Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в области с криволинейной границей

Автор: Киреев Виталий Александрович

Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau

Рубрика: Математика, механика, информатика

Статья в выпуске: 3 (55), 2014 года.

Бесплатный доступ

Рассматривается метод коллокации, базисными функциями которого выбраны бикубические многочлены Эрмита, применяемый к первой краевой задаче для эллиптического уравнения в области с криволинейной границей. Метод коллокации имеет некоторые преимущества по сравнению с методом конечных элементов Галеркина: не требуется вычислять интегралы для определения коэффициентов матрицы жесткости. Бикубические функции Эрмита принадлежат классу C 1. Для решения задачи строится согласованная с границей сетка. Сетка согласуется с границей так, чтобы два узла в нерегулярных ячейках лежали на криволинейной границе. Это позволяет уменьшить общее количество базисных функций в области. В качестве внутренних узлов коллокации берутся точки множества Гаусса. На криволинейной границе точки коллокации распределяются равномерно. Полученные решения обладают достаточно высоким порядком точности.

Еще

Метод коллокации, бикубический эрмитов базис, эллиптическое уравнение второго порядка, криволинейная граница

Короткий адрес: https://sciup.org/148177294

IDR: 148177294

Текст научной статьи Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в области с криволинейной границей

Широкое применение метода конечных элементов при решении дифференциальных уравнений с частными производными не уменьшает необходимости создания и использования новых методов, которые при более простом алгоритме реализации позволяют получить приемлемые решения с повышенной точностью.

Метод коллокации успешно применялся для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и уравнений с частными производными [2], в том числе для эллиптических уравнений второго порядка [3]. В них приближенное решение ищется в пространстве кусочноквадратичных функций на сетках с прямоугольными или треугольными ячейками. В работах [4; 5] рассматривается метод коллокации и наименьших квадратов. В работе [6] метод рассматривается в областях общего вида.

Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом имеет некоторые преимущества. Так, по сравнению с методом конечных элементов Галеркина не требуется вычислять интегралы для определения коэффициентов матрицы. Для общего линейного эллиптического оператора с достаточно гладкими коэффициентами и граничными условиями Дирихле, эрмитова коллокация обеспечивает точность O( h 4 ) в норме L 2 , где h – шаг сетки. Эрмитовы элементы более эффективны по сравнению с лагранжевыми элементами, так как размерность систем алгебраических уравнений оказывается меньше при одинаковом порядке аппроксимации [7].

При фиксированном значении одной из переменных бикубическая эрмитова функция и ее первая производная по этой переменной превращаются в одномерные эрмитовы кубические функции относительно другой переменной [8], это дает 16 степеней свободы в каждом прямоугольнике. Стандартный базис в одномерном случае состоит из функций двух типов, интерполирующих значения функции и ее производных соответственно на отрезке [ x j , x l ]:

I 1 в узле x = x j

Ф j = <               J ; ш l = 0 вовсех узлах;

[0 вдругих узлах дфj                    дш, I 1 вузле x = xl;

—- = 0 вовсехузлах; —L = < дx                   дx   [0 вдругихузлах.

На эти функции натянуты все кусочно-кубические функции класса С 1 . Эрмитово бикубическое пространство есть произведение двух эрмитовых кубических пространств, и четыре параметра в обычных узлах z = ( x j , y l) приводят к четырем соответствующим базисным функциям:

Ф 1 = Ф j ( x ) Ф 1 ( У X ф 2 = Ф j ( x ) ш 1 ( У X

Ф 3 = V j ( x ) Ф 1 (y ), ф 4 j (x ) ш 1 (y ).

Бикубические элементы (конечные элементы с базисом из бикубических эрмитовых элементов) применяются только на прямоугольниках (или, после простого линейного преобразования плоскости, на параллелограммах). На прямоугольной области эрмитов бикубический элемент – один из самых лучших. Его гладкость непосредственно следует из гладкости базиса. Поэтому бикубические элементы можно использовать для уравнений четвертого порядка, пробные функции будут принадлежать H 2 . Эрмитово пространство S h состоит из всех непрерывных кусочнобикубических функций v , у которых v x , v y , v xy непрерывны [9].

Рассмотрим первую краевую задачу для эллиптического уравнения в области Ω:

Lu = f , x e Q , u ( x ) = 0, x e 5Q ,

где Q = {( x , y ) | x 2 + y 2 1; x 0; y 0}; dQ - граница;

L – линейный эллиптический оператор второго по-

( д 2 u д 2 u )

рядка Lu = -1 —+ I .

x 2 д y 2 J

На примере решения этой задачи рассмотрим алгоритм метода коллокации. Суть метода заключается в том, что приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций, а неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокации и краевых условий. Уравнения коллокаций представляют собой требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокации), в которой ставится данная задача. Для получения краевых условий соответствующие условия задачи записываются в нескольких точках на границе области.

