Метод Монте Карло для оценки экзотических опционов

Аналитические методы не являются оптимальными для оценки экзотических опционов ввиду таких весомых причин как отсутствие формул для некоторых структур в принципе и нестандартизированного подхода, вызывающего риски и сложности оценки. Обращаясь к численным методам, состоящим из биноминальных моделей, метода конечных разностей и метода Монте-Карло, можно отметить, что первый метод является упрощенным и не подходит для большинства экзотических структур, второй метод не всегда является оптимальным по таким же соображениям, как и аналитические методы. Целесообразно рассмотреть метод Монте-Карло, так как он обладает рядом преимуществ:

• •     Универсальный метод

• •     Интуитивно понятный метод

• •     Позволяет оценивать величины, по которым известна лишь

форма распределения их вероятности

Метод Монте-Карло заключается в оценке математического ожиданиявыплаты, которую опцион сгенерирует для его владельца, путем многократного генерирования возможных ценовых движений базового актива. Среднее арифметическое полученных значений будет равно ожидаемой выплате, при этом чем больше чисел будет сгенерировано, то есть чем больше будет совершено итераций, тем точнее будет результат, полный набор итераций образует симуляцию. Подобные несложный процесс обуславливает универсальность и интуитивность применения метода.

Для симулирования цены базового актива необходимо использовать предположение о логнормальном распределении, так как именно оно удовлетворяет условиям стохастического анализа и соответствует модели движения цены акции, которая лежит в основе модели Блэка-Шоулза. Формула для оценки значения базового актива S_T в момент времени экспирации выглядит следующим образом:

ST = S0 * exp([p - 0,5o2]t + o^t * N0i1 (1.60),

где:

р - ожидаемая доходность базового актива;

о - стандартное отклонение доходности акции;

N_0>1 — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение с матожиданием, равным нулю и стандартным отклонением равным единице.

Следует отметить, что данная формула применима для движения цены акции или индекса, для активов наподобие облигации и процентных деривативов необходимо моделировать поведение процентной ставки, от которого будет зависеть цена инструмента.

Данная    формула    является    решением    стохастического дифференциального уравнения, описывающего движение цены базового актива. Соответственно сам метод Монте-Карло можно описать следующей формулой90:

Option Value = e-rT * 12^=1 f(T>sd, (1.61)

где,

N – количество итераций;

S [ - полученные при симуляции значения цены S_T ;

/ - функция от времени и стоимости базового актива S_T .

Из формулы следует, что метод работает только с ожидаемыми выплатами не являющимися экстремальными для рынка или экстраординарными событиями, но если получаются такие значения этот эффект легко нивелируется благодаря центральной предельной теореме, согласно ее следствиям Метод-Карло стремится к точной оценки NPV опциона при стремлении количества итераций к бесконечности.

• ⁹⁰ An introduction to Equity Derivatives: Theory and Practice - S´ebastien Bossu, Philippe Henrotte, John Wiley &

Sons, c 78

Современные вычислительные мощности позволяют выбирать наибольшее количество итераций, для получения наиболее точного результата можно использовать их количество равное нескольким миллионам.

Процесс оценки опционов методом Монте-Карло включает в себя следующие этапы:

• 1)    Выбор опционного контракта

• 2)    Определение структуры выплат по опционному контракту

• 3)    Генерация случайного будущего временного ряда цены базового актива, процесс происходит N раз, где N – число итераций при симуляции. Математическое ожидание стоимости базового актива должно быть уставлено исходя из значения безрисковой ставки. Это является очень важным аспектом оценки методом Монте-Карло – оценка происходит в риск-нейтральном мире

• 4)    Расчет выплаты по опциону – на основании будущей стоимости базового актива, подсчитанного в предыдущем пункте определяется выплата по опциону, количество рассчитанных выплат должно равняться N, то есть количеству итераций

• 5)    После получения спектра возможных выплат происходит расчет среднего значения выплаты

• 6)    Среднее значение выплаты дисконтируется по безрисковой ставке и в итоге полученное значение является стоимостью опциона, то есть net present value (NPV) контакта

Исходя из процесса видно, что премия по опциону есть дисконтированное значение математического ожидания среднего значения выплаты, дисконтированное к дате оценке по безрисковой ставке.

Для path-dependent опционов следует обратить внимание на структуры выплаты и правильно внести ее в модель, так как на первый взгляд простая и нетривиальная структура может нести в себе «подводные камни»: для оценки простых опционов достаточно симуляции конечной цены базового актива, в то время как для опционов, зависящих от движения цены базового актива необходимо просчитывать не только конечную цену базового актива, но результат ее поведения в течение действия опционного контракта (например, для азиатского опциона среднее значение цены или минимальное и максимальное значение цены для lookback опционов).

На практике подобные расчеты происходят в программе Microsoft Office Excel с применением VBA (Visual Basic for Applications), для более гибкого анализа и удобной калибровки возможно использование языка программирования, также альтернативой может являться пакет R с открытым кодом, где практически для любого типа опционов можно найти готовые пользовательские разработки ( с детальным описанием и внести изменения в код с соответствующими изменениями, но данный подход требует углубленных знаний программирования и самой среды R, поэтому альтернативой остается либо использование готовых пакетов в R, что исключает некоторую гибкость, либо использование Excel.

"Экономика и социум" №5(24) 2016