Метод граничных и конечных элементов в динамических пространственных задачах для слоистых тел с частично-заглубленными объектами

Оригинальное теоретическое исследование

Введение. Проблемы динамического расчета поведения заданий и сооружений при наличии фундаментов сложного строения на многослойных грунтах, анализ многослойных покрытий с локальными включениями и неоднородностями вызывают широкий интерес научного сообщества и требуют дальнейшего развития методов динамического анализа и построения эффективных алгоритмов расчета волновых полей в указанных средах. Целью работы является анализ характеристик НДС сложной конструкции на многослойном основании с использованием связи МКЭ-МГЭ и сравнительный анализ эффективности применения различных технологий параллельных вычислений для оптимизации вычисления данных характеристик.

Материалы и методы. Рассмотрена техника перехода от описания стационарных колебаний изотропной линейно-упругой среды в виде уравнения Ламе к фундаментальным решениям метода граничных элементов (МГЭ) путем интегральных преобразований Фурье. Вид матриц фундаментальных решений опирается на суперпозицию решений трех вспомогательных задач. Рассматриваемая задача сводится к совместному решению дискретизированной СЛАУ МГЭ и уравнения движения МКЭ. Рассмотрена задача численного анализа конструкции с полуза-глубленным фундаментом на многослойном основании с использованием разработанного программного решения и комплекса Ansys Mechanical.

Информатика, вычислительная техника и управление

Результаты исследования. Получены амплитудно-частотные характеристики заданной точки многослойного трехмерного основания, подверженного поверхностному динамическому воздействию. Рассмотрено несколько случаев постановки задачи – при наличии и отсутствии строительной конструкции, а также при различных конфигурациях жесткости сред основания. Дополнительно получены данные о перемещении точек основания на границах раздела слоев на отрезке под конструкцией. Выполнено измерение времени вычисления вектора напряжений для фундаментальных решений МГЭ. Рассмотрено влияние методик распараллеливания вычислений Coarray, MPI и OpenMP на языке Fortran на реальное и процессорное время работы программного модуля.

Обсуждение. Полученные результаты подтверждают теоретические представления о взаимном влиянии строительного объекта с фундаментом и окружающего его грунтового массива. В связи с тем, что решение рассмотренной задачи является ресурсоемким процессом и требует значительных временных затрат, применение технологий параллельных вычислений для оптимизации расчетов является естественным этапом развития программного продукта. Анализ затрат реального и процессорного времени работы программы с распараллеливанием до 8 потоков позволил оценить потенциал дальнейшего масштабирования данной задачи.

Заключение. На основании полученных результатов сделан вывод, что использованная технология матричного построения фундаментальных решений для многослойных сред с поверхностными и заглубленными объектами является эффективным инструментом, позволяющим точно учесть дисперсионные свойства многослойной

среды, условия излучения энергии на бесконечность при взаимодействии объекта и основания, а также естественным образом распараллелить вычислительные процессы при совместном применении МГЭ и МКЭ. Применение технологий Coarray, MPI и OpenMP для параллельных вычислений позволяет кратно снизить время работы программного модуля, не приводя к значительному увеличению затрат ресурсов.

Original Theoretical Research

Boundary and Finite Element Method in Dynamic Spatial Problems for Layered Bodies with Partially Embedded Objects

Sergey G. Glushko ® , Alexander A. Lyapin © X

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation, X

Introduction . The dynamic analysis of the behavior of buildings and structures featuring complex foundations on multilayered soils, as well as the analysis of multilayered coverings containing local inclusions and inhomogeneities, are subjects of great interest to the scientific community. These topics necessitate the further development of dynamic analysis methods and the creation of efficient algorithms for calculating wave fields in such media. This study aims to analyze the stress-strain state of a complex structure resting on a multilayer soil foundation using FEM-BEM coupling, and to comparatively assess the efficiency of various parallel computing technologies to optimize the calculation of these characteristics.

Materials and Methods. The technique of transition from the description of steady-state oscillations of an isotropic linear elastic medium in the form of the Lamé equation to the fundamental solutions of the boundary element method (BEM) by means of integral Fourier transforms is considered. The form of the fundamental solution matrices is based on the superposition of solutions to three auxiliary problems. The problem under consideration is reduced to the combined solution of a discretized BEM SLAE and the FEM equation of motion. The numerical analysis of a structure with a partially embedded foundation on a multilayer soil base is examined using a developed software solution and the Ansys Mechanical software suite.

Results . Amplitude-frequency characteristics were obtained for a specific point within a multilayer 3D foundation subjected to dynamic surface loading. Several problem formulations were considered — accounting for the presence or absence of a structure, as well as varying stiffness configurations of the foundation layers. Additionally, data were obtained regarding the displacement of points at the layer interfaces within the section beneath the structure. The computation time of the stress vector for the BEM fundamental solutions was measured. The impact of Coarray, MPI, and OpenMP parallelization techniques, implemented in Fortran, on the software module wall-clock and CPU execution time was analyzed.

