Метод линейного программирования в экономике

Принятие управленческих решений является наиболее важным видом деятельности любого менеджера. Это функция всегда была самой сложной, но и наиболее важной в деятельности организации [4].

Как один из методов принятия управленческих решений можно использовать линейное программирование. В настоящее время это одно из наиболее применяемых методов математической теории оптимального принятия решений.

Под линейным программированием понимается наука о методах поиска, исследования и нахождения наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения, то есть задачи линейного программирования можно отнести к задачам на условный экстремум функции.

В основе линейного программирования (ЛП) лежит решение системы линейных уравнений, когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Применение линейного программирования возможно только в случаях, если изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов [5].

Все экономические задачи, которые можно решить с помощью линейного программирования, всегда отличаются наличием альтернативных решений и конкретными ограничивающими условиями. Решение таких задач подразумевает выбор из всех допустимых (альтернативных) вариантов лучший, т.е. оптимальный. Важность и ценность использования метода линейного программирования в экономике состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из большого числа альтернативных вариантов [2].

Пример использования метода линейного программирования можно рассмотреть на оптимизации расходов на рекламу.

Предположим, что организация имеет следующие затраты на рекламу (таблица 1).

Таблица 1 – Затраты на рекламу организации, руб.

Вид рекламы	Затраты, руб.	Частота выхода раз в месяц	Прибыль от вида рекламы, руб.
Реклама в газете	2900	2	3500
Телереклама	12000	60	20000
Бегущая строка	5000	180	15000
Итого	19900		38500

Для того чтобы оптимизировать расходы на рекламу и не потерять получаемую прибыль можно воспользоваться моделью линейного программирования. В силу того, что организация, как рыночный субъект, всегда ограничена в финансовых средствах, а используемые ею рекламные каналы, в свою очередь, также ограничены тиражом и количеством выпусков, решение данной проблемы вполне укладывается в решение задачи целочисленного линейного программирования.

Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений. В нашем случае такими ограничениями является прибыльность каждого вида рекламы [1].

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. При постановке задачи линейного программирования используется следующая функция:

F(x) = c 1 *x 1 + c 2 *x 2 + … + c n *x n min (max) (1)

А ограничения представлены в виде неравенств:

(CL11X1 + ] ^21X1 + кап1х1 + ^21х2 +   ■”  +  ^1тхп > ^1 ^22х2 +  ■"  +  ^2тхп > ^2                        (2) ^п2х2 +  ■” +  ^птхп > ^п где x1,…, xn – входные переменные;

c1,…, cn; a11,…, anm; b1,…, bn – числа положительные, отрицательные и равные нулю.

При постановке задачи линейного программирования, была установлена задача на минимизацию расходов на рекламу при неизменной прибыли. Опираясь на формулу (1) получаем следующую целевую функцию:

F(x) = 2900x1 + 13000*x2 +5000*x3 min где x1 – реклама в газете; x2 – телереклама; x3 – бегущая строка.

При ограничениях (формула (2)):

{

1х 1

3500х1 +

Через

> 3500

60х2            > 20000

180х3  > 15000

20000х2 +  15000х3 > 38500

функцию «Поиск решения» программы Excel автоматически

находятся оптимальные значения затрат, при заданных ограничениях. Так как целевая функция стремится к минимизации, то найденные значения будут являться оптимальными. Полученные значения затрат, после оптимизации представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Данные о расходах на рекламу организации после оптимизации

Вид рекламы	Затраты отчетного периода, ед./руб.	Затраты после оптимизации, ед./руб.	Частота выхода раз в месяц	Выручка от вида рекламы, ед./руб.
Реклама в газете	2900	2003	2	3500
Телереклама	12000	8333	60	20000
Бегущая строка	5000	2283	180	15000
Итого	19900	12619		38500

Таким образом, после применения оптимизации рекламных расходов, через применение метода линейного программирования, затраты на рекламу организации могут уменьшиться на 7281 ед./руб. при сохранении объемов прибыли.

Таблица 3 – Расходы на рекламу организации с учетом количества выходов

Вид рекламы	Частота выхода раз в месяц	Затраты отчетного периода, руб.	Затраты после оптимизации, руб.	Изменение, руб.
Реклама в газете	2	5800	4006	- 1794
Телереклама	60	720000	499980	- 220020
Бегущая строка	180	900000	410940	- 489060
Итого		1625800	914926	- 710874

Применяя метод линейного программирования для оптимизации расходов на рекламу, организация сможет высвободить 711 тыс. руб., т.е. сократить расходы на эту сумму. Высвободившиеся средства, как и при реализации 1 мероприятия, предлагается направить на погашение задолженности по краткосрочным кредитам и займам.

Таблица 4 – Результаты применения оптимизации расходов на рекламу организации, через применение линейного программирования, тыс. руб.

Наименование показателя	Отчетный период	Оптимизированное значение показателя	Изменение
Выручка	6204	6204	-
Себестоимость	4398	3687	- 710874
Прибыль от продаж	1806	2517	+ 710874
Краткосрочные кредиты и займы	4540	3829	- 710874
Коэффициент автономии	0,24	0,28	+ 0,04
Коэффициент финансовой устойчивости	0,51	0,55	+ 0,04

Опираясь на данные представленные в таблице 4, можно сказать, что мероприятие по оптимизации расходов на рекламу организации способствовало улучшению финансовой устойчивости.