Для аппроксимации решения покроем область согласованной с границей сеткой с прямоугольными ячейками:

I               n i            . n j    .

wh =< x = sin—, y, = sin —, j = h I 1     2 N j 2 N

0 ,N,i = °_l (4)

0, N - i + 1, i = 1, N I

При этом ячейки сетки делятся на внутренние (регулярные), которые не содержат границы области, и граничные (нерегулярные). Сетка согласуется с границей так, чтобы два узла в нерегулярных ячейках лежали на криволинейной границе. Это позволяет уменьшить общее количество базисных функций в области. Общее число ячеек на такой сетке равно

= N ( N + 1).

el 2

В качестве базисных функций в каждой ячейке задаются бикубические многочлены Эрмита с 16 степенями свободы. В области [–1,1]×[–1,1] они определяются следующим образом [10]:

ф i ( z i ) = 1 , Ф / C z j ) = 0, i * j ;

дф /(Zi ) 1 дФ xi (zj) A ..

xi i = 1,-------— = 0, i * j ;

дxд дФ yi( zi) , дФ yi(zj) „ ..

y = 1, — y—— = 0, i * j ;

дyд д2Ф xyi( zi) , д 2Ф xyi(zj) „ ..

---y— = 1, —y—— = 0, i * j, дx дy        дx дy дф xyi (zj) = 0,дф xyi (zj) = 0, i, j = 1,2,3,4.

д x          д y

Для каждой ячейки точки коллокации берутся в нулях полинома Лежандра

P2 I^yx—xi—xi-L|, чтобы ( xi- xi-1 J достичь наибольшей возможной точности [11]:

^i,m = xc,i ± "6" hx,i, ^ym = Ус,J ±    hy, j, m = 1,2, где    xc,i

x + x - 1 „ _yj + yj - 1

2    , y c , j =      2

h x , - = x - x - 1 ,

h y , j = y j - y j - 1 , i = 1, ..., k , j = 1, ...,l.

При этом для прямоугольной области верна оценка || u - uh^ Ch4 ||u||H 4 (П) [12], где H m ( Q ) обозначает пространство Соболева с нормой

II v l H m ( Q )

. 2

0 < - + j m

d - + jv d x- d y-

2     12

L 2 ( Q ) у

Оценки в других нормах даны в работе [13].

В каждой граничной ячейке добавляются по 3 точки коллокации равномерно на границе:

^ xu 4 = cos —[- + 1 , - , k + 4        ( 2 N ( 4 JJ

§ y jfc+ 4 = sin |—f j + 1| , k = 1,2,3. j , k I 2 N I     4 J J

При такой расстановке общее число точек коллокации совпадает с общим числом базисных функций с учетом граничных условий и равно N ф = 2 N 2 + 5 N . На рис. 1 изображена построенная сетка с точками коллокации. Узлы сетки обозначены жирными точками, точки коллокации – крестами.

Рис. 1. Согласованная сетка и точки коллокации

Построенный метод коллокации аппроксимирует неизвестную функцию u функцией U в пространстве конечномерных функций V . В построенном базисе эрмитовых бикубических функций функция U равна:

u h ( x , y ) = 2 u h Ф n ( x , y ),               (6)

n = 1

где Ф n - эрмитовы бикубические базисные функции; n G – число точек коллокации; U n – коэффициенты.

Задача эрмитовой коллокации состоит в том, чтобы найти U е V , удовлетворяющее (1) в точках коллокации, т. е.:

Luh (^ , ^ y ,m ) = f (^m , ^ y ,m ) , ()£„ , ^ y ,m ) eQ ; 7 U h ( ^ x m , ^ y ,m ) = 0, ( ^ x m , ^ y m ) е dQ .

Решение задачи сводится к решению линейной системы Au = f , где элементы матрицы

A [ - j ij L Ф j ( x - , y - ) , ( x - , y - )eQ

, J [Фj (x-,y-),(x-,y- )edQ

вектор правой части f [-"] = f (x-, y-), (x-, y- )eQ 0, (x-, y- )edQ

Для исследования порядка сходимости приближенного решения U(x,y) к точному проведены расчеты на последовательности сеток при h→0. В табл. 1 приведены результаты численных экспериментов с решением u (x, y ) = sin (1 - x2 - y2) xy,              (8)

которое удовлетворяет уравнению Пуассона (3) с правой частью f (x, y) = 4xy(3cos(1 - x2 - y2) - (x2 + y2) sin(1 - x2 - y2)).

