Математическое моделирование распространения радиоволн в нестационарной плазме с учетом кривизны поверхности Земли и ионосферных слоев

Настоящая работа посвящена распространению радиоволн декаметрового диапазона в ионосфере Земли. В отличие от [1–11], в данной работе учтена кривизна поверхности Земли и ионосферных слоев. Рассмотрена нестационарная модель однослоевой ионосферы, в которой предусматривается образование за очень короткое время (несколько долей секунды) дополнительного спорадического слоя:

N ( г ) = N 0 <  exp

+ p t exp

где N ₀ – электронная концентрация в максимуме слоя F2 в начальный момент времени, z ₀₁ – высота максимума слоя F2 над поверхностью Земли, z_m – условная полутолщина слоя F2, β – коэффициент, характеризующий скорость ионизации спорадического слоя, z ₀₂ – высота максимума спорадического слоя, z_m – условная полутолщина спорадического слоя, R_z – радиус Земли. В данной работе рассматривается распространение радиоволн в сферической системе координат, связанной с декартовой соотношениями:

x = r sin 9 cos ф

< y = r sin ^ sin ф . z = rcos 9

Здесь и декартовая, и сферическая системы координат привязаны к центру Земли. В формулах (2) r – расстояние от центра Земли до точки наблюдения, ф - долгота, а 9 = -9 _s + п / 2, где 9 _s -широта (знак «+» – северная, знак «–» – южная). При выполнении расчетов предполагалось, что: N 0 = 2 10 6 см ^{- 3} , z m = 100 км, z ₀₁ = 300 км, z m = 10 км, z ₀₂ = 200 км, R_z = 6378 км, в = 100.

Известно (см., например, [1; 7–11]), что эффективная диэлектрическая проницаемость в анизотропной плазме имеет вид:

^е ± = ^{1 -}

2 v (1 - v )

2(1 - v ) - u sin² a ± Au ² sin⁴ a + 4 u (1 - v )² cos² a

, (3)

где знак «+» соответствует обыкновенной волне, а знак « - » - необыкновенной. В формуле (3) введены обозначения:

4 п е ² N ( r ) m e m²

- величина, пропорциональная квадрату плаз- менной частоты, и u=

- величина, пропорциональная квадрату гирочастоты. В выражениях (4) и (5) го = 2 nf - круговая частота, с = 2,997925 10 ¹⁰ см/с – скорость света, e = 4,8029 10 ^-10 СГСЭ – заряд электрона, m_e = 9,108 10 ^–28 г – масса электрона, Н – величина магнитного поля Земли.

Входящий в формулу (3) угол а между внешним магнитным полем Земли H и волновым

—►

вектором k определяется как

cos ² a =

( H x k x + H y k y + H z k z ) ²

H ² k ²

Собственно знание величины угла излишне. Для формулы (3) достаточно знать квадрат косинуса этого угла. В настоящей работе предполагалось, что амплитуда магнитного поля постоянная (Н = 0,36 Э), а ориентация напряжённости магнитного поля относительно локальной системы координат задается двумя постоянными углами γ и ψ:

H_x = H cos у cos ^ ,       H y = H cos y svn v ,

H z = H sin у .                               (7)

При вычислениях предполагалось, что

Y = 45 ° , у = 90 ° .

Известно (см., например, [6]; также [2–5]), что для построения лучевых траекторий в про- извольной ортогональной системе координат бихарактеристическая система уравнений с гамильтонианом [12]:

3 p ² _m ²

^r= E j f —г ^{е (} t^{, m} , ^q , p )             ⁽⁸⁾

j=1 h,     c имеет вид:

dr = дГ dp = -дГ dm = дГ dt =-дГ dr d к , dr 9 r , dr 9 t ’ dr 9 m ’ где p = (p1, p2, p3) - обобщенный волновой вектор, t[ = (q1, q2, q3) - обобщенные координаты, h1, h2, h3 – коэффициенты Ламе. Поделив уравнения системы (9) на последнее уравнение, получим бихарактеристическую систему d

dm _ дГ / d t _ D dt ~ дГ / d m ” ’

