой субстанции (молекул сахарозы) от кристалла сахарозы в паровой поток будем проводить по двум этапам. Сначала исследуем кинетику парового потока, а затем – диффузионный перенос целевой субстанции в данный поток.

Решение задачи

Анализ кинетика парового потока. Предварительно, аналогично тому, как поступают в некоторых исследованиях [3], для того чтобы упростить количественный анализ процесса молекулярного переноса сахарозы от кристалла к жидкости, поровый объем (просветность) слоя сахара-песка заменяем, с сохранением значения порозности, совокупностью цилиндрических трубок (условно, капилляров) длиной h и приведенным радиусом r 0 .

Для выбранной таким образом геометрической модели пористого пространства введем обозначения: d – диаметр частицы сахарозы, В – поверхностная порозность среды ( В < 1), численно равная отношению объема заполняемых жидкостью пор к объему среды [4].

Поскольку объемная и поверхностная порозности рабочего объема количественно совпадают [4], то исходя из определения пористости, приближенно, может быть записано соотношение

π r 0 ² / В = π d ²/[4 (1 – В )], (1)

откуда вытекает зависимость r0 = 0,5 d[В/(1 – В)]1/2, (2) где, по умолчанию, r0 = r0 (d, В).

Таким образом проблема расчета поля концентрации сахарозы в жидкостном потоке сводится к количественному анализу объекта исследования – концентрации продукта – внутри изолированного капилляра. В рамках поставленной задачи предполагаем, что отношение толщины слоя кристаллов сахарозы ( R – R с ), где R с , R – радиус поверхности осадка и ротора центрифуги к радиусу ротора центрифуги является небольшой величиной, т. е. ( R – R с )/ R – невелико, и поэтому условие d <<  h выполняется, h = R – R с .

При расчете скорости фильтрации v жидкости (агента, парообразной среды), в пренебрежении проницаемости фильтрующей основы, пользуемся приближенной формулой [4–5]

v = kAP /(^R), где к = B3d2/[36(1 - B)2k], (3)

где κ – постоянная Дарси; B – пористость слоя сахара; d – условный диаметр кристалла сахарозы, выбираемого в виде частицы сферической формы; Δ Р – перепад давления; µ – коэффициент динамической вязкости пара; параметр k ≈ 5 [5].

Применительно к рассматриваемому типу капиллярного течения в условиях центробежной обработки продукта под избыточным давлением вследствие (2) скорость фильтрации v находим по зависимости v = к

0,5 pro² ( R² - R C ) ln( R / R_c ) + А Р,

/( p R ),

где к вычисляют по (3); p - плотность водяного пара; го - угловая скорость ротора центрифуги; А Р 1 - давление пара [1, 6].

Расчет процесса молекулярного переноса сахарозы в паровой поток. Если полагать, что кинетика процесса растворения сахарозы в паровом потоке обусловлена диффузионным осесимметричным массопереносом данного продукта, то в качестве основного дифференциального уравнения, описывающего это явление, выбираем уравнение стационарной конвективной диффузии в связанной с капилляром цилиндрической системе координат [7]:

б ( си ) _ ^ ^ б² c 1 б c б z ( б r ² r б r

где r, z – соответственно, радиальная и осевая координата ( R с <  z <  R ); с - объемная концентрация сахарозы в паровом потоке; u = v / B – осевая скорость движения жидкости в капилляре; v – скорость фильтрации (расходная скорость); В – порозность слоя сахара-песка.

Если с небольшой погрешностью скорость u жидкости полагать постоянной по величине, то тогда уравнение (5) в упрощенном виде принимает форму бс    ( б2 с 1 бс

— = а —- +-- б z     ( б r ² r б r

где а = D/u,                 (7)

где а - удельное значение коэффициента диффузии в долях, вычисляемой в соответствии с (4) осевой скорости u жидкости.

Граничное условие на входе в канал (капилляр) по значению концентрации сахарозы в паровом потоке с (r, z) = с о при 0 < r < rо, z = R с,(8)

где полагаем с 0 = 0.

Условие симметричности распределения концентрации по радиусу канала бс / бr = 0 при r = 0, Rс < z < R.(9)

Граничное условие по значению концентрации сахарозы в паровом агенте на стенке капилляра с (r, z) = сн при r = rо, ^о < z < R,(10)

где с н – объемная концентрация насыщенного раствора (СВ).

Согласно (6)–(10) в рамках принятой в теории теплопередачи терминологии [8] имеем задачу с граничными условиями первого рода для дифференциального уравнения (3).

С точки зрения количественного анализа теплового режима в стационарном потоке жидкости внутри капилляра рассматриваемая задача формально эквивалентна (при условии, что диаметр d к капилляра много меньше толщины h слоя сахара-песка) задаче о зависимости температуры от времени при неустановившемся режиме в неограниченном цилиндре. Причем в (6)–(10) роль времени протекания процесса теплопередачи играет осевая координата z .

Отсюда можем заключить, что решение задачи о неустановившемся режиме переноса теплоты в неограниченном цилиндре может быть адаптировано на краевую задачу (6)–(10) о распределении объемной концентрации сахарозы в конвективном потоке жидкости в капилляре и поэтому записано в виде зависимости [8]

n

^{А 2} c l Z J 0 ( ^v r / ^r 0 ) ^exp^{[ - v} F * ⁽ z ^)] c ( r , z ) =----^--------— ------------, (11)

^v i J 1 ^{( v} i )

где J 0 ( v ), J 1 ( v ) - соответственно, функция Бесселя первого рода вещественного аргумента нулевого и первого порядка; v - положительные корни уравнения J з ( v ) = 0, i = 1,2.. n ;

Fo * ( z ) = a z/r о ² (12) модифицированный критерий Фурье, а определяется по (7), r 0 – по (1).