Таблица 1

Значения погрешности в норме L 2

N

N el

N φ

max

5 й = u - u h

δ 2 h h

log 2 2 h h )

3

6

33

0,5

4,93 x 10 - 4

6

21

102

0,2588

2,25 x 10 - 5

21,9

4,45

12

78

348

0,1305

1,18 x 10 - 6

19,1

4,25

24

300

1272

0,0654

6,32 x 10 - 8

18,7

4,22

48

1176

4848

0,0327

3,53 x 10 - 9

17,9

4,16

Численные эксперименты с другими функциями, удовлетворяющими граничным условиям, свидетельствуют о том, что порядок сходимости приближенного решения к точному при h →0 здесь не хуже 4. Порядок сходимости α вычисляется методом наименьших квадратов из || u - u h^L Ch max || u|| H 4 (Q) , где h max -максимальный линейный шаг по всем ячейкам сетки (табл. 2, рис. 2).

Таблица 2

Порядок сходимости для различных функций

Функция

Порядок сходимости α

u 1 = sin ( 1 - x 2 - y 2 ) xy

4,2779

u 2 = ( 1 - x 2 - y 2 ) sin ( nx ) sin ( n y )

4,2169

u 3 = ( ( 1 - x 2 - y 2 ) xy )

4,4270

u 4 = ( 1 - x 2 - y 2 ) sin ( xy )

4,3803

( 1 - x 2 - y 2 ) xy     ,

u 5 = ev        1 - 1

4,3953

Рис. 2. Распределение ошибки при разбиении на 10 ячеек

Результаты численных экспериментов показывают, что данный алгоритм обладает сходимостью повышенного порядка. Согласование узлов ячеек расчетной области с областью определения задачи позволяет увеличить теоретический порядок сходимости метода и уменьшить размерность пространства базисных функций. При этом по сравнению с методами Галеркина и Ритца метод коллокации более прост в реализации, так как нет скалярных произведений, а значит, не нужно интегрировать. Вместе с этим эффективно используются бикубические эрмитовы базисные функции, так как по сравнению с лагранжевыми они показывают больший порядок аппроксимации.

Список литературы Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в области с криволинейной границей

  • Russell R.D., Shampine L.F. A collocation method for boundary value problems//Numer. Math. 1972. Vol. 19. P. 1-28.
  • Leyk Z. A Co-collocation-like method for elliptic equations on rectangular regions//Australian Math. Soc.B. Appl. Math. 1997. Vol. 38. P. 368-387.
  • Слепцов А.Г. Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач//Моделирование в механике. 1987. Т. 5(22), № 2. С. 101-126.
  • Исаев В.И., Шапеев В.П., Идимешев С.В. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнения Пуассона//Вычислительные технологии. 2011. Т. 16, № 1. С. 85-93.
  • Беляев В.В., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей//Вычислительные технологии. 2000. Т. 5, № 4. С. 13-21.
  • Houstis E.N., Mitchell W.F., Rice J.R. Collocation Software for Second-Order Elliptic Partial Differential Equations//ACM Transactions on Mathematical Software. 1985. Vol. 11, no. 4. P. 379-412.
  • Gileva L., Shaydurov V., Dobronets B. The triangular Hermite finite element complementing the Bogner-Fox-Schmit rectangle//Applied Mathematics. 2013. Vol. 5, no. 12A. P. 50-56.
  • Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
  • Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 351 с.
  • Dobronets B.S. Combined bicubic Hermite finite element method//The First China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications in Radiative Hydrodynamics. China, (October 16-18, Beijing). 2012. 19 p.
  • Mateescu G., Ribbens C.J., Watson L.T. A Domain Decomposition Preconditioner for Hermite Collocation Problems//Computer Science, Virginia Tech: Technical Report TR-02-02, 2002.
  • Prenter P.M., Russell R.D. Orthogonal collocation for elliptic partial differential equations//SIAM J. Numer. Anal. 1976. Vol. 13, no. 6. P. 923-939.
  • Bialecki B., Xiao-Chuan C. H1-norm error bounds for piecewise Hermite bicubic orthogonal spline collocation schemes for elliptic boundary value problems//SIAM J. Numer. Anal. 1994. Vol. 31, no. 4. P. 11281146.
Еще
Статья научная