Метод расчета надежности функциональных систем самолетов

Расчету надежности систем самолетов без учета и с учетом восстановления посвящены работы [1–5]. Методы расчета систем в указанных работах основываются на методологическом подходе, в котором не используется теорема умножения вероятностей. Основу этого подхода составляет предположение о том, что вероятность отказа агрегата в системе определяется суммарным параметром потока отказов агрегатов ω_Σ , составляющих систему, и наработкой.

Поскольку системы самолетов являются восстанавливаемыми системами, то при стационарном процессе эксплуатации наработка на отказ агрегатов стабилизируется, и в качестве математической модели вероятности отказов агрегатов может быть принято распределение равномерной плотности [6]:

q ( t ) =ω t , (1) где 0 ≤ t ≤_ω 1 .

В соответствии с принятым методологическим подходом и уравнением (1), вероятность отказа первого агрегата q1(t) в невосстанавливаемой системе общего резервирования определится по выражению q1(t) = ωΣ1t1 = n⋅m⋅ω⋅ t1, (2)

где n – количество последовательно соединенных агрегатов в подсистеме; m – количество параллельно соединенных подсистем.

Рассмотрим систему общего резервирования при n = 20 и m = 3. Такая система будет подобна структуре гидросистемы самолета Ту-154М, содержащей три одинаковых подсистемы общего резервирования.

Положив в формуле (2) q ₁( t ) = 1, определим время до отказа первого агрегата в системе:

t 1 ⁼

n⋅m⋅ω

Тогда, с учетом наработки t1 и изменения количе- ства исправных подсистем найдем вероятность отказа второго агрегата в системе:

а вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии определится по выражению

q₂(t ) = n ( m - 1) ю ( 1 1 + A 1 2 ).            (4)

Р раб — 1 - р испр .                  (10)

Положив в формуле (4) q 2 ( 1 ) = 1, рассчитаем при-

ращение времени между первым и вторым отказами в

виде

1 - n ( m - 1) ю- 1] A 1 2 =-----7------7----^L.

n ( m - 1 ) ®

Второй отказ агрегата в системе, совместно с первым, может реализоваться только через некоторое число k 2 циклов отказов и восстановлений одного агрегата. Продолжительность каждого цикла т является суммой времени t 1 и Т по :

Продолжая подобную процедуру, определим приращение времени между отказами второго и третьего агрегатов в системе:

Т 2 ^{— 1} 1 ⁺ T no .

A 1 3 = 1 - n ( m - 2) щ ( ¹ + ^A 6) _         (6)

n ( m - 2) ®

Число k 2 при стационарном процессе эксплуатации будет таким, чтобы сумма отрезков времени Т по стана равной ∆t 2 . Тогда k 2 можно выразить как

k

A 1 2

Значения времени t 1 , ∆t 2 и ∆t 3 необходимы для последующего расчета надежности системы с учетом восстановления.

В [3–5] разработан метод расчета надежности систем с учетом восстановления. В предлагаемой работе рассмотрена иная структура построения решения, с использованием той же методологии, обеспечивающей получение равных, полученных в [3–5], количественных оценок надежности. По нашему мнению, предлагаемая процедура обеспечивает более простое для понимания представление о ходе решения задачи.

Как и в упомянутых работах, решение задачи построено на использовании стационарной части решения Марковской задачи об определении вероятностей нахождения функциональной системы в различных состояниях [7]. Функциональная система может находились в исправном либо неисправном, но работоспособном состояниях с одним, либо с большим числом отказавших агрегатов. Вероятность нахождения системы в исправном состоянии в [3; 4] определена по выражению

² _т T _no

.

Необходимо отметить, что, в соответствие с практикой, всегда существует вероятность реализации одновременно двух отказов до восстановления первого отказавшего агрегата. При этом время работы восстанавливаемой системы до момента одновременного отказа в ней двух агрегатов вычисляется по формуле

1 в^ос — ( t_x + T _{n о}) ^{A 1} 2 .