Discussion. The results obtained confirm theoretical concepts regarding the interaction between the structure, including its foundation, and the surrounding soil mass. Given that solving the problem in question is a resource-intensive and timeconsuming process, the use of parallel computing technologies to optimize calculations represents a natural step in the software evolution. An analysis of real-time and processor-time costs for the program, utilizing up to eight parallel threads, made it possible to assess the potential for further scaling this task.

Conclusion. The results lead to the conclusion that the matrix-based technique for constructing fundamental solutions for multilayer media with surface and embedded objects is an effective tool. It allows the dispersion properties of the multilayer medium and the radiation conditions at infinity arising from object-foundation interaction to be accurately captured, while also naturally enabling parallelization of the computational processes when the BEM and FEM are coupled. The use of Coarray, MPI, and OpenMP technologies for parallel computing significantly reduces the software module execution time without incurring a substantial increase in resource consumption.

Введение. Проблемы динамического расчета поведения заданий и сооружений при наличии фундаментов сложного строения на многослойных основаниях, анализ многослойных покрытий с локальными включениями и неоднородностями [1] требуют дальнейшего развития методов динамического анализа и построения эффективных алгоритмов расчета волновых полей в указанных средах [2] . Широко используемые методы конечных элементов сталкиваются с рядом сложностей для полуограниченных слоистых сред, связанных с наличием отражающих границ и удовлетворением условий излучения волн на бесконечность. Представляет интерес увеличение эффективности численных методов расчета при наличии большого количества слоев применением различных схем распараллеливания. В данной работе развивается подход, связанный с совместным использованием методов конечных (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ) для многослойных сред, контактирующих с объектами сложного строения.

В научной литературе широко исследованы гибридные методы, сочетающие МКЭ и МГЭ для решения задач акустики, взаимодействия жидкости и конструкций, а также рассеяния волн. В работе [3] представлен итерационный подход для анализа взаимодействия насыщенных пористых и герметичных упругих сред комбинацией МКЭ-МГЭ. Метод позволяет учитывать нелинейности в подобластях МКЭ. В работе [4] разработана явная процедура прямой связи МКЭ-МГЭ для нелинейной динамики. Метод позволяет анализировать подобласти независимо и использовать разные временные шаги, что повышает гибкость и эффективность связанных анализов. В работе [5] представлен метод связи МКЭ-МГЭ для анализа взаимодействия жидкости и конструкции во временной области. Метод использует оператор Пуанкаре-Стеклова и позволяет получать априорные оценки погрешности для модельных задач. В работе [6] проанализирована перекрывающаяся непрерывная модель для задачи распространения волн Гельмгольца в неограниченных областях. Метод позволяет точно сохранять условие излучения и демонстрирует эффективность для гетерогенных сред. В работе [7] разработана стратегия взаимодействия МКЭ-МГЭ для акустического рассеяния на гармониках времени в средах с переменной скоростью звука. Метод использует растворную переменную на границе связи и демонстрирует квази-оптимальную сходимость. В работе [8] предложен гибридный численный метод для решения задач изменения фазы с движущимися границами. Метод сочетает радиальные базисные функции и сеточный подход, что позволяет решать задачи растворения и затвердевания. В работе [9] исследованы апостериорные оценки ошибок для метода виртуальных элементов (МВЭ) и МКЭ на основе МГЭ. Метод позволяет вычислять расстояние между градиентом конечных элементов и его постобработанной версией, а также обнаруживать точки необычайной точности. В работе [10] предложен регуляризатор на основе условий излучения на поверхности (OSRC) для стабилизации связи МКЭ-МГЭ. Метод улучшает сходимость итеративных решателей, особенно на высоких частотах, и снижает вычислительные затраты. В работе [11] разработана структура глубокого обучения для прогнозирования передаточных функций в структурно-акустических моделях. Метод позволяет значительно сократить время вычислений по сравнению с традиционными МКЭ-вычислениями. В работе [12] предложена структура акустического анализа и оптимизации формы для трехмерных двукратно периодических многослойных структур. Метод использует изогеометрический метод граничных элементов (ИГ-МКЭ) и позволяет оптимизировать форму акустических структур. В работе [13] представлен полуаналитический метод конечных элементов для моделирования 2D направленных волн в композитных ламинатах. Метод позволяет анализировать рассеяние волн на расслоениях и получать коэффициенты отражения и пропускания. В работе [14] проведено сравнение высокопорядковых и плосковолновых базисных функций для решения задач Гельмгольца. Показано, что базис NURBS превосходит базис Лагранжа, а также проанализированы ошибки и численная дисперсия для различных базисов. В работе [15] предложен гибридный метод МКЭ-МГЭ для решения акустико-структурных задач. Метод использует дискретный сдвиговый зазор для построения МКЭ без блокировок и коллокацию МГЭ на основе формулировки Бертона-Миллера. В работе [16] разработана симметричная схема связи МКЭ-МГЭ для рассеяния переходных акустических волн на неоднородных анизотропных препятствиях. Метод позволяет дискретизировать прошедшую и рассеянную волны и демонстрирует устойчивость в гильбертовом пространстве.