параметром вдоль траектории, у которой является групповое время t. Если от обобщенного волнового вектора p перейти к волновому вектору k в криволинейной системе координат [12]

p kj= Т-(11)

hj и подставить (11) в (10), то получим:

dq л dkj   1 Lд

= A, j =     Bj к, > Aij dt dt hA       и ji j = 1, 2, 3; dm = D.(12)

dt

ВЕСТНИК 2016

В сферической системе координат (2) q₁ = r, q₂ = θ, q₃ = φ, k₁ = k_r, k₂ = k_θ, k₃ = k_φ, а коэффициенты Ламе имеют вид:

h₁ = h_r = 1, h₂ = h_θ = r, h₃ = h_φ = r sinθ. (13)

Учитывая (13), дифференциальные уравнения для определения компонент волнового вектора несколько упрощаются:

dk; = B1, d9 =¹ (B2 - k9Aj, dt dt r

—- = —(S₃ - k (A_x sin9 + A₂r cos#)).  ⁽¹⁴⁾

dt   r sinθ^{3ϕ 1         2}

Для определения лучевых траекторий в сферической системе координат необходимо дополнить бихарактеристическую систему (12) начальными условиями:

ВЕСТНИК 2016

r(0)=Rz,        θ(0)=^π₂-θ_s0,       ϕ(0)=ϕ0,

ω(0) = f0/(2π), kr (0) = ω ε0 cosζcosη, c kθ(0) = ω ε0 sinζcosη, c

ω kϕ(0) = c ε0 sinη.                           (15)

В расчетах предполагалось, что η = 0, ε₀ = 1, φ₀ = 1 рад = 57,3 град, θ_s0= 0, f₀= 13,75 МГц, угол ζ меняется в диапазоне от -89 до 89 градусов. Для вычисления угла α по формуле (6) необходимо знать компоненты вектора k в декартовой системе координат. Их можно найти по формулам:

k_x=k_rsinθcosϕ+k_θcosθcosϕ-k_ϕsinϕ, k_y=k_rsinθsinϕ+k_θcosθsinϕ-k_ϕcosϕ, k_z = k_rcosθ- k_θsinθ.                    (16)

Рассмотрим результаты численного моделирования. На рис. 1а и 1б представлено лучевое распространение в плоскости (r, φ), то есть в плоскости, перпендикулярной первоначальному направлению распространения радиоволны. Рис. 1а иллюстрирует лучевое распространение обыкновенной волны, рис. 1б – необыкновенной.

57          57 1         57 2         573         574         57 5         57 6

Рис. 1а

57          57 1         57 2         57,3         57 4         57,5         576

Рис. 1б

Лучевая структура в плоскости (r, φ); рис. 1а – обыкновенная волна; рис. 1б – необыкновенная волна

Хорошо видно, что часть лучевых траекторий проходит ионосферный слой, а другая часть отражается и возвращается на Землю. Некоторая часть лучевых траекторий распространяется в волноводе, возникающем между спорадическим и основным ионосферными слоями. Сравнивая рис. 1а и рис. 1б, находим, что рис. 1б является как бы зеркальным отображением рис. 1а относительно вертикальной оси, но более компактным. Кроме того, интенсивность излучения в межслоевом волноводе в случае обыкновенной волны значительно выше.

На рис. 2а и 2б показано распространение в плоскости (θ, φ), то есть в координатах «широта – долгота». (Относительно широты угол θ сдвинут на 90 градусов.)

Рис. 2а

Рис. 2б

Лучевая структура в плоскости (θ, φ); рис. 2а – обыкновенная волна; рис. 2б – необыкновенная волна

Это как бы взгляд на лучевые траектории сверху. Как и в предыдущем случае, рис. 2а описывает распространение обыкновенной волны, рис. 2б – необыкновенной. Под действием магнитного поля Земли (внешнего по отношению к источнику излучения) лучевые траектории покидают плоскость первоначального распространения. Если они проходят ионосферу насквозь, то их суммарное отклонение стабилизируется. Если лучи отражаются от ионосферы, то после отражения они стремятся вернуться в плоскость первоначального распространения. Особняком стоят лучи, распространяющиеся в волновом канале. На рис. 2а и 2б – это косые линии. Боковое отклонение таких лучей непрерывно увеличивается при прохождении волнового канала. Сопоставляя рис. 2а и 2б, видим, что рис. 2б является как бы компактным отражением рис. 2а относительно горизонтальной оси.

