Метод математического описания нелинейной фильтрации

В данной статье рассматривается проблема математического описания процессов фильтрации в пористой среде жидкости или газа с выраженными нелинейными эффектами в области сверхнизких и высоких скоростей.

Типичной задачей при моделировании гидродинамических процессов является расчет перепада или градиента давления при фильтрации текучих сред (ТС) через пористую среду в контрольном объеме, представленном ячейкой – элементом модели с плоскими гранями [4]. Модель элемента пласта – ячейки, представлена в виде параллелепипеда (или более сложной формы, но плоскими гранями), ограничивающего форму и размеры определенной части пласта (рис. 1).

Рис. 1. Схема элемента гидродинамической модели (ГДМ).

Для удобства дальнейшего описания и вследствие явного подобия закона Дарси закону Ома в случае соблюдения линейного закона фильтрации, будем понимать под гидравлическим сопротивлением ячейки i пласта между определенной парой граней, отношение

R

( S )

где        S рассматривается APs = Pc - Pgr an

Apg   Па • с вдоль которой в      элементе;

3 q g L м

– ось, течение

–– перепад давления между центром ячейки и одной из граней; qg – объемный расход флюида через грань g.

Таким образом, замыкающее отношение, соответствующее линейному закону течения Дарси вдоль оси S в ячейке будет

APg = fg(qg) = p ^L^r qg = RiS) qg•(2)

где S – ось – направление от центра ячейки к ее грани gran , 0= X, 1 =Y, 2 =Z ; L _S – длина ячейки вдоль оси S , м; F _gran – площадь грани (средняя площадь фильтрации), м²;

Сопротивление согласно (1) и (2)

r ^(S )

L

= ^p 2— > ⁽³⁾

t ( S )

где        – абсолютная проницаемость породы ячейки вдоль оси S, м2.

Направления фильтрации ТС будем условно полгать только вдоль осей X , Y и Z .

Наличие множества компонентов текучих сред при фильтрации учитывается согласно относительным проницаемостям. В этом случае сопротивление фильтрации компонента Ф вдоль оси S ячейки будет (рис. 1)

R ^S - = p------- N L ---------•⁽⁴⁾

Y HR Л» ("'k 'S) Fg i=1, i * j где Yj (^j) - функция относительной фазовой проницаемости (ОФП) компонента j от его объемной насыщенности - о j , д.е.; Ц j - динамическая вязкость компонента j., Па • с; ^t (^) — функция относительного изменения ОФП компонента j от насыщенности компонента i, д.е.; N – количество рассматриваемых компонентов, шт.

По сути, функция f ( q_g ) отражает закон фильтрации, иначе говоря, закон вязкостного внутрипорового трения, который также может быть получен через функцию градиента давления от скорости фильтрации

dp     < х V • р

— = g0(«) = ——to • (5) dl            k fg(qg) = Go

qt

V g 7

dl , (6)

где to = -^-g- - скорость фильтрации через грань gran, Fg м/с; qg - объемный расход среды, м3/с; V - кинематическая вязкость, м2/с; kф – фазовая проницаемость, м2; р - плотность флюида, кг/м3; <Г0(to) - функция линейного закона внутрипорового трения; о - объемная насыщенность, д.е.; m – текущая пористость, д.е.

Описанные отношения (1–6) соответствуют линейному закону фильтрации. Вследствие того, что при моделировании реологических проявлений, фильтрации в трещинах и высокопроницаемых каналах возникают существенные или сверхнизкие скорости течения флюидов с доминированием капиллярных сил, необходимо учитывать нарушение линейного закона.

Так как на данный момент вопрос нарушения закона фильтрации Дарси не исчерпан, здесь предлагается несколько вариантов математического описания моделей – законов фильтрации для учета результатов лабораторных исследований керна при их интегрировании в общую ГДМ месторождения.

1. Общий случай – нелинейные произвольные законы фильтрации. Нелинейный закон фильтрации (I приоритет) по функции корректировки градиента давления от числа Рейнольдса - ст, ( to )

dp = ст i ( to ) = ^ Rd (Re) to (7) dl            k

ф - показатель нелинейности, д.е., который задается в исходных данных.

Переход от линейного к нелинейному закону фильтрации определяется числом Рейнольдса по Щел-качеву

Re = to

где Rd (Re) – функция, зависящая от числа Рейнольдса для пористых сред и показывающая увеличение или уменьшение сопротивления при изменении Re. Функция Rd (Re) равна 1 д.е., если линейный закон фильтрации соблюдается.

Данная функция может задаваться в исходных – настроечных данных формулой или табулирована с последующей интерполяцией.

Здесь Re = ^ист‘ф — число Рейнольдса, д.е.

v

. (12) m ' v

Критическая скорость и соответствующей ей критический градиент давления

^to Kp

( dP )

V dl J

to ист

q g – истинная скорость фильтрации, м/с.

Fg -ст • m

2. Общий случай – нелинейные произвольные законы фильтрации. Нелинейный закон фильтрации (II приоритет) учитывается в функции корректировки градиента давления в зависимости от истинной скоро-

сти

^CT II ^{( to )} . Данная функция

задается в исходных

данных формулой или табулирована с последующей интерполяцией

dp = стп (to) = ^ 5(toucm>, (8) dl            k

где 5 ( to_ucm) — зависящая от истинной скорости фильтрации и показывает увеличение или уменьшение сопротивления при изменении to_cт . Функция равна 1 д.е., если закон соответствует закону Дарси.