Информатика, вычислительная техника и управление

Значительное число научных работ посвящено разработке численных методов для анализа слоистых, анизотропных и функционально-градиентных сред. В работе [17] предложен модифицированный метод конечных элементов с масштабируемой границей (МКЭМГ) для анализа динамического сопротивления анизотропных слоистых сред. Метод позволяет решать задачи для кросс-анизотропных и общих анизотропных сред, а также упрощает расчеты для кросс-анизотропных слоистых сред. В работе [18] МКЭМГ применен для решения динамической реакции трехмерного бесконечного грунта. Алгоритм непрерывного деления позволяет получать матрицу динамической жесткости слоистого грунта в частотной области, а также решать задачи для заглубленных фундаментов. В работе [19] разработан 3D подход, сочетающий МКЭ и МГЭ в частотной области для анализа динамического отклика конструкций на слоистых трансверсально-изотропных полупространствах. Метод использует функции Грина и позволяет учитывать сингулярное поведение напряжений на границах раздела. В работе [20] предложена новая методология для анализа продольно-инвариантных задач взаимодействия грунт-конструкция в эластодинамике. Метод использует 2.5D связь МКЭ-МГЭ и позволяет повысить вычислительную эффективность за счет использования метода фундаментальных решений для моделирования распространения волн. В работе [21] разработан метод для вычисления 2.5D эластодинамических функций Грина для слоистых полупространств в декартовых координатах. Метод позволяет получать точные решения для однородных и слоистых сред. В работе [22] предложена 2.5D методология МКЭ-МГЭ для анализа динамической реакции сегментированных тоннелей в насыщенном грунте. Метод позволяет учитывать влияние соединений тоннеля на динамические напряжения и давление поровой воды, что недооценивается в однородных моделях. В работе [23] представлен метод конечных элементов на основе границ (МКЭГ) для анализа напряжений в анизотропных функционально-градиентных материалах. Метод использует кусочно-однородные слои и позволяет учитывать эффекты анизотропии и градиентности без построения сетки области.

Многие современные научные работы посвящены оптимизации и анализу напряжений в гетерогенных, композитных и функционально-градиентных материалах. В работе [24] предложен стабилизированный метод iRBF для анализа упругопластических задач. Метод позволяет минимизировать вычислительные затраты и обеспечивает высокую точность. В работе [25] разработан подход для топологической оптимизации демпфирующих слоев под гармоническими возбуждениями. Метод использует кусочно-постоянный уровень и анализ чувствительности.

Результаты работ в данной области позволяют выполнять анализ широкого спектра сложных систем, однако проблема анализа динамики системы многослойного основания с частично заглубленным объектом является недостаточно изученной. Цели работы — анализ характеристик напряженно-деформированного состояния сложной конструкции на многослойном основании с использованием связи МКЭ-МГЭ и сравнительный анализ эффективности применения различных технологий параллельных вычислений для оптимизации вычисления данных характеристик. Достижение этих целей требует рассмотрения методики моделирования многослойного основания комбинацией данных методов и рассмотрения задачи по моделированию сложной конструкции с помощью разработанного программного средства, реализующего данную методику с применением технологий параллельных вычислений на базе языка Fortran.

Материалы и методы. Уравнение Ламе представляет собой фундаментальное описание движения изотропной линейно-упругой среды в перемещениях, связывая упругие константы Ламе с векторным полем смещений и объёмными силами. Применение интегрального преобразования Фурье к этому уравнению позволяет перейти от дифференциальной постановки в пространственной области к алгебраическим соотношениям в частотной области, где фундаментальные решения становятся явными. Это служит основой для построения метода граничных элементов, в котором интегральные представления через преобразование Фурье используются для формирования систем граничных интегральных уравнений, сводящих трёхмерную задачу упругости к двумерной дискретизации границы.

Для иллюстрации данного перехода рассмотрим поведение некоторого объекта, расположенного на поверхности или частично заглубленного в многослойное полупространство в режиме установившихся гармонических с частотой ω колебаний. В качестве примера рассмотрим строительный объект, имеющий свайный фундамент. Решение задачи строится раздельно: для части слоистого грунта и объекта с фундаментом с использованием метода конечных элементов, что позволяет учесть все особенности проектирования объекта и фундамента, и оставшейся части основания на основе метода граничных интегральных уравнений (граничных элементов) (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия области

Поведение всех составляющих конструкции и N -слойного основания считается линейно-упругим. При этом свойства среды в ее j -й составляющей описываются плотностью ρ j и коэффициентами Ламе λ j , μ j ( j = 0, 1, …, N – 1). Контакт всех сред предполагается жестким, определяющим равенство нормальных и касательных элементов векторов напряжений и перемещений на границах сопряжения.

