Метод расчета функции распределения электронов проводимости по энергии при стационарной ионизации газа

• 1.    Введение

• 2.    Основная часть

В ряде прикладных экспериментов, проводимых в зоне ионизации мощных источников излучения, возникает вопрос о шунтирующем действии ионизированного газа.

Воздействие на газ любого ионизирующего излучения сводится к образованию в нем вторичных электронов. Вторичные электроны рождают в газе лавины электронов. Рожденные на последних стадиях лавин электроны с энергией меньше потенциала ионизации будут определять электрофизические характеристики газа.

Проводимость и диэлектрическая проницаемость электронной компоненты являются интегралами функции распределения электронов по энергии ( Гинзбург , 1967). Электроны проводимости, обладая энергией меньше потенциала ионизации, тем не менее, значительное время остаются равновесными.

При расчете функции распределения предполагается, что электрон движется непрерывно в фазовом пространстве энергий.

Пусть f ( ε ) – функция распределения электронов по энергии, т.е. количество электронов в диапазоне энергий от ε до ε + dε равно f ( ε ) dε .

Пусть в единице объема газа в единицу времени рождается q ( ε ) dε электронов с энергией от ε до ε + dε .

Обозначим через γ ( ε ) частоту исчезновения электронов в процессах рекомбинации или прилипания их к нейтральным молекулам, а через ν ( ε ) – частоту соударений электронов с нейтральной компонентой. Из энергетического интервала ( ε , ε + dε ) электроны уходят за счет исчезновения и потерь энергии при столкновении, а появляются в нем при потере энергии более высокоэнергетическими электронами из интервала энергии ( ε ^', ε ^' + dε ^'), отстоящего от ε на величину средней энергии потерь при одном соударении электрона с тяжелой компонентой Δ( ε ^').

В квазистационарном случае будет наблюдаться баланс электронов, приходящих и уходящих из диапазона энергий от ε до ε + dε , что отражается в уравнении баланса:

[ γ ( ε ) + ν ( ε )] ⋅ f ( ε ) dε = q ( ε ) dε + ν ( ε ^') f ( ε ^') dε ^'.                                       (1)

При этом энергии ε и ε ^' связаны очевидным соотношением:

ε = ε ^' – Δ( ε ^'), dε = [1 – d Δ( ε ^')/ dε ^'] dε ^'.

Пусть параметры γ , ν и Δ для простоты будут постоянными или малоизменяющимися функциями энергии, тогда уравнение (1) запишется в виде:

( γ + ν ) f ( ε – Δ) dε = q ( ε – Δ) dε + νf ( ε ) dε .                                  (2)

Морозов Н.Н., Гнатюк В.С. Метод расчета функции распределения электронов…

Введем в рассмотрение Фурье-образы функций f и q :

да                                      да

F ( го ) = J f(£ ) e '“ ^£d£ ,          Q ( го ) = J q ( £ ) е^,го^£ .                                         (3)

• - да                                           - да

Для образов F и Q из уравнения (2) получим соотношение:

( y + v ) F ( го ) = Q ( го ) + vF ( го ) e ^{- го A}.

Откуда следует

F ( го ) = [ Q ( го )/( y + v )] - {1 + [ v /( y + v )] e ^{- 1го A} + [ v /( y + v )]² e ^{2 1го A} + ^}.

Обращая образы F(го) и Q(го), получим f£) - [1/(y + v)]-{q(£) + [v/(y + v)]q(£ + A) + [v/(y + v)]2q(£ + 2A) + ^}.                 (4)

Решение (4) для функции распределения f£ ) имеет простой физический смысл. Первый член ряда соответствует вкладу в функцию распределения тех электронов, которые рождаются непосредственно с энергией £ . Второй член соответствует вкладу электронов, которые рождаются с энергией £ + A, причем коэффициент v /( y + v ) отражает убыль электронов в процессах рекомбинации и прилипания при сбросе энергии от £ + A до £ . Таким образом, второй член ряда (4) дает вклад в функцию распределения однократно рассеянных электронов. Аналогично интерпретируются последующие члены ряда.

Такая интерпретация смысла членов в ряде (4) позволяет непосредственно обобщить решение уравнения (2) на случай переменных y и v . Для этого достаточно заметить, что каждый сомножитель вида ( y / y + v ) k в ряде (4) отражает убыль электронов в точках £ + A, £ + 2A, ..., £ + k A на энергетической оси. Поэтому при переменных y и v он должен быть заменен

• { v ( £ + A)/[ y ( £ + A) + v ( £ + A)]} - { v ( £ + 2 A)/[ y ( £ + 2 A) + v ( £ + 2 A)]} - .

.. - { v ( £ + k A)/[ y ( £ + k A) + v ( £ + k A)]}.

Следовательно, в случае непостоянных y и v ряд (4) должен быть заменен f£) - [1/v(£)]-Е q(£ + kA)-n {v(£ + lA)/[v(£ + lA) + y(£ + lA)]}.                 (5)

k = 0           l = 0

Решение (5) уравнения (1) не всегда удобно. Так, в случае сложной зависимости величины A от энергии возникают значительные трудности при расчете.

Представляет интерес получение приближенного, но более удобного решения уравнения (1). Такое решение можно получить, предполагая малость величины A( £ ). В случае воздуха, например, такое условие соблюдается при соударении электронов с молекулами ввиду большой разности масс соударяющихся частиц. Разностное уравнение (1) можно приближенно заменить дифференциальным, которое приводится к виду:

d [( y + v ) / A]/ d£ - Xf = - q - d (A q )/ d£ .

Решая это уравнение с условием f£ ) ^ 0 при £ ^ «, получим '

да                          £

f(£ ) = [1/( y + v )] - { q + [1/A] J q [ v /( y + v )] - exp[ - J [ y /( y + v )] - ( d£ '' /A)] d£ ' }. ε                        ε

Здесь первое слагаемое в фигурных скобках связано с прямым рождением электронов с энергией £ , второе - с вкладом электронов, рожденных с энергией £ >  £ и постепенно теряющих энергию в соударениях.

3. Заключение