Механизм выбора решений, определенных по значениям функции полезности

Процесс выбора разумного решения, принятого при минимальных потерях или с минимальной вероятностью максимальных потерь, является основой безопасного плавания судна в любых навигационных условиях. Умение анализировать выигрыши, определяющие последствия от принятого решения, является неотъемлемой частью искусства управления состоянием плавания для любого судового специалиста. Принятие решения в условиях неопределенности (без должного анализа функции выигрыша) является весьма противоречивым, приводящим порой к выбору или "неработающих", или даже "ошибочных" (безрассудных) решений [1]. Под функцией выигрыша далее в работе будем понимать отношение лица, принимающего решение (ЛПР), к результату от использования принятого решения (возможного выигрыша или проигрыша).

Главной особенностью безопасного плавания является то, что большая часть принимаемых решений выбирается в реальном масштабе времени, когда анализ функции выигрыша практически невозможен или существенно затруднен [2]. Однако именно такой анализ функции выигрыша позволяет провести четкую границу между оправданными и неоправданными решениями, а значит использовать те преимущества, которые функция выигрыша способна дать при предсказании результатов от реализуемого решения [3].

Целью данной работы является описание процесса выбора решений и соответствующих управлений состоянием плавания судна, использующего в качестве ориентира скалярную величину, определенную с помощью модели функции выигрыша.

Материалы и методы

Для реализации поставленной цели необходимо рассмотреть задачу синтеза функции выбора решения, качество которого определено скалярной величиной. Описание процесса выбора решений и соответствующих управлений состоянием плавания судна производится с использованием элементов теории линейных функционалов.

Результаты и обсуждение

Описание процесса выбора решения, качество которого определено скалярной величиной

Пусть далее Р(δ) – линейный функционал, определенный на множестве ∆ функций δ, a F(δ) – линейный вектор-функционал ограничений. В рамках принятых обозначений составим более простой вариант стереотипа принятия решения судовым специалистом, потребовав, чтобы функция δ'(x) удовлетворяла бы условию

P&) = max P (5)| f (_S) >0 .                                        (1)

δ ∈ ∆

Для решения этой задачи введем функционал Лагранжа

φ(δ, u) = P(δ) + (u, F(δ)),                                          (2)

где и ^T = (и 1 , ..., и п ) ≥ 0 ^Т , n – мерный вектор вещественных чисел размерности вектора-функционала F(δ), 0 – вектор, состоящий из одних нулей, а (и, F) – скалярное произведение векторов и и F. По определению пара {δ ^c , u ^c } является седловой точкой функционала φ(δ, u) в области {δ ∈ ∆, u ≥ 0}, если

φ(δ, u ^c ) ≤ φ(δ ^c , u ^c ) ≤ φ(δ ^c , u)                                           (3)

для всех δ ∈ ∆ и и ≥ 0.

Тогда необходимым и достаточным условием оптимальности решающей функции

δ'(х) = { δ′0 (х), ..., δ'M(x)} по критерию (1) можно считать такой вектор ис, при котором пара {δ', ис} является седловой точкой функционала φ(δ, u) в области {δ ∈ ∆, u ≥ 0}, и кроме того выполняется условие

(u ^c , F(δ')) = 0.

Для нахождения отдельной компоненты эффективной решающей функции во всех функционалах, фигурирующих в выражении (1), оставим только компоненты, связанные с функцией δ _i (x) для некоторого значения i е [1, М]. Тогда придем к следующей задаче: найти функцию 5' = 5' ( х ), такую что

Р i ( δ _i ^∗ ) = max Р i (δ i ) | P* (δi) ≤ ai ,                                                  (4)

где P i (δ i ) = P ii (δ) – вероятность принятия правильного решения γ i , относительно случайных величин i -го класса и определяемая при i = j ; P ₀ ^T (δ) = { P ₁ (δ _i ), ..., Р _м (δ _i )} – вектор вероятностей принятия ошибочных решений γ _i ; a ₀ ^T _i = { а _i1 ,..., a _iM } – соответствующие ограничения. Например, a _ij могут быть ограничениями на вероятность ошибочного решения γ i относительно случайных величин j -го класса при i ≠ j .