Движение среды определяется решением системы уравнений Ламе относительно амплитудных функций перемещений точек среды [26] :

9 2

} , r = { x,y,z } ,

VV- u (j) ( r ) - 1 Vx Vx u (j) (r ) + 9 2j u (j) (r) = 0, r = {x,y,z}, u (j) = |u (j) ,u (j) ,u (j) 922                jy

2 _®2 a2  2 _®2 a2 у _

• ^{9 1 1} = И 2 ^{, 9 1 2} = И 2 ^,Vpj =\    D ^,VS^J

VPj             VSj           \    P1V

Здесь система координат ( x , y , z ) связана с поверхностью многослойного полупространства, как показано на рис. 1.

Не ограничивая общности постановки задачи, считаем, что колебания возбуждаются распределенными в ограниченной области О усилиями на плоской границе полупространства при x = 0:

R ( y ^,z ) = { ° x , ^T xy , ^T xz } = { R 1 ^,R 2 ^,Rxz } .

При этом линейный параметр а в формуле (1) соответствует характерному размеру этой области. Замыкает постановку задачи требование удовлетворения решений принципу предельного поглощения [27] .

Для описания динамического поведения нижней части, представляющей собой многослойное полупространство с выемкой при формально известном на его поверхности S векторе напряжений т , а также заданных поверхностных напряжениях R j , воспользуемся методом граничных интегральных уравнений на основе динамической теоремы взаимности и специальном построении матриц фундаментальных решений.

Вид матриц фундаментальных решений опирается на решение вспомогательной задачи о колебаниях однородного полупространства ( x > 0) с упругими параметрами j -го слоя при заданном векторе напряжений X i ( y , z ) на его поверхности x = 0 в локальной системе координат.

Для этого выразим поле перемещений в преобразованном по Фурье матричном виде:

Аналогично может быть представлен вектор напряжений:

=( j ) /             l= t    ( x, a , P ) = { o x	T xy , T xz } = Г Г e i a y + i e z t( j ) ( r )dxdy ) J -да J -да	= B ( j ) ( x, a, p ) - C ( a , p )
	2 -o,- i x            т         -o,- xx ^ 2 e j 1           2 i ao j 2 e j 2	- 2 i Po 2 2 e -O j2 x ^
B ( j ) ( x, a , P ) =	2 iao j 1 e -O j 1 x - ( o 2 2 +a 2 ) e -O j 2 x	2 aPo j 2 e -o j 2 x	;
	^ 2 i Po j 1 e ~O j 1 x        -ap e -o j 2 x	o j 2 ( p 2 -Z 2 ) e -O j2 x ,
	? 2 = u 2 + O 22 .

Вектор С (а, в) определяется из граничного условия на поверхности x = 0 в форме:

	C ( a , p ) = B ( j )- 1 ( 0 , a , p )		- X 1 ( a , p ) ; Л
	Z 2 Z 2	2 iao j 2 Z 2	2 i PO 12 Z 2
B ( j )- 1 ( 0 , a , p ) =	2 i ao^ n	-^ 2 Z 2 + P 2 n 2	- 2 ap[ 2 o j 1 O j 2 -Z 2 ]	4 -4 - 2
	2 i P° j 1 ° j 2 \	-ap^ o j 2	[a 2 n 2 -Z 2 o 22 ]
			O j 2           J

=( j )/       r = M u    ( x, a , P ) = { u x , u y , u z } =	Г да л да e a y + i p z u ( j ) ( r ) d x d y = U ( j ) ( x, c J -да J -да		i, P ) - C ( a , P ) ;
	(         -O; i x -o j 1 e j 1	• -O ; xX -fx        -O ; ? x ^ - i a e j 2     i po j 2 e j 2
U ( j ) ( x, a , P ) =	-O; i x - i a e j 1	_ -o ixX        П -O ixx O 12 e j 2 -ap e j 2	;                                         (2)
	^ - i p e -O 1j x	0          Z 2 e -O j 2x J
^ 2 =9 122 -p 2 ,     O	2-,.2 Д 2 jk = u -9 jk	u 2 = a 2 +P 2 ,    k	= 1 , 2 .

A r = Z 2 — 4 u ² ° j 1 O j 2 , n ² = 4 o_no_n-Z 2 .

Информатика, вычислительная техника и управление

Полученные матричные представления в аналитическом виде позволяют легко перейти к решению задачи для слоя и многослойного полупространства, а также эффективно применять методы распараллеливания вычислений.

