Метод построения определяющих соотношений для текучих анизотропных нелинейно упругих тел

В терминах теории определяющих соотношений механики сплошных сред сочетание свойств текучести и анизотропии характеризует материалы, которые в физике, физической химии и технике обычно называют жидкими кристаллами (текучесть ассоциируется с жидкостью, а анизотропия - с кристаллами). Хотя первоначально открытие материалов с такими необычными свойствами не вызвало особого интереса среди ученых (физиков и химиков) и даже в течение длительного времени вообще игнорировалось (по той причине, что вступало в противоречие с традиционными представлениями о существовании трех состояний вещества: твердого, жидкого и газообразного), в дальнейшем оказалось, что они находят чрезвычайно широкое применение в различных технических устройствах в качестве средства, индикации.

Интерес совершенно иного рода, материалы указанного типа, представляют для теоретических и прикладных исследований в рамках механики сплошных сред. Дело в том, что обычно свойство текучести материалов, не являющихся жидкостями, связывается с пластичностью. Огромный интерес к исследованию поведения пластических сред был вызван потребностью теоретического моделирования целого спектра, технологических процессов обработки металлов и пластмасс, ковки, штамповки, прессования и других. Свойства пластических материалов чрезвычайно сложны с точки зрения их математического описания, и существующие виды теорий пластичности носят очень частный характер и далеки от логической законченности. Хотя в приложениях пластичности зачастую интересны именно большие деформации, тем не менее не существует теорий пластичности, описывающих большие деформации и являющихся удовлетворительными с точки зрения теории определяющих соотношений материалов. В отличие от пластических материалов упругие материалы (при любых деформациях) с точки зрения математики представляют собой наиболее простой вид материалов: их определяющие соотношения абсолютно прозрачны в принципе и полностью математически изучены в смысле структуры (это вовсе не означает, что все задачи теории упругости просты и решены). Упругие материалы могут быть и твердыми, и жидкими, а. также ни теми, ни другими, а. именно текучими анизотропными материалами.

Определяющие соотношения упругих материалов такого рода могут быть использованы для моделирования тех же технологических процессов, при моделировании которых традиционно использовались пластические определяющие соотношения. При этом очевидно то, что логические и математические преимущества теории упругости по сравнению с теорией пластичности огромны.

Для реального осуществления исследований прикладного характера на основе определяющих соотношений, сочетающих в себе свойства текучести и анизотропии, нужно иметь набор такого рода определяющих соотношений, отвечающих различным видами текучести и анизотропии. Однако таких соотношений практически нет (очень мало), да и простого и эффективного метода их построения тоже нет. Отсюда вытекает актуальность цели данной работы.

• 1.    Формулировка простого и эффективного метода получения определяющих соотношений текучих анизотропных упругих материалов с заданной группой равноправности.

• 2.    Обоснование предложенного метода. Доказательство утверждений, касающихся свойств упругих потенциалов, получаемых предложенным методом.

• 3.    Получение некоторых конкретных упругих потенциалов текучих материалов с 2-мя различными группами равноправности на основе классических изотропных упругих определяющих соотношений.

1.    Используемые в работе соотношения и обозначения нелинейной теории упругости

В работе используется система безындексных тензорных обозначений, введенная Дж. У. Гиббсом. Эта система дополнена знаком тензорного произведения и мультииндексом для обозначения изомеров тензора [1]. Обозначения основных величин механики деформируемого твердого тела совпадают или близки к обозначениям книги [2] и будут кратко определяться по мере их использования; заметим, что в упомянутой книге принята совершенно другая система безындексных тензорных обозначений, из-за чего несколько меняется смысл ряда величин.

При выводе и анализе определяющих соотношений будут использоваться такие понятия, как

F (x, t) = V. (*) r (x, t) — так называемый градиент трансформации.

T(F) — тензор напряжений Коши.

T.  (det F )(F-1 )T • T(F) - тензор напряжений Пиолы.

о . (F) — объемный упругий потенциал:

ТК(Ғ)=^ (F);

dF

C ( F ) = dTdFF= Iwf ( F ) ~ ^Т(?1Г30Р упругих модулей.

2.    Понятие групп равноправности и классификация материалов

Группы равноправности используются в качестве средства классификации материалов, как это сделано, например, в [3]. В частности, с их помощью вводятся определения жидких, твердых, изотропных и других материалов.

Теперь на основании введенных определений и понятий еще раз поясним суть данной работы. В ней предлагается метод построения определяющих соотношений для текучих анизотропных нелинейно-упругих материалов.

