Матричное рейтингирование

При математическом анализе различных социальных явлений приходим к необходимости построения метрической функции (меры) на множестве наблюдений [1]. В ряде случаев такая функция вытекает из самой постановки задачи, но в большинстве случаев успешность построения меры зависит от опыта исследователя.

Примером может служить задача изучения общественного мнения относительно того или иного социального явления. Подобная задача неоднозначна хотя бы потому, что здесь приходится учитывать многообразие отношений членов социума к данному явлению, а также учитывать множественность свойств самого явления. Разберем простейший пример.

Предположим, что социум строго фракционируем по трём группам: Иванов – формальный лидер, который полностью поддерживает начинания администрации и за которым следуют 43% данного социума; Сидоров и Петров лидеры неформальные, за ними следуют 35% и 22% членов социума, соответственно. Требуется спрогнозировать оценку отношения социума к выдвигаемому администрацией на обсуждение пакета документов, которые независимы друг от друга и распределяются по степени важности в соответствии с экспертной оценкой на 10-ти бальной шкале в 10, 8, 5, 3, 1 баллов.

Введём матрицы-наблюдаемые:

а) квадратную симметрическую матрицу A = ((aij)) расслоения социума по лояльности к административным новациям 0.43    0     0 \ А = (  0    0.35    0  ); 0     0    0.22 b) квадратную симметрическую матрицу важности предлагаемых документов в экспертном представлении

	/10 0	0 8	0 0	0 0	0 0
В =	0	0	5	0	0
	0	0	0	3	0
\0		0	0	0	1/

Данные матрицы являются диагональными поскольку наблюдается полная фракционность расслоения социума и независимость от остальных документов пакета каждого документа. Не нарушая общности изложения материала можно полагать матрицы не только сильно разреженными, но и полными.

Допустим, что пакет документов подготовлен администрацией с учётом экспертной оценки важности документов и социальных запросов по данному пакету в связи с прогнозом принятия документов, который представим матрицей Y = ((y ij ))₃ х ₅, в которой элемент y ij равен единице, если j -ый документ принимается i -ой фракцией, и полагается равным нулю в противном случае. Будем полагать, что таким прогнозом для составления пакета является матрица

Y = (1  1  1

0  0  1

Допустим, что для того, чтобы проверить шанс принятия социумом данного пакета документов был проведён предварительный выборочный опрос, который показал расхождение мнений социума с представлениями администрации по данному пакету документов. Этот опрос дал результаты

X = (о 1  1

Как видим, реальные результаты общественного отношения к предложениям администрации далеко не совпадают с представлениями

последней относительно социальных настроений поэтому возникает проблема его переработки, либо выставить на голосование с учётом риска его непринятия. Но, какой шанс будет принятия социумом данного пакета документов?

Чтобы оценить этот шанс построим метрическую функцию. Матричное произведение AX представляет результаты фактического голосования по каждому документу, матричное произведение YB показывает важность документа в представлении административного органа.

Построим матрицу

C = (YB)'AX = Y'(BxA)X,

след которой возьмём в качестве метрической функции

m(X, Y) = Sp C.

Если матрицы X и Y записать структурированными векторами x и y , прочитав их по столбцам, то с учётом того, что прямое произведение диагональных матриц диагональная матрица

W = B x A = diag(w), меру в матричной форме можно записать посредством данных векторов

m(X,Y) = p(x,y) = y*Wx

как бинарное метрическое соотношение элементов пространства R 15 .

Тогда основное метрическое тождество [2] запишется в пространстве прямоугольных матриц

D(X)D(Y) = m2(X, Y) + F(X, Y), где введены обозначения

D(X) = ^² (X) = m(X,X), D(Y) = ^²(Y) = m(Y,Y), а Г (X, Y) - определитель Грама бинарного соответствия матриц его аргументов. Отсюда находим:

m(X,Y) = 17.920,   D(X) = 18.140, D(Y) = 22.820,

o-(X) = 2.259,   a(Y) = 4.777;

индикаторы:

-^—2 ' = ^ = “5, 'X^

= 0.422.

Здесь индикатор 2 является аналогом объёмного индекса, индикатор I отвечает индексу Ласпейреса, а индикатор J даёт оценку структурных расхождений. Оценка структурных расхождений как вращательная симметрия в угловом измерении определяется выражением

0 = arctg j = 0.493.

Можно определить коэффициенты ковариации и вариации

cov = cos0 = 0.881, var = sin0 = 0.474;

определить вероятность принятия данного пакета документов и оценить риск его непринятия

p = 0.776, q = 0.224,

а также шанс принятия пакета

Chance = — ~-10  1

Отсюда заключаем, что предлагаемый пакет документов достаточно хорошо разработан с учётом потребностей социума, но при его обсуждении есть и достаточно большая вероятность, что он будет отклонен (q = 0.224, 22,4%). С помощью индекса I можно оценку ранжировать, отобразить её на интервал [0; 1], а последний разбить на три части, например, [0; 0.66), [0.66; 0.83], (0.83; 1] и принять, что если данный индекс попадает на первый интервал, то пакет документов не получает социального одобрения; если значение данного индикатора попадает на второй интервал, то пакет документов принимается на удовлетворительном уровне; если же этот индикатор попадает на третий интервал, то данный пакет полностью отвечает социальным запросам.

Как ранее было отмечено, все представленные выше матрицы могут быть полными. Пусть, например, матрица X имеет вид

1.00  1.00  0.80  0.75 X = ( 0.20  0.90  1.00  0.50 0.10  0.20  0.95  1.00 0.50\ 0.10 ). 1.00/ Это говорит о том, что члены социума не придерживаются при голосовании по данному пакету документов фракционности. Если воспользоваться предыдущей мерой, то получим значения

λ = 0.846, I = 0.783,    J = 0.320, θ = 0.388,  Chance = 6:1.

Следует заметить, что в основном метрическом тождестве все слагаемые являются однородными функциями одной и той же степени однородности относительно каждого матричного множителя представления произведения C поэтому все исходные данные могут описываться в натуральных величинах.