Математическое моделирование процессов взаимодействия функциональных и контаминирующих микроорганизмов в биотехнологической системе

В соответствии с законом Фика опишем уравнение для потока q х при изменении концен-

1. Целевая  функция  математической

модели имеет вид:

трации d р для р -го компонента ресурса: q х = – D ` grаd х d р = – D·∂d р /∂ X , где D ` – коэффициент смешивания.

q = q ( q \,- q s ,-, q s ) ^-———— opt, q ( n i )    ^- ,ф > ^max ,

С учетом уравнения непрерывности для концентрации U р получим:

∂ d р /∂ t = – div q х = div( D ` grаd х d р ).

В уравнении учитывалось изменение скорости концентрации р -го компонента ресурса в связи с уменьшением колонии микроорганизмов. Так как каждая популяция при своем развитии использует ресурс, то потребление ей р -го компонента ресурса представим в виде функции потребления Q р ( d р , t ). Эта функция зависит от скорости роста количества микроорганизмов μ, которое будет меняться во времени.

Рассмотрим некое максимальное значение для концентрации р -го компонента ресурса D ор = D о ( d р , X , Y , Z , t ). При достижении его дальнейший рост прекращается и вследствие нехватки ресурса популяции погибают. С другой стороны, будем считать, что при D р >  D ор , наоборот, биомасса популяции растет. Выбор порогового значения D ор на практике представляет собой сложную задачу ввиду наличия множества факторов, учесть которые можно только в результате эксперимента и с учетом особенностей рассматриваемой задачи.

На основании проведенных исследований можно сделать вывод о том, что математическое описание микробиологических процессов при производстве хлебобулочных изделий представляет собой систему двух дифференциальных уравнений. Она описывает процессы жизнедеятельности двух популяций с учетом двух начальных условий, характеризующих начальное количество микроорганизмов, а также задания пяти параметров модели: удельной скорости роста μ , смертности с , а также специального коэффициента α , описывающего их ресурсное взаимодействие между собой. При этом считаем, что К – общая биомасса среды, которая, в свою очередь, состоит из полезной и контаминирующей биомассы популяций, задается экономическим коэффициентом а , учитывающим долю потребляемого ресурса в производстве новой биомассы.

Будем оценивать качество готовой продукции вектором критериев эффективности Q = Q (q 1 …, q s ), s ϵ S в соответствии с принципом оптимальности по Парето.

Таким образом, предложим системную модель микробиологических изменений в процессе тестоведения в следующем виде.

q ( m j ) ^-    >^min ,

q ( K ) к ,ф > ^max -

2. Область поиска Ф задается следующими параметрическими и функциональными ограничениями:

N = n ( n ,... n ,..., n_{ ) , i = 1, I ,

M = m ( m ₁,... m _;,..., mj ) , j = 1, J ,

D = D ( d , ,... d p ,..., d_P ) , p = 1, P ,

d p = d ( d op , x , У , x , t ) , P = 1, P , t e T , d pL o= d op ( ^x , y , ^x ) , p ^e P , dd p = div ( D p ( d p ) grad d p ) + Q p ( d p , t ) , qua, j ^{Qp ( dp} , t > , D p >  D p, ^{Qp ( p} , )       _n в ,

[      0,         p      op

D op = D o ( d p , x , У , z , t ) , p ^e P , t ^e T ,

dD_p

—^p = D„ - a, up, - a m, n ,, dt         ^p       i i i      j j j j

dn,         u n 2       nmi

— = M i n i--- U i a i —-- c i n i ,

at          n          n

m          m

dm,          и, m 2        nm.

^u j ^m j           ^ua j        c j n j

at         m        ш

m              jm

• 1    dK - r    K²    f

= u K   u      cK ,

K dt        K_m

K = n + m,,ii e I , j e J , t e T , ij

nV = 0 = n oi ( x , У , x ) , m j L = m oj (x , У , x ) , n \ =n       =m ,K\ = К ,

i I t = T             , *j|, = t         *jm ,     I t = t          m ,

[ n i , D p > D op       [ m j , D p > D op

• n. =                   , m. =     j              ,

i   [ 0, D p <  D op ’ j   [ 0, D p <  D op ^,

a , > 0, a _; >  0, и >  0, u ^ 0, a ^ o, a ^ 0, Ci >  0, C j > 0,

где Т – интервал времени; n im , m jm – максимальные значения мощности популяций; K m – максимальное значение мощности прироста биомассы.

Представленная системная модель позволяет продолжить исследование поставленных в работе вопросов путем дальнейшего изучения ее компонентов.