Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве

Автор: Мирошниченко Игорь Павлович, Погорелов Вадим Алексеевич, Сизов Валерий Павлович

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Механика

Статья в выпуске: 3 (82) т.15, 2015 года.

Бесплатный доступ

Целями работы являются обобщение метода скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах на задачи для сред, вращающихся с постоянной угловой скоростью, а также разработка научно-методического аппарата для описания влияния вращения на параметры поверхностных акустических волн. На основе указанного метода предложен научно-методический аппарат для конструирования новых гироскопов на акустических волнах. Получены и обоснованы соотношения для расчета параметров поверхностных акустических волн (ПАВ), распространяющихся на границе вращающегося полупространства из трансверсально-изотропного материала с произвольно расположенной осью материальной симметрии. Приведен пример численного моделирования для случая изотропного вращающегося полупространства. Предлагаемый научно-методический аппарат и примеры численного моделирования могут быть использованы для разработки новых видов гироскопов на акустических волнах для систем навигации, ориентации и управления различными подвижными объектами в авиации, робототехнике и т.п.

Еще

Метод скаляризации, трансверсально-изотропная среда, акустические волны, поверхностные акустические волны

Короткий адрес: https://sciup.org/14250158

IDR: 14250158   |   DOI: 10.12737/12600

Текст научной статьи Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве

конструкции при многократном воздействии локальных динамических нагрузок. В [6] дан анализ динамического поведения анизотропных многослойных конструкций и т. д.

Целью настоящей работы является обобщение данного метода на задачи для трансверсально-изотропных сред, вращающихся с постоянной угловой скоростью Ω , а также получение соотношений для описания влияния вращения на параметры поверхностных акустических волн (ПАВ), которые могут использоваться в гироскопах [7–9]. Исходные соотношения. Уравнение движения в перемещениях для монохроматических волн (e’i “t), содержащих массовые силы, по [10, 11] имеет вид:

- to2 р U = VjCijr V( rus)+ F1, где Fi - вектор плотности объемных сил; р — плотность; to — частота.

Для трансверсально-изотропных материалов тензор коэффициентов упругости C ijrs может быть разложен на неприводимые части следующим образом [12]:

C irs=Cig ijg rs+C2 (g irg^+gisgr)+C3 [(3 n in j-gij) g-s+(3 n rn s-g rs)g j]+ +C4[(3ninr-gi)gjs+(3njn s-gis)gr+(3n ins-gis)gjr+(3njnr -gF)gir]+ +C5(35 ninjnrns-30 n(in grs))+3 g(ijgrs), где ni — единичный вектор главной оси симметрии;

C = 3 (c|4} + 2C,") ; C2 = 3 (c|4>-c|22^);(2)

c - — (ri4} + гс^22})'   r      (r''4i   X--1221V   c -- H4} c3 = 12 C + 2cg );  c4 = 12 Cg   cg );  c5 = 8 cn ;(3)

c | 4} = 115 ( 8 C 11 + 3 C 33 + 4 C 13 + 8 C 44 ) ;

C l 22! = 1 ( - C n + 3 C 12 + 4 C 13 - 4 C 44 ) ;     C^ =    ( - 8 C n + 6 C 33 + 2 C n + 4 C 44 ) ;

C?! = 3 (2CH - 6C12 + 4C13 - 4C44);  C{4} = 35 (Cn + C33 - 2C13 - 4C44).(4)

Константы, входящие в коэффициенты разложения (4), являются элементами матрицы упругих постоянных, записанной по свернутому индексу.

Пренебрегая центробежными силами как малой величиной второго порядка, а также учитывая, что О = const , представим массовые силы в виде сил Кориолиса. Тогда вектор плотности объемных сил можно записать следующим образом:

F s =- i 2to2p - 8 sjk О j u k ,                                               (5)

ω

где Q j — вектор угловой скорости, £ sjk — дискриминантный тензор.