Положим далее, что P (δ) = P i (δ i ), a F (δ) = a 0i – Р 0 (δ). В таком случае можно считать, что функция δ ^∗ _i будет решением (4) тогда и только тогда, когда существует вектор u _i ^c , такой что пара { δ _i ^∗ , u _i ^c } – седловая точка функционала

φ _i (δ _i , и _i ) = P _i (δ _i ) + ( u _i , a _0i – P ₀ (δ _i ))                                           (5)

в области {δ i ∈ [0, 1], u i ≥ 0} и при этом выполняется условие

( u _i ^c , a _0i – Р ₀ ( δ ^∗ _i )) = 0.                                                      (6)

Если далее учитывать, что {δ i , u _i ^c } – седловая точка функционала (5), то по определению (3) найдем

φ i (δ i , u _i ^c ) ≤ φ i ( δ _i ^∗ , u _i ^c ) ≤ φ i ( δ _i ^∗ , и i )

для всех δi ∈ [0, 1], ui ≥ 0. Тогда левое неравенство дает возможность записать выражение вида max φi(δi, uc) = φi(δ∗, uc).

δ i

Представим функционал φ _i (δ _i , u _i ^c ) в скалярной форме так, что

φ i (δ i , u i^c ) = (δ i , L i ) + ∑ ^M u ij a ij ,                                               (7)

i=1

где

(S i , L i ) = J 5 , ( x ) L i (x, u c ) dx

X N скалярное произведение функций δi(x), Li(x). Тогда отношение (7) эквивалентно следующему равенству:

ФК 5*, uC) = max{(Si, Li)} + £Xaip i = 1

где штрихом обозначено суммирование по i ≠ j .

Учитывая линейность функционала, подлежащего максимизации по δ _i , видим, что максимальное значение выражения, стоящего в фигурных скобках, зависит от знака функционала L i ( x ) так, что если

L _i ( x ) > 0, то δ _i ^∗ = 1, а если L _i ( x ) < 0, то δ ^∗ _i = 0.

Если же L _i (x) = 0, то соответствующее значение δ _i ^∗ произвольно. Поскольку х* – непрерывная случайная величина, то равенство L i (x) = 0 будет встречаться с минимальной вероятностью. Поэтому для случайных величин, попадающих на границу L i (x, u _i ^c ) = 0, значение функции δ ^∗ _i (x) можно выбрать произвольным числом на отрезке [0, 1]. После того как найден вид функции δ _i ^∗ (x), условие (6) можно рассматривать как уравнение, позволяющее найти значения { u_i^c_j }.

Таким образом, для любого i ∈ [1, М] может существовать вектор u _i ^c ≥ 0, причем такой, что седловая точка функционала (5) в области {δ i ∈ [0, 1], u i ≥ 0} позволяет определить функцию выбора δ _i ^∗ (x) следующим образом:

5 * ( x , u C )

1, если L i ( x , u C ) >  0,

0, если L i ( x , u C ) <  0,

где функция L i (x, u _i ^c ) определяется соотношением

M

L(x, u i ) = f(x) - ^ ' u C f , ( x ),                                       (9)

j=i а числа { uicj } такие, что

M

£4^ — P j [ ⁵ ’ (x, u i )] = 0.                              (10)

• i ,    J = 1

С физической точки зрения величину L _i (x, u _i ^c ) в выражении (8) можно рассматривать как комбинацию ветвей функции выигрыша, и как следует из выражения (8), процесс принятия решения во многом зависит от знака L _i (x, u _i ^c ). Дело в том, что готовясь принимать решение, человек, как правило, оценивает ожидаемую величину "выигрыша" и естественно принимает такое решение, реализация которого дает положительный "выигрыш". В то же время нельзя исключать те случаи, когда "выигрыш" будет являться отрицательной величиной. Поэтому далее следует рассмотреть вариант выбора оптимальных решений по критерию минимума вероятности максимальных потерь [4].

Выбор оптимальных решений по критерию минимума вероятности максимальных потерь

Исходя из проблемы, возникающей при выборе и реализации решений с потерями при условии L i (x, u _i ^c ) < 0, целесообразно использование критерия выбора, который обеспечивал бы уменьшение вероятности возникновения больших потерь. В рамках данного подхода ниже дается решение задачи по выбору решения для случая, когда ЛПР должен делать выбор из допустимого множества таких решений, заданного так

U = (l i1 , p i1 ; ...; l ij p ij ; ...), i = 1, 2, ..., n,                                                  (11)

где li j – величина потерь, возникающих при j-м выборе решения u _i ∈ U; p _ij p _ij – вероятность j-го исхода альтернативного решения u i .

Наиболее полную информацию относительно вероятности возникновения больших потерь при выборе и реализации решений может содержать функция вида [4; 5]:

pi(l) = P(ξi ≥ l), где ξi – вероятностная переменная, выражающая величину потерь в случае реализации допустимого решения ui ∈ U; l – значение величины потерь, определенное, например, следующим образом.