Текучесть в данном контексте означает, что рассматриваемые материалы не являются твердыми, то есть в любой отсчетной конфигурации группа равноправности содержит не только повороты и деформации.

Анизотропия означает, что рассматриваемые текучие материалы не являются жидкостями (жидкости — это изотропные материалы).

Нелинейная упругоств означает, что рассматриваемые деформации и повороты являются конечными. Заметим, что, вообще говоря, линейной теории упругости быть не может: линейность противоречит принципу материальной объективности. Линейная теория упругости может рассматриваться только как результат линеаризации соотношений нелинейной упругости в окрестности некоторого деформированного или напряженного состояния, причем классическая линейная упругость является в высшей степени частным случаем, соответствующим линеаризации в окрестности состояния с нулевыми напряжениями (см., например, [2]).

3.    Метод построения определяющих соотношений

Задача построения определяющих соотношений для текучих анизотропных нелинейноупругих материалов простым и наглядным методом является актуальной научной задачей по приведенным ниже причинам.

• 1.    Материалы указанного типа весьма интересны как для теоретического исследования, так и для приложений, однако конкретные и достаточно простые соотношения для них (соответствующие тем или иным группам равноправности) в литературе отсутствуют.

• 2.    Представленные в литературе [4] исследования структуры упругих определяющих соотношений в зависимости от группы равноправности имеют весьма общий, но при этом совершенно абстрактный характер, что делает по сути невозможным их непосредственное использование.

Докажем некоторые теоремы, на которых будет базироваться предлагаемый в работе подход к построению определяющих соотношений.

Теорема 1. Пусть cr₀( F ) — потенциал упругого материала, удовлетворяющий принципу материальной объективности (сто ( F • Q ) = то( F )). Тогда потенциал т₁( F ), определяемый как т_і ( F ) = то( P * • F ), г де P * = P *( F ) и доставляет минимум скалярнозначной функции ( P • F ): ( P • F ) на мномсестве { P }, обладает следующими свойствами:

• а)    тоэюе подчиняется принципу материальной объективности:

ті ( F • Q ) = ті( Ғ );

• б)    имеет группу равноправности P :

ті( Р • F )= ті( F ).

̃︀

̃︀

Доказательство, а) Пусть P * • F = F , таким образом, ті ( F ) = то( F ).

Тогда ті ( F • Q ) = то ( P * • F • Q ) = то (F • q) = Tо( F ) (из принципа материальной объективности). Следовательно, т_і ( F • Q ) = т_і ( F ).

• б)    Известно, что ті ( F ) = то ( P * ( F ) • F ) V F. Выберем искиторый элемент P o из группы P .

Теперь можем записать, что т_і ( P _o • F ) = т_і ( F о) = то ( P * ( F o) • F _o), где F _o = P _o • F .

Тогда равенство, которое нужно доказать: ті ( P o • F ) = ті ( F ), будет иметь следующий вид:

• то ( P *( F o) • F o) = то( P *( F ) • F ).

  
  
  
  

Выразим P *( F _o) че]юз P * ( F ):

P *( F o) доставляет минимум функции

По = ( P • F o): ( P • F o) = ( P • P o • F ) : ( P • P o • F ).

Подставим P *( F _o) в виде P *( F _o) = P ^ P _o¹. Тогда условие (2) эквивалентно тому, что P доставляет мшшмум фупкщш По = ( P • F ) : ( P • F ). а это зн;шит. что P = P *( F ).

Таким образом. P*(Fo) = P*(F)^Po 1. Подставляя отот результат в (1), получаем сто (P*(Fo) • Fo) = (Го (P* (F) • Po-1 • Po • Fo) = (7о(P*(F) • F),  т.е.  сто (P*(Fo) • Fo)  =

= сто ( P *( F ) • F ). что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть имеются упругие потенциалы сто,сті, Ст2, причем сті ( F ) = сто ( P * ( F ) • F ), где P * доставляет минимум потенциалу ст₂ ( P • F ). Тогда (7₁( F ):

• а)    тоэюе подчиняется принципу материальной объективности:

сті ( F • Q ) = cti( F );

• б)    имеет группу равноправности P:

сті ( P • F ) = (71( F ).

Доказательство, а) Запишем следующее равенство:

сті ( F • Q ) = сто ( P * ( F • Q ) • F • Q ) = сто ( P * ( F • Q ) • F ).                   (3)

P * ( F • Q ) доставляет минимум функции ст2 ( P • F • Q ) = ст2 ( P • F ).

