Математическое моделирование воздействия импульса давления на трехслойную систему, лежащую на упругом основании

Рассматривается воздействие импульса давления P на свободную поверхность левого слоя, результатом которого является нестационарный процесс деформирования среды в слоях в соответствии с граничными условиями. Характерной особенностью быстро изменяющегося импульса давления является создаваемый им волновой процесс распространения возмущения. Свободная поверхность третьего слоя соединена с упругой средой, реакция которой характеризуется коэффициентом жесткости К.

|-L1-1---L2-- |-L3-1

-->. .

-->|. .

P(t) -->. .

-->. 1

-->|. .

-->|. .

%

%

%

%

%

% I. . .I -\/\/\-| I. . .[-\Л/\-|

% |. . .|-\Л/\-| |. 3 .|  4

% I. . .|-\/\Л-| |. . .|-\/\/\-|

К

Рис. 1. 1, 3 - слои упругого материала, 2 - слой пьезоматериала, 4 - упругое основание.

Импульс давления предполагается равномерно распределенным по границе левого слоя, т.е. Р = P(t). В силу указанных допущений реакция системы на импульс характеризуется величинами, равномерно

X распределенными в плоскостях, параллельных торцам. Направим ось ³ ортогонально левому торцу системы слева направо. Начало отсчета пусть лежит на левом торце. Пусть левый слой имеет индекс - 1, средний - 2, правый - 3 - рис.1. Динамический процесс в среднем слое описывается математической моделью плоских электроупругих волн на основе линейной теории пьезоэлектричества [1]. Крайние слои считаются упругими,изотропными. Искомыми являются перемещения u ¹⁽ x ^3, t ^{u 2} ( ^{X з,} t ) ^{u з( x 3,} t ) элементов среды 1-^^

го,2-го,3-го слоев, и напряженность электрического поля E ⁽ x^t) во 2-м слое.

В рамках линейной теории пьезоэлектричества рассмотрим продольные плоские электроупругие волны в пьезоэлектрическом слое с перемещениями -^^

и _о,v-0, w-u2(x3,t), и напряженностью электрического поля -E(0,0,E3) Ei-O, E 2-0, E з -E 3( x, t). Фазовая плоскость волн параллельна свободной границе слоя ( плоскость OX1X2 ) и распространяется вдоль оси X3 - оси симметрии высшего порядка пьезоэлектрика, которая перпендикулярна границе. Волны создаются импульсом давления   P(t), действующим на свободную границу системы; правая граница лежит на упругом основании с коэффициентом жесткости K . Условия отсутствия заряда на границах и внутри пьезослоя позволяют свести задачу к волновому уравнению

, 2 а2 и 2 = а2 и 2       с = c зз e3 23 /s3s3

ax    a t , где ' p       (1)

с последующим вычислением напряженности электрического поля E ^(0,0, E ³)

по формуле

E ₌   e 33   u 1

£зз 5 x 3

Решение уравнения (1) со смещениями границ пьезослоя - ^и ₂ ⁽ к,t )-/^^{; и} 2 ⁽A + l 2 , t) - Рз (где lj - толщина j-го слоя ) строится на основании интеграла Даламбера в виде сумм бегущих и отраженных волн, где суммы Р"2-’Рп подлежат определению [2],[3] .

Аналогичные ограничения, наложенные на динамические процессы в слоях 1 и 3 приводят к волновым уравнениям относительно перемещений

U , и₃

₂ s² и_х а ² и_{х       2} а ² и₃     а ² и₃

¹   Хх₃ '      д 2 ^{2       3}   Хх₃ '      S t²

, где c1’ c3 - скорости продольных волн в левом и правом слоях.

Решение уравнений (3) представляется суммами ^’^ для ^и и ^’^⁴ для ^{и 3} ,описывающими бегущие и отраженные волны [3].

Реализация граничных условий для нормальных напряжений ° ^{33 (} x , t ) :

(Г₃₃ (0, 2 ) = - Р ( 2 ); <у₃₃ ( l +1₂ +1 ₃, t ) = - K *и ₃ ( l +1₂ +1 ₃, t ).

и

условия

;

непрерывности напряжений на границе слоев приводит к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относительно функций ^,^2, 31^Рссо сдвинутым аргументом, которая решается численно методом     Рунге-Кутта.     Напряженно-деформированное     состояние пьезоэлектрика и напряженность электрического поля получается линейной интерполяцией накопленных массивов ц    ,ц3, 4