Метод анализа иерархий: подход, основанный на теории латентных переменных

В теории аналитического планирования, при экспертном оценивании и принятии решений часто используются методы, которые опираются на математические модели, основанные на парном сравнении альтернатив. Оценки привлекательности альтернатив обычно находятся на основе математического аппарата метода анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process) – AHP. Этот метод основан на идее парных сравнений всего множества альтернатив и имеет несколько разновидностей. Первоначальной версией является аддитивный метод аналитической иерархии, разработанный Томасом Саати (Thomas Saaty) [1, 2]. Немного позднее был разработан усовершенствованный математический аппарат, который назвали мультипликативным методом АНР [3, 4].

Цели и задачи исследования

Целью данной работы является описание нового математического аппарата, позволяющего получать оценки привлекательностей альтернатив и обладающего рядом преимуществ по сравнению с традиционными методами оценивания. Предлагаемая модель основана на теории латентных переменных, а точнее, на модели Раша (G. Rasch) оценки латентных переменных [5, 6].

Традиционные методы оценивания, основанные на парном сравнении альтернатив, предполагают использование некоторой вербальной шкалы относительной важности одной альтернативы перед другой. Результаты сравнения представляют собой некоторую матрицу парных сравнений, которая с помощью определенного математического аппарата переводится в количественные показатели привлекательности каждой альтернативы. Однако оценки, полученные с помощью AHP и мультипликативного AHP, характеризуются следующими недостатками.

• 1.    Вербальная шкала относительной важности достаточно абстрактна и поэтому в значительной степени субъективна, полученные по ней оценки представляют лишь субъективные мнения экспертов и не несут четкого смысла.

• 2.    Оценки привлекательности альтернатив сильно зависят от их множества и состава, добавление либо исключение одной или нескольких альтернатив сильно влияет на полученные оценки и может привести к результату, значительно отличающемуся от первоначального.

• 3.    Оценки привлекательности альтернатив не линейны относительно частных оценок из матрицы парных сравнений, по которым они получены.

Предлагаемая в работе модель, как будет показано далее, позволит в какой-то степени нивелировать указанные недостатки, что позволит получать более объективные оценки привлекательности альтернатив.

Кроме того, в работе будут приведены результаты вычислительных экспериментов, которые обоснуют адекватность полученных оценок по предлагаемой модели.

Рассмотрим n альтернатив, оценивающихся по некоторому качественному критерию, которые обозначим как A 1 , A 1 , …, A n . Исходными данными для методов парных сравнений служит матрица x_i j , в которой приведены степени предпочтений h альтернативы A_i по сравнению с альтернативой А j . В методах AHP и мультипликативного AHP для нахождения элементов этой матрицы используют вербальную шкалу, на основании которой определяется каждый элемент матрицы x ij , при условии, что альтернатива A i предпочтительнее альтернативы А j : x ij = h , если наоборот, то x ij = 1/ h , то есть x ij = 1/ x ji . Степени предпочтений h , согласно [1, 3], приведены в табл. 1 (столбцы 1 и 2).

Таблица 1 Вербальные шкалы степени предпочтений

Table 1

Verbal preference scales

Степени предпочтения 1-й альтернативы перед 2-й	Значение h для AHP и мультипликативного AHP	Вероятность p для метода, основанного на модели Раша
1	2	3
Одинаковые предпочтения	1	0,5
Слабое превосходство	3	0,6
Умеренное превосходство	5	0,7
Значительное превосходство	7	0,8
Большое превосходство	9	0,9
Однозначное предпочтение	–	1

Приведем кратко методику расчета оценок привлекательности альтернатив по мультипликативному AHP, так как далее будет проводиться сравнение оценок этого метода с оценками, полученными по модели Раша. На основании матрицы парных сравнений x ij сначала находят собственные векторы для каждой альтернативы w_i , которые являются ненормированными оценками

n альтернатив: wi = и Пxij, i = 1, 2, •-, и • Далее производится нормирование так, чтобы сумма V j=1

n оценок равнялась единице: Wi = wJ ^ w^ . Полученные значения Wi и будут служить оценками / к=1

привлекательности альтернатив, полученными по мультипликативному AHP.