Для построения матриц фундаментальных решений считаем, что в точке r ₀ = ( x ₀, y ₀, z ₀) j -го упругого слоя ⁰<  x <  h j действует сосредоточенное усилие:

q = { q 1 ,q 2 ,q 3 } = { q x ^, q y ^, q z } .

Тогда смещения точки с координатами ( x , y , z ), удовлетворяющие уравнению (1) с добавлением в левой части слагаемого для объемной силы q δ( r – r 0 ) представляют собой интеграл вида:

U *k ( r o , r ) =                   e -i ^a( y-y ^{0 )-} i ^{P( z}-^{z 0} ) U k ( x,x 0 ,a, P ) d a d P ;l,k = 1 , 2 , 3 .                      (3)

4 п ² ц j г 1 г 2                       ^v

Аналогично этому определяются фундаментальные решения для напряженного состояния для слоя с источником в виде двойного преобразования Фурье:

*

T *p ( r o , r ) = -          e- i ^a( y ^- y ^{0 )-} i ^{p( z - z 0} ) T up ( x,x o , a , p ) d a d p; l,k,p = 1 , 2 , 3 .

4п    г , г 2

*

Для построения матриц фундаментальных решений Uk(x, х0, а, в) в преобразованном по Фурье виде исполь- зуется принцип суперпозиции решений трех задач:

*               j           ⁽ j )             ^j

U ( x,x ₀ , a , P ) = u    ( x, a , P ) + u h ( x, a , P ) + U 0 ( x,x ₀ , a , P ) .

где u ( j ) ( x , а, в), соответствующее формуле (2), представляет собой поле излучаемых и отраженных волн от границы слоя x = 0; U h Y x , а, в) — поле излучаемых и отраженных волн от границы слоя x = h j ; U q^ x, х₀, а, в) — поле источника колебаний в безграничном пространстве; U hj ) ( x , а, в) легко получить из u j Y x , а, в) путем перехода к новой системе координат: x → h – x , изменении знаков у ортов e x , e z и введении нового вектора напряжений X ₂(α, β) вместо X ₁ (α, β).

Компоненты матрицы U 0'\ x, х₀, а, в) можно найти применением формул переразложения сферических волн по набору плоских в форме двойного интеграла Фурье [28] , что приводит к результату:

=( J )

U 0 , 11 = A

-° , 1 E 1 - + и 2 E - ° J 2 .

=(. j )    =(. j )

U 0 , 12 = U 0 ,21 =

- iAa[ E ₁

- E 2 ] sign ( x - x 0 ) ,

=(. j )     =(. j )

U 0 , 13 = U 0 , 31 =- iA P|_ E ₁ - E ₂ J sign ( x - x ₀ ) ,

=( j )    =( j )

U 0 , 23 = U 0 , 32 = A aP

=( j )

U 0 , 22 = A

=( j )

U 0 ,33 = A

E 1 ^-    E 2

—

° j 1    ° j 2

a ² E ¹— ( a ² -0 2 ₂ )E-

° j 1                   ° j 2.

в ² EL - ( в ² -0 22 )EL

° j 1                  ° j 2.

A =      , и ² =a ² +p ² ,

^{2 0} 22

E- = e .    - x ⁰|, ° jk = jи ² -0 2 k , k = 1 , 2 .

Аналогичное представление имеют и компоненты напряжений T _{lk p} ( x, х₀, а, в). В случае, если источник колебаний отсутствует в выбранном j -м слое, третье слагаемое в представлении (5) исключается.

Для окончательного определения фундаментальных решений необходимо исключить вектор-функции X ₁ (α, β), X ₂(α, β) для каждой компоненты многослойного полупространства. Это реализуется применением условий непрерывности векторов смещений и напряжений u ^{( j +1)} = u ^{( j )} , t ^{( j +1)} = t ^{( j )} в форме преобразований Фурье при переходе через границы x = x j , j = 0, 1 ,…, N – 2 раздела j -й и ( j + 1)-й компонент слоистой среды, а также условий свободной границы при x = 0. Полученная система линейных алгебраических уравнений и ее определитель определяют дисперсионные свойства многослойного полупространства.

С использованием динамической теоремы взаимности далее получим граничные интегральные уравнения на поверхности S для узловых значений векторов перемещений и напряжений, имеющие следующий вид [29] :

1 u

2 ^l

(r0 ) + П^ I S T*p ( r0 ,r ) nk (r ) ’ u P ( r ) ds =

S p = 1 l к = 1

= jj^ U к ( ^r 0 , ^r ) т к ( ^r ) ds ^- jj^ U к ( ^r 0 , ^r ) R k ( y ) dy ; l = ¹ , ² , ³ .