Таким образом. P * ( F • Q ) = P *( F ). Из (3) следует:

сті ( F • Q ) = сто ( P * ( F ) • F ) = сті ( F ).

• б)    Пусть Po — некий эле мент группы P. Запишем доказываемое равенство:

сті ( P o • F ) = сто ( P * ( P o • F ) • P o • F ) = (71( F ).                          (4)

P * ( P _o • F ) доставляет мшшмум функции (72( P • P _o• F ). Пу<-ть P * ( P _o • F ) = P ( F ) • P _o^-1. Тогда предыдущее утверждение эквивалентно тому, что P ( F ) доставляет минимум функции ст₂ (P • P _o^-1 • P _o • F) = (72( P • F ). откуда ел сдует, что P ( F ) = P *( F ).

Таким образом, из (4) следует, что:

сті ( P o • F ) = сто ( P * ( P o • F ) • P o • F ) = сто ( P * ( F ) • P o ^-1 • P o • F ) = сті ( F ).

Теорема доказана.

Теорема 3. Потенциал ст₁( F ) в условиях теорем 1 м2 удовлетворяет требованию

М^ГО- T ( I )= 0.

Доказательство.

сті (F) = min сто (P (v) • F) = сто (P* (F) • F) 6 сто (F). v d^ (F) = d(P* (F) • F):Ti (P(*F) • F), где

T i ( F ) =

Эсто ( F ) d F

С Другой стороны, dст1 (F) = dF:Ti(F). Отсюда dF:ТІ (F) = d (P* (F) • F) :Ti(P* (F) • F).                         (5)

Пусть F = I . Toгда P * ( I ) = I , т.к. P * ( F ) доставляет минимум функции    сто ( P * ( F ) • F ), которая. очевидно. изюет    минимум при F = I .

Тогда в правой части равенства (5) получаем 0, т.к. T _$ ( I ) = 0 (для оригинальных материалов).

Теперь (5) означает dF : T * ( I ) = 0 V dF . oti зуда. T * ( I ) = 0.

Теорема доказана.

Теоремы 1-3 дают простой и конструктивный метод построения определяющих соотношений для материалов с наперед заданными группами равноправности и гарантируют правомерность полученных результатов (в смысле выполнения принципа материальной объективности и результата теоремы 3).

4.    Нахождение конкретных упругих потенциалов жидких кристаллов

В качестве иллюстрации данного метода найдем упругие потенциалы материалов со следующими группами равноправности:

• 1)    P (v) = I + v e 2 0 e i ;

• 2)    P (v) = v e i 0 e i + V e 2 ⁰ e 2 + е з ⁰ е з .

Нетрудно убедиться в том, что в каждом из этих случаев выполнено необходимое требование detP = 1. При этом в качестве базового потенциала в условии теоремы 2 будет взят неогуков материал, обладающий следующим упругим потенциалом:

do ( F ) = |( F : F - 2ln(det F )).

Для удобства опустим не играющий роли множитель GG.

Рассмотрим случаи с разными группами равноправности поочередно.

• •    P (v) = I + v e 2 0 e i

Эта группа состоит из сдвигов вдоль оси е2, величины которых пропорциональны координате ei.

Прежде всего найдем вид функции W (v, F ) = <Го( Р (v) • F ), которую в дальнейшем будем минимизировать по v:

W (v, F ) = ( P (v) • F ):( P (v) • F ) - 2ln(det F ) = ( P (v) • F ):( P (v) • F ) =

= ( P (v) • F ):( P (v) • F ) - 2ln (det F ).

Как следует из теоремы 2, W (v, F) = W (v, U), при этом F = U • R, где U — симметричный и положительно определенный, a R ортогональный тензоры (по теореме о полярном разложении).

Для тензора U удобно выбрать следующее представление:

U = f 1 ⁰ f i + f ₂ ⁰ f ₂ + f ₃ ⁰ f 3, г де { f i } — ортогональный базис из неединичных собственных векторов U.

Введем обозначения fij = e i • f j . Тогда

P (v) • U = ( i + v e 2 0 e i ) • U = U + ve 2 0 (fii f i + f f + fi3 f 3 )

И

(P (v) • U): (P (v) • U) = U:U + v2A + 2vB, где

A = ( e 2 0 (fii f i + fi2 f 2 + fi3 f 3 )) : ( e 2 0 (f f + f f + fi3 f 3 )),

B = ( e ₃ 0 (f_n f i + fi2 f 2 + fi3 f 3 )) : ( f i 0 f i + f 2 0 f 2 + f 3 0 f 3).

