Метод конечных элементов для эластических проблем
Автор: Каримов Ш., Адилов А.
Журнал: Мировая наука @science-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 3 (36), 2020 года.
Бесплатный доступ
В случае больших деформации необходимо учитывать нелинейный характер объемного вклада. Предлагаемый смешанный метод в этом случае также позволяет избежать объемной блокировки и является устойчивым для . Оценки погрешности для нормы , имеют решающее значение в управлении нелинейными членами.
Эластическая проблема, метод конечных элементов, параметрическая функция, несжимаемый материал нео-гука
Короткий адрес: https://sciup.org/140265307
IDR: 140265307
Текст научной статьи Метод конечных элементов для эластических проблем
Изопараметрические низкоординатные помехи очень популярны в механике твердого тела из-за их простоты. Основным недостатком, однако, является так называемая блокировка эффекта. В частности, объемная блокировка встречается, когда материал почти несжимаем. В случае линейной эластичности стало хорошо известно, как преодолеть блокировку численно, и несколько популярных методов было доказано, что они эквивалентны.
Недавно также была упрощена математическая обработка. Ситуация с нелинейной упругостью менее удовлетворительна. В настоящей статье мы рассмотрим почти несжимаемый материал нео-Гука. Пусть v - поле смещанний в ограниченной области ПсО 2 с гладкой границей. Накопленная энергия и нагрузка дают общую энергию:
Л ( v ): = C /^ J ( Id + V v |2 — 2) dx + 1 J |det ( Id + V v ) - 1| 2 dx - J fVdx. (1.1)
Q Q Q
Здесь, C o является положительным физическим параметром, связанный с параметром ц , а 1 является характеристикой сжимаемости. В частности, здесь у нас есть 1 □ C o. Для точности обозначим C o = 1 в дальнейшем. Эта модель (и ее анализ) имеет характерную черту нелинейных теорий. Мы находим определитель det( Id +V v ) в выражениях в тех местах, где divv встречается в линейных теориях. Результате, смещение u = (их , иг ) характеризуется минимизацией J ( v ) , т.е.
J i (и ) = min J i ( v ) , (1.2)
veW где W := {v е Wo1.4 (Q) |det(Id + Vv) > 0, Q} .
Преимущество этой модели состоит в том, что она основана на формулировку ориентированной смещение, которая облегчает реализацию. Модель избегает жестких ограничений. С другой стороны, есть большой параметр и опасность блокировки. Чтобы избежать блокировки в данной нелинейной задаче, мы будем использовать приведенный функционал энергии при выполнении дискретизации с конечными элементами младшего порядка.
Пусть Xh - пространство конечных элементов, решение uh минимизирует функционал приведенной энергии
Jx>h (v) := 12 J (IId + Vv|2 - 2)dx + Я J По(det (Id + Vv) — d)l2 dx — J fdx’ Q Q Q где По обозначает L2 -проекцию на некоторое конечное пространство элемента Mh.
Анализ будет основана на эквивалентном смешанном методе. Для этого переменное давление вводится как, p := Я(det(Id + Vv) -1)
и возникает формулировка седловой точки со штрафным слагаемым. Хотя такое метод и - p -формулировки эквивалентна с усилением предполагаемых деформаций используется в линейном случае. В нелинейном случае есть некоторые отличия. Вместо использования проекции определителя Id + V v .
Например, можно рассмотреть проекции четырех матричных элементов. Это будет использовано в предстоящем этапе. Нелинейная задача будет рассмотрена с помощью гомотопического аргумента. Поскольку нелинейности ограничены нормами L∞ , погрешность L∞ должна контролироваться для гомотопии. Как следствия, мы получаем логарифмические члены с большей степенью, чем в линейном случае.
Подчеркнем, что нам не требуется малость нелинейностей. Достаточно иметь хорошую дискретизацию, чтобы можно было управлять нелинейными членами с разностью u - u и p - p .
Обозначим О функцию через W m , p ( О ) с помощью стандартное Соболевское пространство, снабженное нормой и полунормой как,
m
II С, : =SI ЧР„ и И, ДЕ H p^ k = 0 П | “ = k
Здесь “ = ( “ , “ ) - мульти-индекс, чьи компоненты “ являются неотрицательными целыми числами, в результате получим - α = α + α и ^ “ =д “ / д х “ д х “ . Для краткости, если p = 2 , индекс p будет отброшено, W m 2 ( О ) обозначим как H m ( О ) . Как обычно, H 1 ( 0 ) является подпространством функций H 1 ( 0 ) с исчезающими следами на Г : =дО , и H о ( О ) которое соответствующее пространство 2-вектор-функций. В более общем смысле мы используем полужирные буквы для обозначения вектор-пространств и операторов. Более того, H - 1 ( О ) - это двойственное пространство H 1 ( 0 ) , обозначает двойное спаривание H 1 ( 0 ) и H - 1 ( О ) или H ‘ 1 ( 0 ) и H /_1( О ) соответственно. Внутреннее произведение в L 2( O ) .
Во множестве X := H1(0) и M := L2(O). Как обычно X' и M' являются двойственными пространствами. Для вектора х е R2 зададим х1 := х2 - х . Для векторов х = (х,,х2) и у = (у„у2) е R2, х®у - матрица 2х2 с элементами (х ® у)у:= x^j. Для матрицы A, adj A := (CofA)T = CofAT, где Cof A матрица кофактора A. Матричный продукт определено как A: B = tr(ATB). Обратите внимание, что det(A + B) = det A + cofA: B + det B (2.1)
справедливо для любых матриц 2 х 2. Проблема (1.2) все еще имеет нежелательное ограничение. Мы считаем, что минимизация упругой энергии (1.2) над W 1,2(П) вместо W и через точку ограничения det(Id + Vv) > 0 может быть задернута апостериори. Поскольку предполагаются нулевые граничные условия (IId + Vv|2 - 2)dx = (Vv)2 dx.. Уравнение Эйлера-Лагранжа для nn минимизации (1.1) есть (2.2) A(u,v) = (f,v), Vv e W1,4(П), с нелинейным функционалом A(u, v) = (Vu, Vv) + 2(det(Id + Vu) -1, Cof (Id + Vu): Vv).
В силу своей идентичности, div (CofA) = 0, всякий раз, когда A является градиентом гладкого векторного поля. Поэтому A(u, v) можно переписать как,
A(u, v) = (Vu, Vv) + 2(det(Id + Vu)-1,div(adj(Id + Vu)v)).
Список литературы Метод конечных элементов для эластических проблем
- P.Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston 1985.
- H. Le Dret, Constitutive laws and existence questions in incompressible nonlinear elasticity, 369-387(1985).
- L.R. Treloar, The Physics of Rubber Elasticity, Oxford University Press, Oxford, 1975.
- P.G. Ciarlet, Finite Element Methods for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.