S к = 1

П ^к = ¹

Здесь u p , τ k — компоненты векторов напряжений и перемещений соответственно; U _l ^* _k , T _l ^* _{k p} — компоненты построенных матриц фундаментальных перемещений и напряжений в точке r от действия источника в точке r 0 ; R k — компоненты вектора внешних усилий на границе полупространства; n k — компоненты вектора внешней нормали к S .

Путем дискретизации системы (6) методом линейных граничных элементов получена СЛАУ относительно неизвестных узловых перемещений u S и сил F S :

A • u s + B • F s = b ( R_k ) .                                               (7)

Рассматриваемая задача сводится к совместному решению СЛАУ МГЭ и уравнения движения по МКЭ [30] :

[ k - i ro C -ro ² M ]• u = F .                                           (8)

Здесь M — матрица масс; C — матрица сопротивлений; K — матрица жесткости конструкции; u — амплитудные функции вектора узловых перемещений; F — вектор узловых нагрузок; ω — частота установившихся колебаний. Отметим, что векторы u и F содержат переменные для узлов, лежащих на общей границе S , и являющиеся неизвестными величинами.

После совместного решения СЛАУ (7, 8), выполняется подстановка полученного решения в известные представления волновых полей (2, 3, 4), что позволяет рассчитать динамические характеристики напряженно-деформированного состояния многослойного основания и рассмотреть его взаимодействие со связанным полузаглуб-ленным объектом.

Рассмотрим задачу определения нормальных напряжений вдоль оси X в заданной точке трехслойного пространственного основания, подверженного поверхностному динамическому воздействию в частотном диапазоне 15-25 Гц. Нижний слой основания является упругим полупространством, а на поверхности расположена строительная конструкция в виде тонкостенного стального куба с полузаглубенным бетонным фундаментом (рис. 2).

а)                                                                     б)

Рис. 2. Геометрия области а — общий план; б — срез

Рассматривается несколько случаев постановки задачи — при наличии и отсутствии строительной конструкции, а также при различных конфигурациях жесткости сред основания. Физические свойства слоев основания и элементов конструкции отражены в таблицах 1 и 2 соответственно, где ρ — плотность; E — модуль Юнга; ν — коэффициент Пуассона.

Параметры слоев основания

Таблица 1

Номер слоя	Толщина, м	ρ, кг/м 3	E , МПа , вариант ( а )	E , МПа , вариант ( б )	E , МПа , вариант ( в )	ν
0	Полупространство	1800	3,915	39,150	391,500	0,330
1	1	1800	39,150	39,150	39,150	0,330
2	1	1800	391,500	39,150	3,915	0,330

Информатика, вычислительная техника и управление

Параметры элементов конструкции

Таблица 2

Наименование	Габариты, м	ρ, кг/м 3	E , ГПа	ν
A	2х2х2, Толщина стенки – 0,150	7850	200	0,300
B	0,500х2х2	2450	27	0,200

Нагрузка q = 1 кПа приложена на поверхности в точке ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) = (0; 4,7; 0), один из нижних углов куба расположен в точке ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) = (0; –1; –1), координаты точки наблюдения ( x ; y ; z ) = (0; 1; 0).

Для решения поставленной задачи используется комбинация разработанного авторами программного продукта, реализующего рассмотренный механизм определения характеристик напряженно-деформированного состояния многослойного основания методом граничных элементов и комплекса ANSYS Mechanical для анализа конструкции и окружающего грунта методом конечных элементов. Численный эксперимент проводился на ПК с процессором Intel Core i5-13600k и 32 Гб оперативной памяти с частотой 6000 МТ/c.

Результаты исследования. Получены данные об амплитудно-частотных характеристиках точки наблюдения (рис. 3).

COMB UX      FOUND UX

а)

б)

COMB UX       FOUND UX

в)

Рис. 3. АЧХ (UX) точки на границе конструкции при наличии (COMB) и отсутствии (FOUND) конструкции: а — при увеличении жесткости сред от полупространства к поверхности;

б — с равной жесткостью сред; в — при уменьшении жесткости сред

Для вариантов а и б (жесткие поверхностные слои и слои равной жесткости) наличие конструкции уменьшает перемещение рассматриваемой точки, поведение которой становится более монотонным. В последнем случае ( в ) в большей степени проявляются низкочастотные конечные резонансы конструкции, а амплитуды увеличиваются.

Дополнительно получены данные о перемещении точек основания на границах раздела слоев на отрезке под конструкцией, результаты представлены на рис. 4. Графики а–в соответствуют нижней границе раздела верхнего и нижнего слоев, а варианты г–е — плоскости раздела нижнего слоя и полупространства.

