Математическое моделирование тепловых потоков космического аппарата

Q 'F , где FJ-площадь миделя по направлению солнечной радиации.

Задача определения величины солнечного теплового потока может быть решена аналитически, графически или численно. В случае невыпуклой геометрии КА расчет площадей миделя, от которого целиком зависит нахождение потока солнечного излучения, представляет собой весьма трудоемкую задачу. Построение математической модели для определения потоков от планеты сложнее, чем для прямой солнечной радиации, поскольку при околопланетных полетах нельзя пренебрегать угловыми размерами планеты. В общем случае элементарным поток, поступающий от излучающей площадки dFE на площадку dF, рассчитывается по выражению d2Q = IdFEcos уEdtoE, где I- интенсивность излучения; уE - угол между нормалью Ne к излучающей площадке и направлением на центр площадки dF; dtoE - элементарный телесный угол, в котором видна площадка dF из центра dFE.

С учетом выражения для элементарного телесного угла 1

dtoE=-у cosydF, где г - расстояние между центрами площадок; у - угол между и направлением на центр площадки dFE, d2 Q = I —у cos ycos у,dFdFE.

Если ввести элементарный телесный угол, в пределах которого видна площадка dFE из центра площадки dF, dto = — cos уEdFE , r2

Q = J dF П j Е о

cos у + |cos у|

d to .

F О

В этой формуле учтена возможность самозатенения

П воспринимающей площадки, когда у = —, однако не принимаются во внимание затенения от других участков поверхности КА. Альбедо планеты считается постоянным и равным своему среднему значению. Плотность отраженного планетой солнечного излучения полагается пропорциональной плотности падающей радиации:

к 0ТР

^Е о  = a cp ^S e

cos у _п + |cos у _п|

,

где у _п - угол между нормалью к отражающему элементу и направлением на Солнце.

Плотность собственного излучения Земли в общем виде записывается по выражению р отр _ 1 - Acp о

^Е о =    4 ^S e .

Таким образом, тепловые потоки собственного Q _E и отраженного Q _r планетой солнечного излучения имеют вид

1 ^cos у _п + |cos у _п\ d и

F

О

,

тогда

d ² Q = I cosy d to dF .

При использовании диффузной модели, основанной на законе Ламберта, интенсивность излучения не зависит от направления и связана с интегральной плотностью полусферического излучения Е _о следующим образом:

I = ¹ Е о .

П

Тепловой поток Q получится как результат интегрирования выражения (1) в пределах телесного угла обзора планеты О, а также по поверхности участка KAF :

^q _r J ^dFA cp S e F

1 cosy _п + cos у _п | cos у _п + |cos у _п| п ^J

О

d и.

Внутренние интегралы являются чисто геометрическими характеристиками. Выражение

Ф 1 = - J n

cos у + |cos у|

d m

О совпадает с локальным углом - коэффициентом для элемента поверхности КА. По аналогии вводится и комбинированный локальный угловой коэффициент

Ф 2 * ^

cos у _n + |l

|cos у _я | cos у + |cos

.

to

Таким образом, математические модели лучистых диффузионных потоков от планеты на незатененные участки КА могут быть представлены в виде

Q _e - J c - Ф - ^dF ,

Q r ^- ^ cp S _Q J ф 2 ^dF .

F

Для углового коэффициента ф ₁ существует аналитическое выражение, устанавливающее его зависимость от ориентации воспринимающей площадки dF и высоты КА от поверхности планеты [1; 2].

Аналитическая зависимость для ф ₂ в общем случае отсутствует. Еще необходимо отметить, что диффузная модель описывает процесс отражения приближенно, так как при больших углах падения характер отражения бли-

же к зеркальному В этом случае отраженное излучение можно считать пучком параллельных лучей и пользоваться при расчете 6 _r однородной моделью, которая аналогична модели, принятой для потока прямого солнечного излучения:

ЙЗЕРК          R r = acpSеFMk ,

где FM - площадь миделя участка поверхности КА, вычисленного по направлению распространения зеркального отражения; к- коэффициент рассеяния однородного потока лучистой энергии при зеркальном отражении от сферической поверхности, который рассчитывается по формуле bo sin2p

k =

2sinуS [2cos(2p — уS)—bo cosр], где bo =

—R—; здесь R - радиус Земли, Н - высота над R + H поверхностью Земли. Углы в и у$ связаны уравнением bo sin Р = sin(2p — у s), решать которое относительно в при известном значении Ys можно лишь численно.

