Математическое моделирование сжимаемых одномерных течений с помощью полулагранжевого численного метода Годунова без вычислительной вязкости для ударных волн
Автор: Никонов В.В.
Журнал: Известия Самарского научного центра Российской академии наук @izvestiya-ssc
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 3 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
Одним из наиболее важных и сложных эффектов при моделировании течения сжимаемой жидкости является механизм распознавания ударных волн. Было предложено множество методов типа Эйлера с высоким разрешением для точного разрешения масштабов плавного потока и одновременного выявления разрывов. Одним из недостатков этих методов является численная вязкость на ударных волнах. При проходе ударной волны параметры потока резко изменяются на расстоянии, равном длине свободного пробега молекулы газа, что значительно меньше размера ячейки расчетной сетки. Из-за численной вязкости вышеупомянутые методы типа Эйлера растягивают изменение параметров ударной волны на несколько ячеек сетки. В данной работе предлагается полулагранжев метод Годунова без численной вязкости для ударных волн. Другой хорошо известный подход - это метод характеристик, который не имеет числовой вязкости и использует инварианты Римана или решатели для моделирования явления гидроудара, но в его формулировке обычно пренебрегают конвективными членами. Здесь используется аналогичный подход для решения одномерных уравнений Эйлера, но уравнения разбиваются на части, описывающие конвекцию и акустические процессы отдельно, с соответствующими разными шагами по времени. При этом дополнительно используется итерационный точный решатель Годунова, поскольку инварианты Римана не сохраняются для умеренных и сильных скачков в идеальном газе. Предлагаемый метод относится к группе методов частиц в ячейке - particle-in-cell (PIC). Насколько известно автору, на момент выхода его первой статьи в 2011 г., посвященной данному методу, подобных численных схем PIC, использующих итерационный точный решатель Годунова, не существовало. В ударных волнах для предложенного метода свойства течения изменяются мгновенно (с точностью, зависящей от размера ячейки сетки). В данной статье описано дальнейшее развитие численной схемы предложенного метода, а именно единая математическая формулировка для расширенного набора тестовых задач, рассмотренных во второй статье автора от 2022 г. В то время, как в статье 2022 г. использовался линейный закон распределения параметров течения для волны разрежения при моделировании задачи Шу и Ошера для снижения паразитных колебаний и нелинейный закон, полученный из инвариантов Римана, для остальных тестовых задач. Полученные результаты численного анализа для данных случаев (например, стандартная задача Сода об ударной трубе, задача Лакса в формулировке Римана, задача Шу и Ошера об ударной трубе) сравниваются с точным решением и данными статьи от 2022 г. Итерационный точный решатель Годунова определяет точность предлагаемого метода для разрывов потока. В расчетах использовалось условие завершения итерации менее 10-5 для нахождения разницы давлений между текущей и предыдущей итерациями.
Газ, ударная волна, задача римана, метод годунова, подход лагранжа, численная вязкость
Короткий адрес: https://sciup.org/148329372
IDR: 148329372 | УДК: 532.59 | DOI: 10.37313/1990-5378-2024-26-3-147-163
Mathematical modeling of compressible one-dimensional flows using the semi-Lagrangian numerical Godunov method without computational viscosity for shock waves
One of the most important and complex effects in compressible fluid flow simulation is a shock-capturing mechanism. Numerous high-resolution Euler-type methods have been proposed to resolve smooth flow scales accurately and to capture the discontinuities simultaneously. One of the disadvantages of these methods is a numerical viscosity for shocks. In the shock, the flow parameters change abruptly at a distance equal to the mean free path of a gas molecule, which is much smaller than the cell size of the computational grid. Due to the numerical viscosity, the aforementioned Euler-type methods stretch the parameter change in the shock over few grid cells. We introduce a semi-Lagrangian Godunov-type method without numerical viscosity for shocks. Another well-known approach is a method of characteristics that has no numerical viscosity and uses the Riemann invariants or solvers for water hammer phenomenon modeling, but in its formulation the convective terms are typically neglected. We use a similar approach to solve the one-dimensional adiabatic gas dynamics equations, but we split the equations into parts describing convection and acoustic processes separately, with corresponding different time steps. When we are looking for the solution to the one-dimensional problem of the scalar hyperbolic conservation law by the proposed method, we additionally use the iterative Godunov exact solver, because the Riemann invariants are non-conserved for moderate and strong shocks in an ideal gas. In the shock for the proposed method, the flow properties change instantaneously (with an accuracy dependent on the grid cell size). The proposed method belongs to a group of particle-in-cell (PIC) methods. To the best of the author’s knowledge, there were no similar PIC numerical schemes utilizing the Riemann invariants or the iterative Godunov exact solver prior to 2011 (as described in the first author’s publication detailing the numerical method). This article delineates the further advancement of the numerical scheme of the proposed method, specifically presenting a unified mathematical formulation for an expanded set of test problems as outlined in the author’s second article from 2022. In the 2022 article, a linear law of distribution of flow parameters was employed for a rarefaction wave when modeling the Shu-Osher problem, aimed at reducing parasitic oscillations. Additionally, a nonlinear law derived from Riemann invariants was utilized for the remaining test problems. The obtained results of numerical analysis for these cases, including the standard shock-tube problem of Sod, the Riemann problem of Lax, and the Shu-Osher shock-tube problem, are compared with both the exact solution and the data presented in the 2022 paper. The iterative Godunov exact solver determines the accuracy of the proposed method for flow discontinuities. In calculations, we use the iteration termination condition less than 10-5 to find the pressure difference between the current and previous iterations.