На рис. 3а и 3б представлены проекции лучевых траекторий в плоскости (r, θ), то есть в пло- скости первоначального распространения.

Лучевая структура в плоскости (r, θ); рис. 3а – обыкновенная волна; рис. 3б – необыкновенная волна

Рис. 3а описывает распространение обыкновенной волны, а рис. 3б – необыкновенной. В этой плоскости лучи образуют по два каустических острия (слева справа относительно источника излучения). Одно выше, а другое ниже волнового канала. Видно, что область многолучевости на поверхности Земли имеет ограниченный размер, область радиосвязи, образовавшаяся благодаря отражению от ионосферы, охватывает зона по 30 градусов. Хорошо видно распространение волны в ионосферном канале.

На рис. 4а и 4б показаны проекции бихарактеристик в плоскости (k_r, θ). Рис. 4а соответствует обыкновенной волне, а рис. 4б – необыкновенной.

Рис. 4а

Рис. 4б

Лучевая структура в плоскости (k_r, θ); рис. 4а – обыкновенная волна; рис. 4б – необыкновенная волна

На рисунках можно выделить три группы кривых:

• 1)    линии, поднимающиеся вверх с небольшим отклонением от вертикали, имеющие излом и образующие «шапочку» рисунка, соответствуют лучам, проходящим ионосферный слой;

• 2)    линии, образующие пирамиду, соответствуют отраженным от ионосферы лучам;

• 3)    осциллирующие кривые соответствуют волнам, распространяющимся в волноводе.

Как обычно, рисунок, соответствующий обыкновенной волне, выглядит компактнее.

ВЕСТНИК 2016

Рис. 5а

Рис. 5б

Зависимость частоты сигнала fω от угла θ; рис. 5а – обыкновенная волна;

рис. 5б – необыкновенная волна

ВЕСТНИК 2016

На рис. 5а и 5б показана зависимость частоты сигнала вдоль лучей от угла θ. Рис. 5а соответствует обыкновенной волне, а рис. 5б соответствует необыкновенной волне.

Для проходящих лучей изменение частоты распространения происходит на очень небольшом участке, соответствующем спорадическому слою, который образуется, в силу модели, очень быстро. На рисунках – это горизонтальные линии, отделяющиеся от общей образующей. Отраженные лучи заполняют нижнюю часть рисунков, а левую и правую ветви формируют лучи, распространяющиеся в волноводе.

На рис. 6а и 6б приведена зависимость частоты сигнала fω от группового времени t. Рис. 6а соответствует обыкновенной волне, а рис. 6б – необыкновенной. В значительной степени рис. 6 повторяют правые половины рис. 5. Отметим, что наибольшие временные задержки при одной и той же дальности распространения характерны для сигналов, распространяющихся в ионосферном волноводе.

Рис. 6а

Рис. 6б

Зависимость частоты сигнала fω от группового времени t; рис. 6а – обыкновенная волна;

рис. 6б – необыкновенная волна

В заключение приведем рис. 7 и 8, на которых изображены лучевые траектории в декартовой системе координат в соответствии с формулами 2.

Рис. 7

Лучевая структура в плоскости (x, z); обыкновенная волна; серый цвет – поверхность Земли

Рис. 8

Лучевая структура в плоскости (x, z); фрагмент рис. 7; серый цвет – поверхность Земли

Рис. 7 иллюстрирует общее положение источника излучения на поверхности Земли (экваторе), а рис. 8 показывает ход лучевых траекторий в плоскости (x, z) более детально.

Таким образом, в работе рассмотрены особенности распространения электромагнитного излучения в неоднородной, анизотропной, нестационарной ионосферной плазме при условии образования спорадического волнового возмущения. Расчеты проведены как в случае обыкновенной волны, так и для необыкновенной волны. При изучении лучевой структуры нами применялась бихарактеристическая система дифференциальных уравнений в сферических координатах, неизвестным в которой являлись сферические координаты луча, компоненты волнового вектора, а также частота (меняющаяся в условиях нестационарности среды распространения) и групповое время.