3. Частный случай – нелинейный составной закон фильтрации (III приоритет) - ct_/j7 ( to ) .

Для расчета зависимости градиента давления от скорости фильтрации или наоборот требуется разделить закон фильтрации ст_ш ( to ) на две области опре-

деления:

– первая соответствует линейному закону филь-

трации

т = kjL_ dP = а dP, т,. а = ‘^  (9)v • р dl     dl          v • р

– вторая соответствует нелинейному закону фильтрации

to = B— • X + A при P— >  0 (10) V dl )

to = -

B (dp

dl

X Ф

•X + A

J

dp при    < 0 (11)

dl

где X - коэффициент равный 1 Па/м; A и B – коэффициенты, отыскиваемые в процессе настройки СТ III ( to ) ;

m 23v

^Re кр ^,

= дР кр = ^to Kp - , (13) кр               ^a

где Re кр – критическое число Рейнольдса (задается в исходных данных), д.е.

Коэффициенты A и B находятся решением системы уравнений

<

а§Ркр = B (g—кр •х)ф + A

а = ф • B • дрф 1

a

B=—FT, A=a • дРкр ф-дрф,

a

—

ф- gp.

^ (14)

фн др ^фр (15) кр

Рис. 2. Составной закон фильтрации для различных коэффициентов ф при a =1.

На рис. 2 показаны примеры составного закона фильтрации. Градиент давления при известной скорости фильтрации для данного (составного закона фильтрации) можно определить решением уравнения

to - A

B

/ ф

dp      to - A

^ — • X = —     (17)

dl     V B J

Основные отличия рассматриваемой здесь мето дики расчета fg (qg) заключаются в возможности

гибкой настройки ГДМ для произвольных законов фильтрации, которые могут быть выявлены в результате проведения лабораторных испытаний пропускания ТС через керн в широком диапазоне расходов.

Фаза расчета перетоков между ячейками в ГДМ для любого момента времени в случае заданного закона фильтрации любым из предлагаемых способов требует решения нелинейного (в общем случае) уравнения относительно неизвестной скорости фильтрации при заданном перепаде давления между давлением в центре ячейки и среднего давления на каждой ее грани (рис. 3).

Грань g

Рис. 3. Схема расчета перетока между ячейками.

Неизвестный расход флюида – q через грань – g можно рассчитать решив уравнение вида

^A p gran    P c    p gran   fgran ⁽ q gran )    ^ 0, I, II, III

-— ^ dl F

V gran V

при известном перепаде давления A P g .

Учитывая возможность выбора трех вариантов за кона фильтрации из  сг0 (to), ^ (to), ам (to) и oin (to) в дальнейшем будем полагать закон вязкостного внтурипорового трения заданным для каждой ячейки в виде функций, связывающих градиент давления и скорости фильтрации СТ, (to) , где i - глобальный или локальный индекс ячейки. Если далее индекс не указан, то значит, имеется ввиду общий случай.

. ( dP )

Как видно из графика (рис. 4) I I - критиче-V dl А ский градиент начала фильтрации, который складывается из градиента начала течения для флюида (задается в «PVT» свойствах флюида[1]) и из градиента начала фильтрации порового пространства пласта, который задается в свойствах каждого пласта.

Решение уравнения для нахождения скорости фильтрации от градиента давления, создаваемого внешними силами при не учете второго закона Ньютона происходит следующим образом. Из сложившегося градиента давления вычитается критический градиент давления, а затем функция закона фильтрации принимается проходящей через начало координат.

Рис. 4. Общий вид зависимости закона фильтрации.

Т.е. решается уравнение относительно скорости фильтрации

dp Г dp ] --- di V di A

= ^ ( to) , (19)

где ^ ( to ) - закон фильтрации, который может быть одним из четырех (линейный и нелинейные I, II, и III приоритеты.

Известно, что большинство фильтрационноемкостных свойств (ФЕС) динамичны и изменяются в зависимости от внутрипорового давления.

Так, например, при изменении пористости, вызванным изменением внутрипорового давления, изменяется и абсолютная проницаемостть, а, следовательно, и все фазовые проницаемости (рис. 5). В общем виде Pm (dm) – это функция относительного прира- щения проницаемости от относительного приращения пористости.

о                  m - m₀

Здесь величина dm =-----— - относительное m о приращение пористости, д.е.; 5k - относительное изменение проницаемости при относительном прира-

Рис. 5. Зависимость относительного изменения (множителя) проницаемости от относительного приращения пористости.

Т.е. итоговой абсолютной проницаемостью в любом из законов фильтрации будет k = кО = к0 вт

( m - m o )

v m o 7

Также возможно предусмотреть корректировку абсолютной проницаемости от внутрипорового давления напрямую через функцию в О р ) (Р ^ис - 6).

Рис. 6. Зависимость относительного изменения (множителя) проницаемости от относительного приращения давления.

В большей части случаев рассмотренного в статье математического описания достаточно для адаптации ГДМ посредством прямого переноса закона фильтрации из лабораторных исследований керна в модель через (7) и (8). Такие закономерности в целом сходны с видом функции на рис. 4 и отражают: критический градиент давления начала течения, повышенные сопротивления на низких и высоких скоростях течения, линейный закон фильтрации на некоторых средних скоростях течения.