1 COMB X1 18 UX      1 COMB X1 22 UX      1 FOUND X1 18 UX      1 FOUND X1 22 UX

а)

–10     –8      –6      –4      –2      0       2       4       6       8       Y , м

2 COMB X1 18 UX 2 COMB X1 22 UX 2 FOUND X1 18 UX 2 FOUND X1 22 UX

Амплитуда, м

1,20E-03

8,00E-04

4,00E-04

0,00E+00

–10     –8      –6      –4      –2      0       2       4       6       8       Y , м

3 COMB X1 18 UX 3 COMB X1 22 UX 3 FOUND X1 18 UX 3 FOUND X1 22 UX

Амплитуда, м

1,50E-03

1,00E-03

5,00E-04

0,00E+00

–10     –8      –6      –4      –2      0       2       4       6       8       Y , м

1 COMB X2 18 UX      1 COMB X2 22 UX      1 FOUND X2 18 UX      1 FOUND X2 22 UX

Информатика, вычислительная техника и управление

г)

2 COMB X2 18 UX 2 COMB X2 22 UX

2 FOUND X2 18 UX 2 FOUND X2 22 UX

3 COMB X2 18 UX 3 COMB X2 22 UX 3 FOUND X2 18 UX 3 FOUND X2 22 UX

е)

Рис. 4. АЧХ (UX) точек основания частотах 18 и 22 Гц при наличии (COMB) и отсутствии (FOUND) конструкции: а — на отрезке [(–1, –10, 0); (–1, 10, 0)] при увеличении жесткости сред; б — на отрезке [(–1, –10, 0); (–1, 10, 0)] с равной жесткостью сред; в — на отрезке [(–1, –10, 0); (–1, 10, 0)] при уменьшении жесткости сред;

г — на отрезке [(–2, –10, 0); (–2, 10, 0)] при увеличении жесткости сред; д — на отрезке [(–2, –10, 0); (–2, 10, 0)] с равной жесткостью сред; е — на отрезке [(–2, –10, 0); (–2, 10, 0)] при уменьшении жесткости сред

Сравнение графиков позволяет сделать вывод о существенной зависимости вертикальных перемещений в первую очередь от строения основания. Наличие конструкции при этом добавляет дополнительные максимумы по перемещениям, в особенности для мягких поверхностных слоев.

Проведенные расчеты потребовали значительных затрат временных ресурсов, что привело к необходимости рассмотрения использования параллельных вычислений. В результате применения представленного метода были рассмотрены задачи распараллеливания при построении фундаментальных решений для МГЭ.

В рамках вычисления фундаментальных решений вектор напряжений был вычислен 3 096 676 раз, средствами отладки получено итоговое время работы программного модуля 56.1 с., процессорное время 55 с.

Рассмотрим реализацию различных методик распараллеливания вычислений в программе на языке Fortran. Используем три технологии: Fortran Coarray, Message-Passing Interface (MPI) и OpenMP.

Coarray — это технология, в рамках которой программа на Fortran реплицируется на нескольких процессорах (образах). Данная технология внедрена в Fortran 2008 для поддержки параллельного программирования. Она предоставляет простой и интуитивно понятный синтаксис для выполнения параллельных вычислений без явной передачи сообщений. В Fortran Coarray — это переменная с одной или несколькими объявленными дополнительными соразмерностями. Каждый образ имеет собственную локальную копию данных Coarray [31] .

MPI, или интерфейс передачи сообщений, представляет собой стандартизированную и портативную систему передачи сообщений, предназначенную для облегчения связи и координации между параллельными процессами в среде параллельных вычислений с распределенной памятью. MPI обычно используется в приложениях высокопроизводительных вычислений (HPC) для обеспечения связи между несколькими процессами, работающими на разных узлах кластера. В Fortran MPI предоставляет набор вызовов подпрограмм, которые обеспечивают прямую связь между параллельными процессами [32] .

OpenMP (открытая многопроцессорная обработка) — это API, который поддерживает кроссплатформенное параллельное программирование с общей памятью на C, C++ и Fortran. OpenMP упрощает разработку параллельных программ, предоставляя набор директив компилятора и библиотечных процедур для выражения параллелизма в коде [33] . Эта технология особенно хорошо подходит для распараллеливания на уровне циклов и областей. OpenMP контролирует безопасность потоков, включая обработку частных и общих переменных. К недостаткам OpenMP можно отнести необходимость учета потенциальных условий конкуренции за данные и ручной синхронизации.

В исходное программное решение внесены модификации для обеспечения параллельных вычислений. В ходе эксперимента выполнено распределение нагрузки на 2, 4, 6 и 8 потоков (образов), результаты представлены в таблицах 3, 4 и на рис. 5.