Перейдем теперь непосредственно к математическому аппарату получения оценок привлекательности альтернатив по AHP, основанному на модели Раша.

Первое отличие данного метода от традиционных расчетов по AHP заключается в получении матрицы парных сравнений, которую в подходе модели Раша будем обозначать через x_i^R_j^m . Степень предпочтения одной альтернативы над другой в паре носит вероятностный характер. Для его оценивания используется некоторая вероятность p , которая имеет смысл того, что некоторый эксперт, проводящий оценку, выберет первую альтернативу по сравнению со второй. Другими словами, оценка p характеризует некоторую меру степени предпочтения одной альтернативы перед другой по линейной шкале.

На языке теории нечетких множеств величину p можно интерпретировать как функцию принадлежности первой альтернативы к категории привлекательных в группе со второй альтернативой. Такое понятие степени предпочтения менее абстрактно и более понятно, чем для традиционных методов AHP, так как характеризуется пропорциональностью выбора одной альтернативы перед другой.

Если в экспертизе участвует группа экспертов, то для расчета величины p можно использовать долю экспертов в группе, которые выбирают первую альтернативу. Кроме того, для оценки p также можно использовать вербальную шкалу предпочтений, она приведена в табл. 1 (столбцы 1 и 3).

Полученная на основании параметра p матрица парных сравнений xiRjm будет обладать сле- дующими свойствами: xR” = 1 - xR” , xRm = 1

.

Далее обоснуем математически методику расчета оценок привлекательности альтернатив на основе дихотомической модели Раша [5, 6].

Предположим, что эксперт путем парных сравнений на вероятностной основе пытается определить предпочтение одной альтернативы над другой.

Рассмотрим две альтернативы A i и A j . Обозначим P im – вероятность выбора эксперта альтернативы A i по сравнению с некоторой третьей альтернативой A m . Соответственно, вероятность невыбора альтернативы A i по сравнению с A m будет равна (1 – Р im ). Для альтернативы A j по сравнению с A_m применяются аналогичные рассуждения. Тогда оценка степени привлекательности U_i/ j альтернативы А_i (в единицах оценки альтернативы А j ) путем сравнения их с некой альтернативой А_m будет, согласно теореме умножения вероятностей, пропорциональна вероятности выбора А_i по сравнению с А m , умноженной на вероятность невыбора А j по сравнению с А m : U i/j ~ Р im (1 – P jm ). Аналогично оценка привлекательности А j по сравнению с A i будет U j/i ~ (1 – P im ) P jm .

Отношение этих параметров можно записать как

U i / j । = P im (1 — P jm )

U j / i       P jm (1 — P im )

Так как не накладывалось никаких условий на промежуточную альтернативу, с которой проводилось сравнение A m , то будет справедливо равенство

U-,. p (X-P ) p, (X-P,) U-n i / j           im (       jm )      ik (       jk )        i / j

m i/j          jm        im       jk        ik        i/j

В свою очередь из выражения (2) можно записать следующее f p Pim

• V ¹ P im

( P

Pk

• V 1 - P ik

1Pr

V ^jk

A

У

( p. A jm

X-P

• V 1 jjmУ

Тогда при m = j получим

( P A 1^, V ^ij У

( p

_P/k_

V 1 - P ik

f kPi

A

Г p )

jj

v jk У\

X-P jj У

.

Требуется получить такую методику расчета, чтобы оценки альтернатив в паре не завесили от других альтернатив, то есть отношение (3) было справедливо для оценок любых пар альтерна- тив с номерами m и k. С целью обеспечения выполнения этого требования в качестве исходных точек для проведения сравнительного анализа возьмем уровень оценок некоторой альтернативы с индексом 0. Помимо этого необходима единая шкала измерения оценок альтернатив по произвольному критерию, при этом за точку отсчета в ней удобно принять оценку альтернативы с индексом 0. Также учтем, что значение параметра Pmm, а также Р00 будет равно 0,5. Применив это (при k = 0), получим из (3) выражение