Исследование применимости диффузной и зеркальной моделей для определения потоков солнечной радиации, отраженной поверхностью планеты, показали, что областью эффективного использования зеркальной модели отражения является диапазон углов у _$ ⁼ 60...70. Таким образом, моделирование внешних источников тепла для КА, совершающего полет по околопланетной орбите, может быть выполнено на основе двух математических моделей: диффузной и однородной.

Поток прямого солнечного излучения б _е дописывается с помощью однородной модели, поток собственного излучения планеты б _Е - диффузной, а для потока отраженного планетой солнечного излучения 6 _r требуется построение комбинированной модели. Коэффициент поглощения поверхности элемента КА зависит от спектрального состава падающего излучения. Тогда поглощенный тепловой поток для плоского элемента незатененной поверхности может быть определен следующим образом:

б погл ^- ^ е ( б е + б . ) + < ^, где б _е , 6 _R , б _Е определяются по формулам (2), (3), (4). В результате имеем

X

- A е S е F M + A cp S е

I

^б ПО1Л

F

F _)

Расчет внешнего теплообмена . Взаимные затенения различных элементов поверхности, которые следует учитывать при анализе теплообмена современных КА сложной формы, затрудняют проведение аналитических расчетов и приводят к необходимости создания новых методов решения задачи, основанных на использовании ЭВМ.

В настоящее время разрабатывается проекционый подход к решению задач теплообмена КА [62]. Указанный подход позволяет свести нахождение всех видов тепловых потоков, падающих на поверхность КА произвольной конфигурации, к определению совокупности характерных площадей проекции его участков, т. е. к решению чисто геометрических задач.

Вычислить величину потока прямого солнечного излучения можно численным методом расчета площадей миделя участков поверхности КА с учетом взаимных затенений. Метод основан на моделировании падающего однородного потока с помощью однородного пучка параллельных лучей, исходящих из узлов равномерной прямоугольной сетки с шагом h, расположенной на плоскости (плоскость миделя) перпендикулярно распространению солнечных лучей:

F m = n • h 2, где п - число точек, узлов; h - шаг сетки.

Этот метод может быть успешно применен для расчета потоков прямого излучения Солнца и потока отраженного планетой солнечного излучения в рамках зер-

I -

I -

кальной модели отражения. Численный расчет диффузных потоков лучистой энергии связан с необходимостью предварительных преобразований, приведенных выше.

Для осуществления учета возможных затенений различных частей конструкции КА (включая и самозатене-ние участков), вводят функцию затенения о _э , которая определяется на множестве пар точек, одна из которых принадлежит видимой с КА части поверхности планеты, а другая - рассматриваемому участку аппарата:

° э

1 — при наличии прямой видимости между парой точек;

0 — при затенении .

Тогда, после изменения порядка интегрирования в (2), получим:

Q = — J E_od m J o _э cos у dF .

^Л О F

Внутренний интеграл представляет собой площадь миделя F M участка F по направлению от элемента поверхности планеты с учетом затенений другими участками КА:

Q =- E o F M d ш .

л

О

Для потока собственного излучения планеты с учетом выражения (3)

^qe = ¹ k ^FM^{d ш} .

л о

Если разбить видимую часть поверхности планеты на зоны F M ( / =1,2, ..,т ), которым соответствуют телесные углы щ, составляющие в сумме телесный угол обзора планеты О, то интеграл (2) заменится суммой интегралов:

Q e = 1 XJ C i F Mi d ™ .

О i

Допустим, что зоны разбиения выбраны настолько малыми, что при интегрировании в пределах каждый из них с достаточной степенью точности можно заменить величины у _п и F M постоянными значениями, вычисленными для центров зон у _п . и F M . После вынесения постоянных за знак интеграла получим

1m qe =”Х с! FM dш

Л

I =1         о или, выполнив интегрирование,

Q e - - X с 1 O . F M¹.