Уменьшение вероятностей возникновения больших потерь можно осуществить в том случае, если ЛПР выбирает такое решение u i ∈ U из (1), при котором было бы истинно следующее высказывание:

∀ l ∈ L p(l) = min p _i (l),                                          (12)

где L – область интересующих ЛПР значений потерь l.

Для реализации критерия (12) предположим, что вероятностные переменные, выражающие величину потерь в случае выбора и реализации решения u _i ∈ U, соответствуют следующим высказываниям:

∀ i, j ∈ I (D 1 (i, j) ∨ D 2 (i, j) ∨ D 3 (i, j)),                                       (13)

где

D 1 (i, j): ∀ l ∈ L имеет место p i (l) ≥ p j (l);

D 2 (i, j): ∀ l ∈ L имеет место p i (l) ≤ p j (l);

D 3 (i, j): ∀ l ∈ L имеет место p i (l) = p j (l).

Тогда при выполнении условий (13) критерий (12) может быть преобразован так

∀ l ∈ L p0(l) = min pi(l),(14)

а выбранное и реализованное ЛПР решение u _i ∈ U будет являться оптимальным.

Помимо требований, накладываемых на функцию p i (l) и необходимых для реализации критерия (14), эта функция также должна отвечать условиям, вытекающим из ее определения, а именно

0 ≤ pi(l) ≤ 1(15)

и если l _A > l _B , то

p(lA) ≤ p(lB).(16)

Следовательно, критерий выбора и реализации наименее опасного в смысле потери и оптимального решения u _i ∈ U вида (14) будет существовать, если существуют функции p _i (l), которые удовлетворяют требованиям (13), (15) и (16). Тогда сформулируем условия, при которых возможно существование функции p _i (l).

Исходя из достаточно общих соображений функции p i (l) = π(l, h i ), где h i – величина параметра h, она должна подчиняться следующим требованиям. Функции p i (l) должны принадлежать такому классу G определенных на оси l функций π(l, h) с параметром h, при котором истинна дизъюнкция вида

F1(π) ∨ F2(π), где

F 1 (π): если h a > h b , то ∀ l ∈ L π(l, h a ) ≥ π(l, h b );

F ₂ (π): если h _a > h _b , то ∀ l ∈ L π(l, h _a ) ≤ π(l, h _b ).

Кроме того, функции из класса G должны быть определены на интервале 0 ≤ π(l, h) ≤ 1 так, чтобы при l _a > l _b выполнялись условия

π(l a , h) ≤ π(l b , h);

∀ l ∈ L π(l, hi) – pi(l) = min [π(l, h) – pi(l)], h ∈ Hi если Hi:{h|" l ∈ L π(l, h) ≥ pi(l)}.

Выполнение первого требования является необходимым и достаточным условием истинности высказывания (13). Выполнение второго и третьего требований необходимо и достаточно для того, чтобы функция p _i (l) обладала свойствами (15) и (16). При формулировке последнего требования было принято во внимание условие, обозначенное в (13). В таком случае, учитывая вероятность выбора судовым специалистом "неработающих" решений или даже "ошибочных" (безрассудных) решений, можно оценивать качество выбора и реализации решений δ _i ^∗ (x, u _i ^с ), привлекая для этого такое понятие, как "риск" с мерой, равной произведению

R = Li(x, uic )ω, где Li(x, uic ) – затраты, направляемые на компенсацию последствий от использования "ошибочных" или "неработающих решений", а ω – частота (вероятность) выбора таких решений, найденная по известной функции готовности судового специалиста к принятию работающих решений [1].

Заключение

Методы комплексного анализа и прогноза развития обстановки нуждаются в совершенствовании путем идентификации моделей динамики развития ситуаций, перерастания их в опасные и критические ситуации [6]. Критерием оптимальности судовождения, как и мореплавания в целом, является безопасность, которая обеспечивается точностью различных измерений навигационных параметров, проводимых с целью решения задач судовождения [7]. Главной особенностью безопасного плавания является то, что большая часть принимаемых решений должна выбираться в реальном масштабе времени, но с анализом функции выигрыша, которая позволяет провести четкую границу между принимаемыми и реализуемыми, оправданными и неоправданными решениями. При выборе и реализации решений без потерь ЛПР необходимо ориентироваться на величины "выигрышей". При этом величину "выигрыша" можно рассматривать как комбинацию ветвей функции полезности, соответствующих принимаемым решениям и реализуемым в управлении состоянием плавания судна. В то же время при выборе и реализации решений с потерями целесообразно использование критерия выбора, который обеспечивал бы уменьшение вероятности возникновения больших потерь.