Для квазипродольных и квазипоперечных волн, учитывая работу [3] и принимая во внимание выражение (5), уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы:

  • (k) (k)(k)                 (k)          i             1,

V s V sUJ + bl UJ + b 2V J V sus =-7Г" 2to2p-8 Jjs 0 jus;(6)

C44ω

  • (k) (k)(k)                 (k)          i 9 1,

VeVa ua + b3 uв + b4VJVe Uj = -—2to2p-8ejs0j us.(7)

C11

Здесь:

( k )      1

b 1 = —

C 44

(         ( к )

®2 p - h 2 ( - C 13 + C 33

I

-

2 C 44 )

J

b 2 =7^( C 13 + C 44 ) ;

C 44

( k )      1

b = —

3    C 11

-P - У C 44 I            J

b 4 = 7^ ( C 13 + C 44 );

C 11

( к ) = L, T, индекс L относится к квазипродольным волнам, а индекс T — к квазипоперечным;

( к )

h - проекция волново-

( к )

го вектора g на ось материальной симметрии; индекс J — фиксированный, он соответствует главной оси симметрии материала, в = K,N; фиксированные индексы J, K, N относятся к локальному аффинному реперу eJ, eK, eN, имеющему один инвариантный базисный вектор eJ, когда справедливы уравнения (6) и (7).

Решаемая научная задача заключается в том, чтобы найти аналитическое решение уравнений (6), (7) для трансверсально-изотропного полупространства, вращающегося с постоянной скоростью.

Постановка задачи. Конкретизируем задачу рассмотрением плоских волн, распространяющихся в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рассмотрим трансверсально-изотропное полупространство, граница которого представляет собой плоскость. Нормаль к границе составляет угол α с направлением оси симметрии полупространства.

Для описания волн в полупространстве введем соответствующую аффинному реперу e J , eK, eN Декартову систему координат x J , x K , x N , где ось x J совпадает с осью симметрии материала полупространства, а ось x K лежит в плоскости распространения волн. Вращение полупространства производится вокруг оси x N с угловой скоростью Ω .

( K )                  ( K )

Направление распространения волн определяется волновым вектором g . Вектор g составляет угол θ с осью x J (рис.1).

Рис. 1. Расчетная схема плоских волн, распространяющихся в плоскости, перпендикулярной оси вращения

Компоненты перемещений квазипродольных и квазипоперечных волн во вращающемся полупространстве являются решением уравнений движения (6), (7).

Компоненты напряжения могут быть определены из закона Гука:

a ij = C ir V ( rus ) .                                                          (9)

Поле также должно удовлетворять граничным условиям свободной поверхности полупространства.

Механика

Решение задачи.

Объемные волны. Используя метод скаляризации, запишем компоненты перемещений через скалярные потенциалы для квазипродольных волн ф и для квазипоперечных волн W , как это сделано в [3]:

где 5 J символ Кронекера.

д

U =—7 д x i

1 ф + - g

(

5 J g +

V

д г дxi дxJ

)

W,

Функции ф и W являются решениями уравнений Гельмгольца с собственными значениями

V ( l ) и V ( т ) — скорости квазипродольных и квазипоперечных волн.

Представим решение уравнений Гельмгольца в виде плоских волн:

.(L) J    -(L) K                    .<т) J   .<т) K i h x i ^ x              i h x i E x ф = фоe e W = Woe    e E ,

( K )  ( K )   ( K )

где h 2 +^ 2 = g 2 .

Используя (10), из выражений (6) и (7) соответственно получим:

P 11 Ф + P 12 W = 0;  P 21 Ф + P 22 W = 0,

где:

( L ) ( к )            ( K )      ( LL )         -

P 11 = ih [ g 2 ( 1 + b 2 ) + b ] + — 2® 2P— ; C 44

ω

( т )

£ 2 (K)  ( K )

P 12 =^ K ) ( b1 g ) +

g

( т )( т )

i ^ h . 2 ^ I K T 2 и Р И ;

С 44

g

(к)       , g = И V(к);

(L) (K)  (L)    (L)                 Q p21 = i^ (b3 — ^2 — b4h2) — -h-2и2р- ;

Сп     и

в 22

(т)(т) м й2Е (т) (K) ' (^ 2 — b 3

( т )

b 4 5 2 ) +

( т )

g

^ 2? 2 - -----r—x 2и p . Cn ( K )     и

i

g

Приравнивая к нулю определитель системы уравнений (12), найдем соотношение для определения

( к )

g . В ре-

зультате получившееся уравнение отличается от аналогичного в [3, 11] наличием слагаемых, учитывающих вращение среды. Если вращение отсутствует (— = 0), то это соотношение совпадает с соответствующим уравнением для одно- осных кристаллов [11].