л

Аналогично может быть получена приближенная формула для нахождения диффузного потока отражен- ного планетой солнечного излучения, падающего на участок КА произвольной конфигурации:

1    cos ш„, + Icos ш

Qr = Ac-pSo                 ^ FE

R Lr O п ^^       2          i M .

Таким образом, вычисление внешних тепловых потоков, падающих на поверхность КА, с учетом затенения в рамках диффузной модели удается свести к расчету набора площадей миделя участков его конструкции по совокупности направлении от центров зон, на которые разбивается поверхность планеты. Эта задача может быть решена с помощью изложенного выше метода определения площадей миделя. В результате исследования различных способов разделения поверхности планеты, а также решения задачи оптимизации разработана методика определения оптимальных параметров разбиения. Оптимизация проводится на основе среднеквадратической интегральной оценки локального углового коэффициента для элементарной площадки dF , имеющей переменную ориентацию относительно поверхности планеты:

S =

» о + ^П

| ( ф 1 -Ф 1 ) ² d Ф .

л

* о ⁺ 2

Локальный угловой коэффициент ф1 является известной Функцией угла у между вертикальным направлением и нормалью N к площадке dF, величина которого изменяется от 0 до ^о +п) (ио - 1/2) плоского угла обзора планеты. Приближенное значение локального углового коэффициента Ф1, при выбранном способе разбиения зависит не только от угла у, но и от азимутного угла а, задающего ориентацию нормали N к площадке, а также от параметров разбиения: границ поясов ир и2, и3,.., ик+1 углов, характеризующих широтное расположение центров зон т 1, т2, .., тп, количество зон т 1, т2, .., т в каждом поясе и относительных долготных сдвигов поясов/^ /2,.., lk(/1 = /2= 0), если их общее число к> 2. ВеличинаФ1 может быть вычислена по формуле

1        cos(М Ру)+|cos(^iPij )| ф|- Л уу-------2-------!

Чэ

где рi - единичный вектор, направленный из центра элементарной площадки в центр./'-зоны i-пояса, координаты которого зависят от параметров разбиения; Q. - телесный угол в пределах которого видна зона, принадлежащая 1-му поясу, гл   4й I

Q =—I sin

¹ mi I

^ i + 1

- sin²

_ Интегральная оценка зависит от тех же величин, что и Ф 1 , за исключением у:

S = S ( a, P ) .

Вектор P объединяет все параметры, задававшиеся при членении поверхности на зоны. Азимутальный угол ориентации воспринимающей площадки а, величина которого также определяется интегральной оценкой 5, является случайной величиной, распределение которой зависит от конкретной конфигурации поверхности участка КА и в общем случае неизвестно. Поэтому задача оптимизации формулируется следующим образом: требует ся выбрать вектор параметров разделения P , минимизирующий оценку 5 в условиях неопределенного изменения значения а.

При использовании минимальной стратегии решение указанной задачи сводится к отысканию вектора Р , обеспечивающего значение интегральной оценки

S O = min ■ maxS ( a, P ) .

P a .

Внутренний теплообмен. При анализе теплообмена в отсеке КА в общем случае объектом является весь комплекс тепловых взаимосвязей оборудования, энергетических устройств и аппаратуры, устанавливаемый на борту, как между собой, так и с внутренней газовой средой, с его оболочкой и другими конструктивными элементами.

Среди процессов теплообмена, происходящих в отсеках КА, одинаково важны кондуктивный, конвективный и лучистый теплообмены. В общем случае следует отметить следующее. Если степень черноты внутренней поверхности корпуса и поверхности аппаратуры, размещаемой в отсеке, велика, то коэффициент теплоотдачи излучения может в некоторых случаях составлять a = 3...5 Вт/м ² , что соизмеримо с коэффициентом конвективного теплообмена между циркулирующим газом и внутренними элементами отсека, а иногда и больше него [2].

