Метод конечных элементов для эластических проблем

Изопараметрические низкоординатные помехи очень популярны в механике твердого тела из-за их простоты. Основным недостатком, однако, является так называемая блокировка эффекта. В частности, объемная блокировка встречается, когда материал почти несжимаем. В случае линейной эластичности стало хорошо известно, как преодолеть блокировку численно, и несколько популярных методов было доказано, что они эквивалентны.

Недавно также была упрощена математическая обработка. Ситуация с нелинейной упругостью менее удовлетворительна. В настоящей статье мы рассмотрим почти несжимаемый материал нео-Гука. Пусть v - поле смещанний в ограниченной области ПсО ² с гладкой границей. Накопленная энергия и нагрузка дают общую энергию:

Л ( v )^: = C /^ J ( Id + V v |² — 2) dx + 1 J |det ( Id + V v ) - 1| ² dx - J fVdx.           (1.1)

Q                     Q                     Q

Здесь, C _o является положительным физическим параметром, связанный с параметром ц , а 1 является характеристикой сжимаемости. В частности, здесь у нас есть 1 □ C _o. Для точности обозначим C _o = 1 в дальнейшем. Эта модель (и ее анализ) имеет характерную черту нелинейных теорий. Мы находим определитель det( Id +V v ) в выражениях в тех местах, где divv встречается в линейных теориях. Результате, смещение u = (и_х , и_г ) характеризуется минимизацией J ( v ) , т.е.

J i ⁽и ) = min J i ⁽ v ) ,                                 ⁽1.2)

veW где W := {v е Wo1.4 (Q) |det(Id + Vv) > 0, Q} .

Преимущество этой модели состоит в том, что она основана на формулировку ориентированной смещение, которая облегчает реализацию. Модель избегает жестких ограничений. С другой стороны, есть большой параметр и опасность блокировки. Чтобы избежать блокировки в данной нелинейной задаче, мы будем использовать приведенный функционал энергии при выполнении дискретизации с конечными элементами младшего порядка.

Пусть  Xh -  пространство конечных элементов, решение  uh минимизирует функционал приведенной энергии

Jx>h (v) := 12 J (IId + Vv|2 - 2)dx + Я J По(det (Id + Vv) — d)l2 dx — J fdx’ Q                      Q                          Q где По обозначает L2 -проекцию на некоторое конечное пространство элемента Mh.

Анализ будет основана на эквивалентном смешанном методе. Для этого переменное давление вводится как, p := Я(det(Id + Vv) -1)

и возникает формулировка седловой точки со штрафным слагаемым. Хотя такое метод и - p -формулировки эквивалентна с усилением предполагаемых деформаций используется в линейном случае. В нелинейном случае есть некоторые отличия. Вместо использования проекции определителя Id + V v .

Например, можно рассмотреть проекции четырех матричных элементов. Это будет использовано в предстоящем этапе. Нелинейная задача будет рассмотрена с помощью гомотопического аргумента. Поскольку нелинейности ограничены нормами L∞ , погрешность L∞ должна контролироваться для гомотопии. Как следствия, мы получаем логарифмические члены с большей степенью, чем в линейном случае.

Подчеркнем, что нам не требуется малость нелинейностей. Достаточно иметь хорошую дискретизацию, чтобы можно было управлять нелинейными членами с разностью u - u и p - p .

Обозначим О функцию через W m ^{, p} ( О ) с помощью стандартное Соболевское пространство, снабженное нормой и полунормой как,

m

II С, : =SI ЧР„ и И, ДЕ H p^ k = 0 П | “ = k

Здесь “ = ( “ , “ ) - мульти-индекс, чьи компоненты “ являются неотрицательными целыми числами, в результате получим - α = α + α и ^ “ =д “ / д х “ д х “ . Для краткости, если p = 2 , индекс p будет отброшено, W m ² ( О ) обозначим как H ^m ( О ) . Как обычно, H 1 ( 0 ) является подпространством функций H 1 ( 0 ) с исчезающими следами на Г : =дО , и H о ( О ) которое соответствующее пространство 2-вектор-функций. В более общем смысле мы используем полужирные буквы для обозначения вектор-пространств и операторов. Более того, H ^{- 1} ( О ) - это двойственное пространство H 1 ( 0 ) , обозначает двойное спаривание H 1 ( 0 ) и H ^{- 1} ( О ) или H ‘ 1 ( 0 ) и H ^/_1( О ) соответственно. Внутреннее произведение в L ²( O ) .

Во множестве X := H1(0) и M := L2(O). Как обычно X' и M' являются двойственными пространствами. Для вектора х е R2 зададим х1 := х2 - х . Для векторов х = (х,,х2) и у = (у„у2) е R2, х®у - матрица 2х2 с элементами (х ® у)у:= x^j. Для матрицы A, adj A := (CofA)T = CofAT, где Cof A матрица кофактора A. Матричный продукт определено как A: B = tr(ATB). Обратите внимание, что det(A + B) = det A + cofA: B + det B                           (2.1)

справедливо для любых матриц 2 х 2. Проблема (1.2) все еще имеет нежелательное ограничение. Мы считаем, что минимизация упругой энергии (1.2) над W 1,2(П) вместо W и через точку ограничения det(Id + Vv) > 0 может быть задернута апостериори. Поскольку предполагаются нулевые граничные условия    (IId + Vv|2 - 2)dx =  (Vv)2 dx..  Уравнение Эйлера-Лагранжа для nn минимизации (1.1) есть (2.2) A(u,v) = (f,v),   Vv e W1,4(П), с нелинейным функционалом A(u, v) = (Vu, Vv) + 2(det(Id + Vu) -1, Cof (Id + Vu): Vv).

В силу своей идентичности, div (CofA) = 0, всякий раз, когда A является градиентом гладкого векторного поля. Поэтому A(u, v) можно переписать как,

A(u, v) = (Vu, Vv) + 2(det(Id + Vu)-1,div(adj(Id + Vu)v)).