Из выражения (12) следует соотношение В= ф Ду =- в;2т] = - Р222р используя которое запишем формулу (10) для определения перемещений через скалярные потенциалы в форме, аналогичной [3]:

f( L ) д    ( L )   д J )

U; = I D    + D7 —г 5, ф +

1 V 1 д x i      2 д x J  1 7

( L )Г( L )   ( L )

( L )

D = 1

1 (т)    д2       (т) J т D1    x + g 5i

W ;

V g

( L )( L )

( L ) ( l )    ( L )

h2 b1— g2(1 + b2) + i7^2®2p~ J С44      и wn —;

L L ( L )c L ) i       о

^2 (b g 2 ) + i^ h -^2rn2p-

C 44      И

( L )

D 2 =

( L ) ( L )   ( L )   ( L )

i 2 ( 22 b 3 — 2 2 b 4 )

I—

( L )

1  2 2, 2

2to p —

C 44 ( L )        to

44 h

(L)(L) (L1      (L1     (L)     2 Q i2 (b3 — 22—b4 h2) — -h-2to2p-

C 11 to

;

( t )

D 1 = 1 +

( T )

12         ( T )       1 ( T )

i I) (b g 2 ) —    I V| p'’

( 1 )              C44           m

h

( t )Г   ( t )

ih

T"

.

Компоненты тензора напряжений находятся из закона Гука:

<3 =

U j

+

g 2 ( 1 + b 2 ) + b 1 + -|- 2to2 C 44       to

(L)        (L)   ,   ,    (L )1      , d 15 ij + d 2 5 J 5 J + d 3 2 5 J

/

V

J

i

"( t )      5     ( t ) , , 5

d 5,-, -^7 + d 2 5 J 5 J -d7 +

1 j 5 xJ 2 i j 5 xJ

где в соответствии с [3] имеем:

( l )       ( L 2       ( L ) f ( l ) ( l )

d 1 = — g a i + h a 3 I D i + D 2

;

( L )

( L )

( L )    ( L )

d 3 = 2 a 2 D 2 + 2 a 4 I 2 D 1 + D 2 I ;

( t )       ( t /     ( t ))      f ( t )  ( T ) ( T ) ( T ))

d 1 = a 1 g 11 — D 1 1 + a 3 g h 2 g 1 D 1

V

5 2

5 xj d xJ

+ 5'

■ j 5

A

j 5 x i 5 x J 7

d

5 J —- + 5' 5 x j

( L ) d 2 =

( L )

;

( t )         ( t )       f ( t ) ( t 2 ( T ) ( t )

d 3 = 2 a 2 g + 2 a 4 g — 2 h 2 g 1 D 1

;

V

a 1 = C12 ; a 2 = 2 (C 11 C 12 ) ;

a 4 = 2 (C 11

C 12 ) + C 44 ;

5    ( l )  d 2

^”7 + d 4~^~ d xJ     d x d xj

J 5 )   ( T )

---7 I + d 4

5 x 7     5 x 5 x j 5 xJ

( L )

g 2 a

( L )

Ф +

W ,

( L 2 )f       ( l )        ( l )       ( l )

— h I 2 a 4 D 2 + a 5 D 2 + a 5 D 1

d 4 = 2 a 2 D 1 ;

;

f( t )  ( T H t )( t )

(T)      (T )f    (t )^        (t )     [_ d2 = a3 g| 1 — D1 | + 2a4 g + a5 g — h2 g1 D1

( T )

( t ) ( t )

d 4 = 2 a 2 D i g

;

a 3 = C 12 + C 13;

Л

;

V

a5 = C 11 + C 33 — 2 (C 13 + 2 C 44 ) .

Таким образом, формулы (14) и (16) описывают тензорные поля перемещений и напряжений через скалярные потенциалы и могут использоваться при расчете параметров упругих волн, находящихся в поле сил Кориолиса. Заметим, что форма соотношений (14) и (16) совпадает с формулами для полей, записанных через скалярные потенциалы в [3]. Отличие заключается в значении коэффициентов (15), в которых есть слагаемые, учитывающие вращение.

Поверхностные волны. С целью удовлетворения граничным условиям для удобства введем связанную с границей декартову систему координат x, y, z , которая образуется поворотом системы координат x J , x K , x N путем против часовой стрелки вокруг оси x N на угол α (см. рис. 1). В этом случае уравнения преобразования имеют вид:

z = — xK sin a + xJ cos a;                         xK = xcos a zsin a ;

x = xK cos a + xJ sin a;                            xJ = xsin a + zcos a ;

y = x N ;                                          xN = y .                                 (19)

При этом ось z совпадает с нормалью к границе, а оси x, y направлены параллельно ей.