21no T no

Время t ₂ ^вос определит интенсивность перехода системы из исправного состояния в работоспособное с двумя одновременно отказавшими агрегатами:

а« — .

122     вост t2

Тогда вероятность нахождения системы в исправном состоянии будет выражено как

Ц ц + ю’

p испр _— ^ц

² ц + ^a 12 2 ,

где ω = а 12 – интенсивность перехода системы из исправного состояния в неисправное, но работоспособное, либо в состояние отказа, определяемое в ходе решения задачи; µ – интенсивность восстановления – величина, обратная времени восстановления.

Для самолетов время восстановления Т по принимается равным времени полета с отказом одного либо нескольких агрегатов в системе.

Интенсивность перехода системы из исправного состояния в состояние с одним отказавшим агрегатом определится временем до первого отказа t 1 агрегата в системе:

и вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии с двумя отказавшими агрегатами будет рассчитываться по уравнению

Р раб — 1 - Р испр .                (16)

Одновременный отказ в системе трех агрегатов может реализоваться через k 3 циклов отказов и восстановлений одного и одновременно двух агрегатов. Продолжительность одного такого цикла будет вычислена по формуле

вос т3 — 12   + Tno,

а число таких циклов будет найдено по выражению

a_x2 — .

t ₁

к з — A ^{1 3} .                    (18)

T no

Тогда формула вероятности нахождения системы в исправном состоянии, в соответствии с выражением (7), будет иметь вид

Тогда определим время работы восстанавливаемой системы до момента одновременного отказа в ней трех агрегатов:

p испр _— ^ц

¹ Ц ^{+ a} 12 1 ,

1 ₃ ^,ос — [( t_x + T _{n о}) ^{A 1} 2 + T _{n о}] ^{A 1} 3 .           (19)

3         1 no           no

T no        T no

По аналогии с (8), (14) и (15), найдем 1 a ¹² 3      vBoc ^;

t ₃

P испр

Ц

Ц + a^

Но рассматриваемая система, после отказа в ней одновременно трех агрегатов, перейдет в состояние отказа с вероятностью

Q ( 1 вос ) = 1 - р 3^исп .             (22)

При этом вероятность отказа системы за 1 час полета рассчитаем в соответствии с (19) и (22):

Q (1) = Q'    .             (23)

t ₃

Из выражения (13) и и (19) следует, что первоначальный цикл восстановления одного отказавшего агрегата ( t ₁ + Т _по) с момента t ₁ до момента одновременного отказа двух агрегатов повторится k ₂ раз. С момента t ₁ до одновременного отказа трех агрегатов этот цикл ( t 1 + Т по ) повторится ( k ₂ k ₃) раз. Кроме того, из выражения (19) очевидно, что при мгновенном восстановлении отказывающих агрегатов Т по = 0, следует, что t ("с = « , a ₁₂ 3 = 0 и Р и^сп = 1, т. е. система становится безотказной. Напротив, с увеличением Т по надежность системы интенсивно убывает.

Например, для рассматриваемой системы – аналога гидросистемы самолета Ту-154М – при n = 20, m = 3, ю = 1 - 10 ^{- 4} ч ^-1 , без учета восстановления, получены следующие значения: время полета до отказа первого агрегата t 1 = 166,6 ч, приращения времени Δ t 2 = 83 ч и Δ t 3 = 250 ч. При учете восстановления и Т по = 1, число циклов восстановления будет k 2 = 83 и k 3 = 250. Время до отказа одновременно двух агрегатов, при вероятности такого события, вычисленного по выражению (16), составит t 2о^с = 13911 ч. Время до одновременного отказа трех агрегатов с вероятностью, определенной по (22), 1 ₃ ^вос = 3477700 ч.

Таким образом, предлагаемый метод дает возможность наглядно представить изменения вероятностей отказа одного и более агрегатов и время до их отказов в восстанавливаемой системе.