( р. Л 1j

V j 7

( Р

_P^

V 1 — Р '0

1 Pj0

Г р )

Pjj

V P0 Л

1-Р

J1 7

( р _P^

V 1 — Р '0

(1 _ p A(P)

U i / j

= тт ^|0. U i / j

P

Следует заметить, что в выражении (4) величина    ^{i 0}

1 — Р о

= b i - это оценка привлекательности

1 Pj0    1

альтернативы A,, а-----=--величина, обратная той же оценке альтернативы Aj . Оценки при-

Pj0     bj                                                                 j влекательности альтернатив, полученные таким образом, не зависят от множества оцениваемых альтернатив. Учитывая также соотношение вероятностей Pij = 1 — Pj , можно для (4) записать

Р Р ь j4   = ii1 = bi_

Х-р. р„ ь j j j

.

Таким образом, отношение оценок привлекательности альтернатив равно отношению вероятностей предпочесть одну из них другой, то есть оценки пропорциональны вероятностям выбора соответствующих им альтернатив, что и предполагалось ранее.

Найдем вероятность P_i j . При этом, чтобы соблюдалось свойство линейности оценок b_i , удоб-

нее использовать их логарифмы. Прологарифмируем (5), получим: ln

г р 1PP,

V j

л

= ln( b) - l ⁿ⁽ b j ).

Обозначая ln b i = W Rm , можно записать: ln

Р ij

л

1 — Pi V j 7

Rm

= w '

—

w^R_j^m ,что

p ij аналогично

X-P ij

w Rm = e '

wRm j , при этом параметр wi m будет иметь смысл ненормированной оцени привлекатель- ности альтернативы Ai, полученной по модели Раша.

Исходя из этого, можно вычислить вероятность P ij предпочтения альтернативы A i по сравнению с альтернативой A j :

Р = ij

Rm Rm

Wi  — w ;

e j

w Rm

1 + e '

Rm . w_j

Следует отметить, что полученное выражение (6) представляет собой логистическую функцию и аналогично формуле расчета вероятностей при оценке латентных переменных по дихотомической модели Раша [5].

Перейдем теперь к вопросу нахождения оценок привлекательности альтернатив w_i^Rm следует отметить, что элементы матрицы парных сравнений, полученные в вероятностном ходе x_i^R_j^m , имеют смысл тех же вероятностей (6), но полученных на основании экспертного ния. Следовательно, вероятность (6) должна стремиться к эмпирическим вероятностям

. Тут под-мне-

Rm x ij

.

Данную задачу можно решить в подходе модели Раша, основанном на методе наименьших квадратов, который описан в работах [7–10]. Согласно этому методу, параметры w_i^Rm модели (6) выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных x_i^R_j^m от расчетных вероятностей (6) была наименьшей. Математически это сводится к решению оптимизационной задачи:

n n                       n n

ZZ ( j - P j )² = ZZ i = 1 j = 1                       i = 1 j = 1 ^

w Rm - w Rm e i j

w Rm

1 + e ⁱ

w R _j m

^ min.

Оптимизационная задача (7) будет дополняться условием неотрицательности полученных оценок:

w Rm >  0; i = 1,2, _ , n .                                                                      (8)

После того как найдены оценки привлекательности альтернатив w_i^Rm , их необходимо нормировать так, чтобы их сумма равнялась единице:

Rm

W^Rm = -wi ---; i = 1,2, _ , _n .                                                              (9)

i _n

Z wRm k=1

Полученные по формуле (9) оценки W_i^Rm позволят определить степень привлекательности альтернатив на основе модели Раша оценивания латентных переменных.

Для проверки адекватности оценок альтернатив по модели Раша было решено сравнить эти оценки с оценками, полученными на основе хорошо зарекомендовавшего себя и апробированного мультипликативного AHP.

Для этих целей были проведены вычислительные эксперименты по методике, описанной в работах [11–14], которые заключались в генерации различных матриц парных сравнений, на основании которых вычислялись оценки W_i и W_i^Rm , а затем вычислялась согласованность оценок с помощью корреляционного анализа. Связь между матрицами x_ij и x_i^R_j^m осуществлялась в соответствии с табл. 1.