Следует также отметить, что значительное влияние на теплообмен внутри герметичного отсека КА оказывает отсутствие естественной конвекции в условиях невесомости. В герметичном отсеке КА существует только вынужденная конвекция, т. е. перемещение газовой среды происходит под действием вентилятора. Величины тепловых потоков, выделяемых агрегатами и энергоустановками, находящимися в отсеках КА, определяются в каждом конкретном случае и зависят от их мощности, особенностей конструкции, типа, состава, расположения. Одним из основных потребителей энергии на борту непилотируемых КА являются радиоэлектронная аппаратура, которая в то же время представляет и один из главных источников внутренней тепловой энергии. При этом только 5...10 % потребляемой аппаратурой мощности превращается в мощность полезных сигналов, остальная же энергия превращается, как правило, в тепло [1].

Оценку величины энергопоступлений от тепловыделяющего оборудования и приборов в стационарном режиме можно дать, располагая основными данными по мощности и времени работы агрегатов:

n

Qnp = к У ^(1-п), i=1

где к - коэффициент одновременности работы приборов; N - мощность i -го прибора; п . - КПД i -го прибора.

На практике чаще всего ( 1 - ц i ) = 1, так как вся энергия приборов, установленных в отсеке, выделяется там же.

При оценке теплового режима гермоотсека КА под действием внешних источников тепла, а также для последующего определения суммарного количества тепла, поступающего в газовую среду, для расчета системы терморегулирования строят график энерговыделения приборов и оборудования. Этот график является циклограммой тепловыделения приборов за период вращения вокруг Земли.

Для i-го нелокализованного источника тепла, распо-ложеного в гермоотсеке, дифференцальное уравнение изменения среднеинтегральной температуры по времени имеет вид

( cm ) _npi d^ = Q n _pl + ( a F ) ^T - Тц\      (5)

где c ит _при - удельная теплоемкость и масса i -го прибора; Q - энерговыделение, определяемое программой полета; а _пр. - коэффициент теплоотдачи от i -го прибора площадью F к газу; Т _к - температура газов в гермоотсеке:

^T np‘ = V Ш ^T np* ⁽ x ’ У^, z ) dxdydz ■

Суммарное количество тепла, поступающее в гермоотсек КА от и источников, вычисляют по выражению

Q np У ^ \. ^T npi ^T K )

Заменяя в уравнении (5) производную ее разностным аналогом и вводя произвольный вещественный параметр (вес слоя), получают однопараметрическое семейство схем [3]: т j ⁺¹ _ tJ

+ ( a F ) np H ^T K ^{+ 1} - T p + ¹ ) + ( 1 ^(C % )] ■       (6)

Если известны все составляющие тепловых потоков, поступающих в отсек КА, то можно определить измене ние температуры газа во времени

Применяя для отсека модель идеального смешения, можно записать дифференциальное уравнение изменения температуры:

⁽ С р Р ) Г V o dT? = У ⁽ “ F ^Т т - ^T K ) +

⁺ У ⁽ “ F ) npi ^Tnpi ^{- T} K ^{)+ ( c} i ^m ) _Г ^{( Т} ВХ ^{- T} K ) где V _э -объем отсека; а _сп , Г _С1. , Т _С1. - коэффициент теплоотдачи, площадь и температура стенок отсека; а _пр. , F ,

Т - коэффициент теплоотдачи, площадь и температура приборов; с _рг , т _г , Т^ - удельная теплоемкость, расход и температура подаваемого газа.

Проведя преобразование, получим однопараметрическое семейство разностных схем [3]:

C p pV o ^TKj - ^TKj = У ( a F Ст . [^ - T Kj ^{+ 1} ) + ( 1 - 4т <Т - T Kj ^{) ]} +

+ y^{( a F} \. to¹ - ^tk ) +

^{+ ( 1} -^K i ^{- T} K ⁾⁺⁽ c p m ) V ]

^ / С V

з            ;

- T ^{+ 1} + ( 1 -a ) T ; - T ^ j )

⁷                       -

■(7)

Проведенный анализ внешних тепловых потоков учи тывает орбиту, ориентацию космического аппарата относительно Солнца и Земли и результирующий тепловой поток в зависимости от положения створок жалюзи