Найдем теперь минимум по v:

dW

= 2vA + 2B = 0. д v

-в

* — a .

Отсюда получим, что минимум достигается при v = v: Теперь найдем W (v*) :

W (v*) = U : U + bA - 2bA - 2ln (det U ) = U : U

B2

--

A

2ln (det U ).

Выразим теперь A, B в явном виде через U:

A = (е 2 0 ( e i • U )) : (е 2 0 ( e i • U )) = ( e i • U ) • ( e i • U ) =

= ( e i 0 u ) -( e i 0 U ) ⁽²¹³⁾> 0,

B =( e 2 • U ) • ( e i • U ) = ( e i 0 u ) (( e 2 0 u ) (21³) > 0.

В конечном итоге потенциал ах (F) = ах (U) имеет вид ах (F) = F:F

B2

--

A

2ln (det F ) <ао ( F ) ,

поскольку - BA < 0 V F.

Напомним, что в данном случае построение потенциала для текучего анизотропного упругого материала производилось на основе модифицированного потенциала Муни-Ривлина и группы простых сдвигов P (v) = I + ve 2 0 e i в качестве группы равноправности. Разность ao (F) - ах (F) = BA представляет собой энергию деформации для соответствующей группы сдвигов, записанную в явном виде.

Следующая группа равноправности:

• •    P (v) = ve i ⁰ e i + Vе 2 ⁰ е 2 + е з ⁰ е з .

В этом случае для F удобно выбрать следующее представление:

F = e i (g)fi + e 2 (g)f2 + е з 0f3

л обозначить fi²=| f i|². Тогда P • F = v e _i 0 f _i + V е ₂ 0 f ₂ + е ₃ 0 f ₃ и

( P • F ): ( P • F ) = v²fx² + v2f₂² + f3².

Таким образом, ao (P (v) • F) = v2fx2 + ^f22 + f32 v2

- 2ln(det F ) =W(v),

^^^o.

d v            v³

Тогда v*4 = f12

A( F )

= B(F)•

W (v*) = В^ + A^B + f₃2-2ln (det F ) = 2VAB + f₃² - 2ln (det F ).

Если сравнить выражение для потенциала исходного материала ao (F) = F:F -2ln (det F) = fx2 + f22 + f32 - 2ln (det F) = 2 (f1 + f2 ) + f32 - 2ln (det F)

с потенциалом 71 ( F ) = ( P (v*) • F ): ( P (v*) • F ) — 2ln (det F ) = 2^f12f₂² + fa²- 2ln (det F ), получившимся в резулвтате добавления группві равноправности P (v) = v e i Сж) е 1 + V e 2 Сж) e ₂ + е з ®е з , то можно заметить, что 71 отличается от 7о заменой среднего арифметического от вкладов деформаций по осям 1 и 2 на их среднее геометрическое, что особенно ясно демонстрирует природу потенциала 71, как минимизированного по некоторому множеству потенциала 7q.

Выразим теперь fi через F:

fi² = | f i |2 = ( e i • F )².

5.    Заключение

В данной работе, которая носит теоретический характер, был предложен и продемонстрирован метод построения определяющих соотношений для текучих анизотропных упругих материалов (в технике именуемых жидкими кристаллами).

Все результаты получены в рамках нелинейной теории упругости, которая адекватно описывает поведение упругих материалов при любых (в том числе больших) деформациях и поворотах.

Задача схожего характера ставилась в [4], но полученные там результаты носят слишком общий характер и не обладают простотой и наглядностью, необходимой для практического использования. Предлагаемый же в данной работе подход дает простой и эффективный способ построения определяющих соотношений, основанный на минимизации потенциала некоторого известного твердого материала по элементам группы равноправности, предназначаемой для нового материала.

Как легко можно убедиться, получаемые предложенным методом потенциалы совмещают в себе свойства текучести и анизотропии, причем значение упругого потенциала при определенных деформациях у них не превышает соответствующее значение потенциала исходного твердого материала, что естественно, так как твердый материал сопротивляется деформациям, по которым нетвердый «течет».

Хочу выразить благодарность Е.И. Рыжаку за постановку задачи и полезные обсуждения, без которых появление на свет этой статьи было бы невозможным.