Приведем результаты одного из таких вычислительных экспериментов. Он предполагал оценивание n = 10 альтернатив с матрицами парных сравнений, которые приведены в табл. 2.

Таблица 2

Матрицы парных сравнений для вычислительного эксперимента

Table 2

Pairwise comparison matrices for computational experiment

	Матрица xij										Матрица xiRjm
	А 1	А 2	А 3	А 4	А 5	А 6	А 7	А 8	А 9	А 10	А 1	А 2	А 3	А 4	А 5	А 6	А 7	А 8	А 9	А 10
А 1	1	1/5	1/7	3	7	5	1	9	1	7	0,5	0,3	0,2	0,6	0,8	0,7	0,5	0,9	0,5	0,8
А 2	5	1	7	1/7	7	9	7	1/9	9	5	0,7	0,5	0,8	0,2	0,8	0,9	0,8	0,1	0,9	0,7
А 3	7	1/7	1	3	5	1/7	1/7	7	1/5	1/7	0,8	0,2	0,5	0,6	0,7	0,2	0,2	0,8	0,3	0,2
А 4	1/3	7	1/3	1	1/7	1/3	1/5	5	3	1/5	0,4	0,8	0,4	0,5	0,2	0,4	0,3	0,7	0,6	0,3
А 5	1/7	1/7	1/5	7	1	3	1/7	1	7	1/5	0,2	0,2	0,3	0,8	0,5	0,6	0,2	0,5	0,8	0,3
А 6	1/5	1/9	7	3	1/3	1	9	7	9	1/7	0,3	0,1	0,8	0,6	0,4	0,5	0,9	0,8	0,9	0,2
А 7	1	1/7	7	5	7	1/9	1	7	1/5	1/7	0,5	0,2	0,8	0,7	0,8	0,1	0,5	0,8	0,3	0,2
А 8	1/9	9	1/7	1/5	1	1/7	1/7	1	9	7	0,1	0,9	0,2	0,3	0,5	0,2	0,2	0,5	0,9	0,8
А 9	1	1/9	5	1/3	1/7	1/9	5	1/9	1	9	0,5	0,1	0,7	0,4	0,2	0,1	0,7	0,1	0,5	0,9
А 10	1/7	1/5	7	5	5	7	7	1/7	1/9	1	0,2	0,3	0,8	0,7	0,7	0,8	0,8	0,2	0,1	0,5

На основании данных из табл. 2 были получены оценки привлекательности альтернатив по мультипликативному AHP и по методу, основанному на модели Раша. Результаты оценивания представлены на рисунке.

-A- Multiplicative АНР • Rasch's model

Результаты оценивания альтернатив по мультипликативной AHP и модели Раша The results of evaluating alternatives by multiplicative AHP and Rasch model

Как видно из рисунка, оценки альтернатив, полученные разными методами, достаточно согласованы, коэффициент корреляции для данного примера составит 0,977. Ранжирование альтернатив на основании оценок по разным методам также совпадает. Однако между оценками существуют и различия, что связано с различными математическими моделями обработки информации.

Было проведено около 50 аналогичных вычислительных экспериментов для различного числа альтернатив, всегда получались аналогичные результаты. Средний коэффициент корреляции оказался равным 0,972. Все это подтверждает адекватность оценок привлекательности альтернатив по AHP с математическим аппаратом, основанным на модели Раша оценки латентных переменных.

Предложена и математически обоснована модель обработки экспертной информации при оценке привлекательности альтернатив по методу анализа иерархий, которая основана на модели Раша оценок латентных переменных. Основные преимущества данной модели по сравнению с традиционными методами AHP следующие [15]:

• –    показатель превосходства одной альтернативы над другой носит вероятностный характер, поэтому он менее абстрактный и более объективный;

• –    оценки привлекательности альтернатив намного меньше зависят от набора оцениваемых альтернатив;

• –    полученные оценки альтернатив измеряются по линейной шкале.

Проведенные вычислительные эксперименты показали адекватность оценок альтернатив, полученных по модели Раша, и пригодность предложенной методики оценивания альтернатив к практическому применению.