Ниже обозначим Fo( z ) = Fo * ( z ).

Имея в виду, что передача сахарозы развивается от стенки капилляра к жидкости, согласно (11) и первому законом Фика поток концентрации q через стенку канала составляет [8]

n q = D— =--— Zexp[-v,Fo(z)]. (13)

^{б r} 0          ^r 0    i = 1

В свою очередь, значение данного кинетического фактора через элементарный кольцевой зазор на стенке капилляра определяется как dQ = (2n r о d z ) • q ,            (14)

где q рассчитывается по (13).

Поэтому расход (объем сахарозы, отводимой в единицу времени со стенки капилляра) с учетом (14) составит

^R                    2

Q = 2nr01 qdz = 4псиг0 x n 1 Rc                                             (15)

^x Z—{exp^{[ - v 2 Fo( R )]} - exp^{[ - v 2 Fo( R} c ^)]}.

.= 1 ^v i

Поскольку процесс промывания развивается в стационарном режиме, то масса Q 1 сахарозы, отводимой из сахара-песка в одном капилляре вместе с паровым агентом за период времени т вычисляется по зависимости

Q i = Q pt (16) где Q вычисляется согласно (15); р - плотность сахарозы.

Количество N моделирующих поровый зазор слоя (просветность в слое сахара-песка), очевидно, составляет

N = 4 В ( R ² – R с ²) Н/ ( d ² h ), (17) где В – порозность; R и R с – соответственно, радиус ротора и внутренний радиус осадка: Н – высота ротора; d и h – соответственно, диаметр и длина капилляра.

В таком случае масса сахарозы, отводимой из сахара-песка в роторе центрифуги вместе с паровым агентом за период времени т , вычисляется по формуле

М = Q 1 N , (18) где Q 1 определяется по (16); N – по (17).

Численный эксперимент

В качестве значений параметров процесса, характерных для центрифуги типа ФПН-1251 Л, принимали: <у = 150 рад/с; радиус ротора R = 0,625 м, высота ротора H = 1 м; радиус внутреннего слоя сахара-песка R с = 0,525 м.

Объектом исследования выбирался паровой агент плотностью р = 0,95 кг/м³ с коэффициентом динамической вязкости ц = 12^10^-6 м²/с и коэффициентом диффузии для системы «пар-сахар» D = 15·10 ^{- 10} м²/с, а также сахарный песок первой кристаллизации плотностью р = 1560 кг/м³ и размером кристаллов d = 0,8 мм.

Избыточное давление парового агента варьировали в области значений А Р 1 е [2.Л10⁵ Па], порозность слоя сахара-песка принимали как В = 0,35; 0,45.

В соответствии с параметрами процесса B = 0,35 и z = R = 0,625 м входящие в выражение числа Фурье коэффициенты приняли значения: а = 3,4- 10^-||м; r о = 2,04-10^-4 м и поэтому согласно (12) Fo = 2,46·10^-4.

Как видно, полученное значение числа Фурье незначительно по величине. Как показано расчетом, это приводит к медленной сходимости рядов (14), (16), что корреспондирует с аналогичной ситуацией и в теории теплопроводности [9–13].

Поэтому приходится пользоваться асимптотическим представлением решения (16), справедливым для малых значений числа Фурье [8].

А именно, будем приближенно полагать с = хР, • • erfc(^),(19)

где да erfc(5) = -= Jexp(5d^,(20)

ξ(r, z) = (1 – r/r0) / [2Fо(z)1/2]).(21)

Причем, в соответствии с (21) ξ( r 0 , z ) = 0, и так как Fo( z ) достаточно велико, то ^(0, z ) = [2Fо( z ) 1 ^/2]^-1 ~ да . В результате чего при расчетах пользуемся несобственным интегралом в форме (20).

В свою очередь, согласно (19)–(21)

- ¹ r ^-3/2 erfc ( 5 ) +

₊ X d [ erfc ( ^ )] 5 5

r/r    55    5 r

где

5 [ erfc ( 5 )]

= П %    d ⁵ =

-2 z exp _ r           (23)

V n

55          1

5r ~  2r VFg ’ и поэтому

5 [ erfc ( 5 )] 5 5 _ exp( - 5 ²)

5 5   'ar  r VFO • v n"

В результате чего на базе (22), (23) получим

⁵ с ₌ ¹  RTr ^exp^{(- 5 2)}

5 r  П\ r  r ₀VFo

- ¹ f exp( - 5 ²) d 5 ].  (24)

r 5

Подставляя в (24) значения r = r 0 , ξ = 0 и учитывая зависимость (12), будем иметь

5 с

5 r

r, 4П

VFg

да

- J exp( - 5 ²) d 5

V n • а • z   2 r ₀ ’

так как да                             /

J ^exp^{( - 5 2)} d ⁵ = ^-. 0                   ²

В таком случае, подставляя (25) в (13), находим q=D 5c- = D • (n-i

5 r ,     X да

- ^).

^{2 r} 0

В результате, исходя из (13), (26) будем иметь

R

Q = 2 n r ₀ J qdz

R c

= n D

( R - R c ) -

4( Jr - Rf) )ro --^-

Таким образом, расчетным аппаратом служили зависимости (16)–(18), где в качестве объема Q сахарозы, отводимой в единицу времени со стенки капилляра, использовалась формула (27).

В области варьирования реальных значений параметров процесса центробежной обработки паром слоя сахара-песка на базе зависимостей (16)–(18), (27) был реализован количественный анализ данного процесса.

Выводы

• 1 . Для обоснования структуры пористого слоя, имитирующего промываемой паром слой сахара-песка на стенке ротора фильтрующей