Метод радиально-базисных нейронных сетей для решения задачи обратной кинематики многозвенных манипуляторов

Задача обратной кинематики (IK) состоит в восстановлении вектора суставных координат по заданной позе рабочего органа. Традиционные аналитические схемы требуют специального вывода для каждой конфигурации, а итеративные численные алгоритмы, основанные на Якобиане, расходуют переменное время вычислений и чувствительны к сингулярностям [1-3]. Радиально-базисная нейронная сеть (RBFN) предлагает альтернативу с фиксированной вычислительной сложностью и хорошими интерполяционными свойствами [4-6].

• (с) Полещук Ф. А., Соколов С. В., 2026

2.    Связанные исследования

• 3.    Предлагаемый метод

  3.1.    Постановка задачи

3.2.    Архитектура RBFN

@ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2026

Современные работы решают задачу IK либо усложнением аналитики, либо ускорением итеративных методов на GPU, либо применением нейросетей (MLP, трансформеры и др.) [1]. Болвшинство нейросетевых подходов игнорирует структуру данных при выборе центров базисных функций, что ведёт к избыточным моделям. Предлагаемый метод устраняет этот недостаток.

Дополнительно отметим, что при наличии многозначности решения IK полезны схемы разбиения на локальные режимы (mode gating) [7].

Пусть прямая кинематика описывается отображением ж = /(0) = [рт, ■Г € R6, (1)

где р и ty — положение и ориентация схвата. Цель — построить аппроксимацию обратного отображения д : R⁶ ^ R”.

Для задания ориентации у могут использоваться различные параметризации; выбор метрики для сравнения ориентаций обсуждается в [8]. Для кватернионной кинематики и ошибок ориентации см. [9].

Скрытый слой насчитывает m гауссовых функций tKx) = exp 1-Й U

-

),

i = 1,... ,m,   (2)

а выход сети формируется линейно:

0 = Wy(x) + b.

Рис. 1. Блок-схема радиалыю-базиспой сети: входной вектор позы, гауссов скрытый слой и линейный выход

3.3.    Выбор центров и обучение

Три стратегии выбора центров: регулярная сетка, K-Means [10,11], случайный поднабор. Последняя минимизирует вычислительные расходы при сохранении репрезентативности. Обучение линейного слоя проводится оптимизатором Adam с функцией потерь MSE.

3.4.    Алгоритм применения

• 1)    Генерация обучающего набора (х,9).

• 2)    Масштабирование данных.

• 3)    Фиксация т центров.

• 4)    Обучение W ii b.

• •б ) Ипферепс 9 для нового х.

• 6)    (Опционально) уточнение решения итеративной процедурой damped least squares (DLS) [1-3].

3.5.    Ограничение области применимости (малая зона)

Практически важно подчеркнуть, что RBFN является интерполяционной моделью и даёт надёжные решения лишь внутри области, покрытой обучающими данными. Поэтому далее ограничим рабочую область малой зоной П.

Пусть задана опорная поза хо € R⁶ (например, точка рабочей траектории) и радиус R >  0. Определим малую зону как евклидов шар

П := B r (хо) = {х € R⁶ : ||х — Х0Ц2 С R}.

Метод инференса считается корректным для х € П; вне зоны возможна деградация качества из-за экстраполяции.

В прикладной реализации используется простой контроль принадлежности: если |х — хо|2 >  R, т° (i) возвращается отказ либо (ii) выполняется проекция „ ^{х — х}0

х ^ хо + R-------т- и далее инференс выполняется для спроецированной позы.

|х — хо||2

3.6.    Теоретическая гарантия аппроксимации

Мы формализуем и доказываем утверждение о том, что радиально-базисная сеть способна сколь угодно точно приближать отображение обратной кинематики на любом компактном подмножестве рабочего пространства. Классические результаты о приближении и интерполяции RBF приведены в [4-6].

Пусть П С R⁶ — компактная малая зона рабочего пространства, а д : П ^ 0 С R” — непрерывное отображение обратной кинематики. Для любого е > 0 существует радиальнобазисная сеть

9(х) = W^p(х) + b,

1|х — cd| i = 1,... ,т,

^i(х) = exp —р  --^— с некоторым конечным числом центров т и единым параметром Р > 0, такая что sup 11д(х) — 9(х)\ < е. хеп               2

[Доказательство] 1. Равномерная непрерывность. Компактность П и непрерывность д дают равномерную непрерывность: V e/ 2 > 0 3 5 > 0 : |х — у\\2 <5 ^ ||д(х) — д(у)1₂< е/2.

• 2.    Конечное покрытие. Положим г = 5/2. Существует конечное г-покрытие компакта шарами B_r(ci),... ,B_r(с_т): тшikii а € П возьмём как центры RBF. Число т зависит .тишь от г и размерности d = 6: т = O(r~^d) = О(е^-й).

• 3.    Выбор параметра р. Положим Р ф (2г)^-2. Тогда для любых х € B_r(о) имеем ^фх) ф е^-1/4 > 0.77. а. для центров, удалённых не менее нем на. 2г. уже pj(х) С е^-1 ^ 0.37. Значит, внутри шара доминирует «свой» гауссов нейрон.

• 4.    Конструкция весов. Положим W = [д(с1)| ... |д(с_т)], b = 0. То есть вес каждого нейрона равен вектору суставов в центре.

• 5.    Оценка ошибки. Для произвольного х G И выберем k с х G B_r(ck). Тогда

• 6.    Итог. Мы явным образом задали т, единый ^ и веса (W, Ь), для которых выполняется неравенство, тем самым лемма доказана.

4.    Экспериментальная валидация

1|д^(х) - 0^(х)^ <  ||д^(х) - g^(ck )|| + ||g(^ck) - ^(^х)^ .

2            :=Е2

Первое слагаемое < е/2 по вьi6opy г. Для второго: 6(х) есть взвешенное среднее значений g(cj), причём вес ^Дх) не менее чем вдвое выше любого «чужого» ^j. Из равномерной непрерывности следует Е2 < е/2. Суммируя, получаем требуемое е-ограничение.

Замечание. Оценка т = O(e~^d) cd = 6 совпадает с классическим результатом о мощности е-покрытия.

Для демонстрации применимости метода использован манипулятор KUKA KR200/2 с шестью степенями свободы. Обучающая выборка сгенерирована прямой кинематикой на равномерной сетке ~ 3, 000 точек рабочего пространства. На рис. 2 показано распределение целевых поз и случайно выбранных центров RBF.

После 1, 000 эпох обучения кривая снижения ошибки стабилизируется (рис. 3). Полученные результаты подтверждают, что предлагаемая сеть достигает субмиллирадной точности без роста глубины модели и демонстрирует стабильную работу вблизи сингулярностей.

Рис. 2. Облако обучающих поз (серый цвет) и выделенные центры RBF (красный)

Рис. 3. Процесс обучения: среднеквадратичная ошибка (MSE) па обучающей и валидациоппой выборках

5.    Потенциальные приложения

• 1)    Высокоскоростные промышленные роботы.

• 2)    Коллаборативные манипуляторы.

• 3)    Медицинские роботизированные системы.

• 4)    Мобильные платформы с ограниченным энергопотреблением.

6.    Заключение

Метод RBFN для обратной кинематики объединяет компактную архитектуру, простую процедуру выбора центров и устойчивое обучение. Подход независим от конфигурации и числа степеней свободы манипулятора и открывает направления для исследований локальных ансамблей сетей.