Список литературы Математическое моделирование сжимаемых одномерных течений с помощью полулагранжевого численного метода Годунова без вычислительной вязкости для ударных волн
- von Neumann, J., Richtmyer, R.D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phys. v. 21. 1950. P. 232.
- Jameson, A. Analysis and design of numerical schemes for gas dynamics, 1: Artifi cial diffusion, upwind biasing, limiters and their effect on accuracy and multigrid convergence // Int. J. Comput. Fluid Dyn. v. 4. 1994. P. 171–218.
- Harten, A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. of Comp. Phys. v. 49. 1983. P. 357-393.
- Harten, A., Engquist, B., Osher, S., Chakravarthy, S.R. Uniform high order accurate essentially non-oscillatory schemes, III // J. Comput. Phys. v. 71. 1987. P. 231–303.
- Liu, X.D., Osher, S., Chan, T. Weighted essentially non-oscillatory schemes. // J. Comput. Phys. v. 115. 1994. P. 200–212.
- Harten, A. ENO schemes with subcell resolution // J. Comput. Phys. v. 83. 1987, P. 148–184.
- Harten, A., Osher, S. Uniformly high order essentially non-oscillatory schemes I // SIAM J. Numer. Anal. v. 24. 1987 P. 279–309.
- Harten, A., Osher, S., Engquist, B., Chakravarthy,
- S. Some results on uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes // Appl. Numer. Math. v. 2. 1986. P. 347–377.
- Shu, C.-W., Osher, S. Effi cient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes // J. Comput. Phys. v. 77. 1988. P. 439–471.
- Shu, C.-W., Osher, S. Effi cient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes II // J. Comput. Phys. v. 83. 1989. P. 32–78.
- Jiang, G.-S., Shu, C.-W. Effi cient implementation of Weighted ENO schemes // J. Comput. Phys. v. 126. 1996. P. 202–228.
- Pawar, S., San, O. CFD Julia: A Learning Module Structuring an Introductory Course on ComputationalFluid Dynamics // Fluids. v. 4. 2019. P. 159. https:// doi.org/10.3390/fl uids4030159.
- Roe, P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. of Comp. Phys. v. 135. 1997. P. 250-258.
- Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. – М.: Наука, 1976. – 400 с.
- Le Veque, R.J. Balancing source terms and fl ux gradients on high-resolution Godunov methods: The quasi-steady wave-propagation algorithm // J. Comput. Phys. v. 146. 1998. P. 346–365.
- Einfeldt, B. On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM J. Numer. Anal. v. 25. 1988. P. 294–318.
- Wu, Y.Y., Cheung, K.F. Explicit solution to the exact Riemann problem and application in nonlinear shallow-water equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. v. 57. 2008. P. 1649–1668. doi:10.1002/fl d.1696.
- Saba Basiri, Seyyed Mohammad Ghoreishi, Jaber Safdari, Sadegh Yousefi -Nasab, Three-dimensional simulation of gas fl ow for predicting the pressure and velocity profi les inside a gas centrifuge machine using the DSMC method // Vacuum. v. 219. Part A. 2024. P. 112664, ISSN 0042-207X, https://doi.org/10.1016/j.vacuum.2023.112664.
- Никонов, В.В. Применение подхода Лагранжа к решению одномерной задачи распространения ударных волн в газе / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Известия Самарского научного центра РАН. – 2011. – Т. 13. – № 6. – С. 136-141.
- Nikonov, V. A Semi-Lagrangian Godunov-Type Method without Numerical Viscosity for Shocks // Fluids. v. 7. 2022. P. 16. https://doi.org/10.3390/fl uids7010016
- Taylor, E.M., Wu, M., Martin, M.P. Optimization of Nonlinear Error for Weighted Essentially Non- Oscillatory Methods in Direct Numerical Simulations of Compressible Turbulence. // J. Comput. Phys. v. 223. 2007. P. 384-397.
- Sod, G.A. A survey of several fi nite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. v. 107. 1978. P. 1–31.
- Lax, P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Commun. Pure Appl. Math. v. 7. 1954. P. 159–193.