Реальное время работы программного модуля

Затраченное процессорное время

Таблица 3

# образов	Время, с
	Coarray	MPI	OpenMP
2	37,664	38,962	38,440
4	26,472	27,561	27,759
6	18,348	19,432	19,443
8	14,135	15,158	15,334

Таблица 4

# образов	Время, с
	Coarray	MPI	OpenMP
2	91,350	57,063	58,350
4	89,034	63,250	61,100
6	82,330	66,259	63,080
8	75,537	66,858	71,159

• • ••♦••• Serial * Coarray —•— MPI - •- OpenMP •••♦••• Serial ^ ^^^ ^ • Coarray —•— MPI —•• - OpenMP а)                                                                    б)

  Информатика, вычислительная техника и управление

  
  

Рис. 5. Сравнение времени работы программных модулей, с.: а — реальное время выполнения; б — процессорное время

Обсуждение. Полученные результаты подтверждают теоретические представления о взаимном влиянии строительного объекта с фундаментом и окружающего его грунтового массива. Анализ зависимости вертикальных перемещений точки многослойного основания от конфигурации слоев данного основания и наличия конструкции с полузаглубленным фундаментом в окрестностях этой точки позволил получить ожидаемые результаты. В конфигурации среды, где на поверхности сильносжимаемого полупространства расположены слои более жестких материалов, внедрение конструкции и полузаглубленного фундамента с еще большей жесткостью позволяет снизить колебания соседних точек от действия поверхностной нагрузки. Аналогичный результат наблюдается при рассмотрении малосжимаемой среды равномерной жесткости. В случае обратной конфигурации – когда толща жесткого полупространства покрыта слоями упругого грунта, наличие строительного объекта может привести к усилению резонансных явлений, особенно на низких частотах.

Анализ перемещения точек отрезка в рассматриваемой области позволил выполнить оценку влияния рассмотренных факторов на напряженно-деформированное состояние точек среды с учетом пространственных факторов. Так, ожидаемо, наибольшие перемещения наблюдаются в окрестностях точки приложения нагрузки и постепенно снижаются с увеличением дистанции. Выбранные для анализа частоты 18 и 22 Гц являются собственными частотами строительного объекта и были получены в результате модального анализа.

В связи с тем, что решение данной задачи является ресурсоемким процессом и требует значительных временных затрат, применение технологий параллельных вычислений для оптимизации расчетов является естественным этапом развития программного продукта. Анализ затрат времени на вычисление фундаментальных решений с использованием технологий Coarray, MPI и OpenMP показал высокую степень сходства прироста производительности для всех трех методов, что свидетельствует о зрелости данных технологий в рамках инструментария языка Fortran. При переходе от последовательной реализации к двухпоточной наблюдается сокращение времени выполнения расчетов на ~30 %. Увеличение числа потоков на два демонстрирует схожий относительный прирост производительности. Данная тенденция прослеживается и далее. Таким образом, дальнейшее увеличение числа потоков и, соответственно, задействованных ядер процессора, приведет к снижению затрат времени на расчеты, но в абсолютных значениях разница во времени для большого числа потоков будет невелика. Об этом свидетельствует и рост затраченного процессорного времени с увеличением числа потоков для технологий MPI и OpenMP, который связан с увеличением затрат времени на синхронизацию параллельных процессов. Отличия в поведении реализации программного модуля на базе Coarray могут быть обусловлены повышенными затратами времени на инициализацию параллельных образов или, потенциально, связаны с особенностями выполнения программного средства на данном оборудовании. Более ранние исследования показывают, что дальнейшее увеличение числа образов Coarray приведет к схожим затратам процессорного времени относительно других технологий.

Заключение. В соответствии с полученными результатами можно сделать вывод, что использованная технология матричного построения фундаментальных решений для многослойных сред с поверхностными и заглубленными объектами является эффективным инструментом, позволяющим точно учесть дисперсионные свойства многослойной среды, условия излучения энергии на бесконечность при взаимодействии объекта и основания, а также естественным образом распараллелить вычислительные процессы при совместном применении методов граничных интегральных уравнений и конечных элементов. Применение технологий Coarray, MPI и OpenMP для параллельных вычислений позволяет кратно снизить время работы программного модуля, не приводя к значительному увеличению затрат ресурсов. Применение различных технологий дает схожий прирост производительности программного модуля, а различия в затратах процессорного времени связаны с особенностями реализации технологии распараллеливания. Выбор оптимальной технологии зависит от конкретной реализации приложения и ограничений выбранной платформы. Так, в случае компиляции разработанного модуля в качестве DLL-библиотеки и интеграции в комплексное решение необходимо учитывать, что для работы технологии Coarray базовое приложение также должно быть реализовано на Fortran, а инициализация MPI-приложений происходит через утилиту mpiexec. В качестве альтернативы рассмотренным технологиям предлагается использовать OpenCL, OpenACC и CUDA, позволяющих проводить эффективные вычисления с использованием графических ускорителей. Исследование методик применения данных технологий для анализа сложных систем строительных конструкций и многослойных оснований является одним из приоритетных направлений дальнейших исследований.