Компоненты полей в системе координат x, y, z могут быть выражены через компоненты в системе координат x J , x K , x N следующим образом [13]:

dxJ     dxK uz = -^uj+ -^uK; dz       dz

ux

5 x J

d x K

Механика

5 x

J

+--u

K ;

_ 5 xJ 5 x m      5 xK 5 xm     ,

^ zz = -    -  ^ Jm + -   -  ^ Km ;

o z  d z        d z   о z

_ 5 xJ 5 x m      5 x K 5 x m

^ zx = -.       ^ Jm +          ^ Km- dz  dx       dz  dx

Зависимости проекций h , £, волнового вектора g на оси координат x J , x K , xN и проекции этого вектора на оси

координат x, y, z выглядят так:

h =

cos θ

cos θ

sin ( a + 9 ) g x    cos ( a + 9 ) gz ’

5 =

sin θ

sin θ

sin ( a + 9 ) g x    cos ( a + 9 ) gz ’

g 2 = h 2 + ^ 2 = gz 2 + g x 2 .

Используя выражения (19)–(21) из соотношений (14), (16) и (20), после несложных преобразований получим

формулы для описания полей в системе координат x, y, z :

( t )

.(L ’"(L ’ cos 9 cos а (L )7     (T)"      n(T ’     cos а 7 g uz = igz\D1+          D2 |ф+igz\— cos9D1+          krW;

V      cos ( а + 9 )    J       V             cos ( а + 9 ) 7( T

(.1

( L )| cos 9 cos а\( L ’ ( L ’7 sin 9 cos а^ ^ ’)- g (T )i u x = igz\            l D - + D 2 | +            D - ф + i -ay g z I

| cos ( а + 9 )              cos ( а + 9 )    J     ( T

sin ( а + 9 ) cos 9 ( T ’      sin а 7

—v—   — D1 +-- 7 ---z | W ;

cos ( а + 9 )        cos ( а + 9 ) J

σ zz

= S cos a

( L ( L ’ "( L ’ ( L )7 cos 2 9 ( L 2 d 1 + d 2 \ d 3 + d 4 1 “7 g z

V       J cos 2 ( a + 9 )

\ 1 ( L ) ( L ))     sin 29     ( L 2

+ sin 2al d 3 + d 4 |-----—,-----г g 2 +

V 2 3   4 J 2 cos 2 ( a + 9 ) z

\( L )  ( L )

+ sin2 а d 1 d

sin 2 9

( L Л1-

V

4 cos 2 ( а + 9 )

g z 2

^Ф 7j

( t )

g 2

cos а ^

cos 9 cos ( а + 9 )

( T )(( T )  ( T )    ( T )    ( T )

g z d 1 + d 2 + d 3 V

d

cos 2 9

4 cos 2 ( а + 9 )

(T )) g

sin 2 а

sin 9 g z

/

cos ( а + 9 ) 2

1 ( t )   ( t )

- d 3 — ’

d

cos 2 9

4 cos 2 ( а + 9 )

( T ) ) g z

( t )

cos 9 g + sin а---z---z cos (а + 9)

" ( T ) ( T ) d 1 d 4

V

sin 2 9     T2

cos 2 ( а + 9) ^ z 7

W ;

σ zx

f 1           ( L )

= < — sin d2

1 2           2

( L )

( L )

d 3 + d 4

cos2θ cos 2 (a + 9)

( L 2)   ( L )

g z + d 4

cos

sin 2 θ

2 ( а + б )

( L )" g 2

(         2 f 1 ( L ) ( L ’7

( 1 — 2 sin 2al — d 3 + d 4 I x

sin 29

x"—

2 cos 2 ( а + 9 )

( L ’b gT ’f 1

g z 2 :ф    : \sin

^   2

cos 9 cos ( а + 9 )

( T )\ ( T )    ( T )    ( T )

g z d 2 + d 3

V

d

cos 29

4 cos 2 ( а + 9 )

( T ’7 g

+

+ ( 1 — 2 sin 2 a

\ sin 9    ( T ’"

; gz ?

cos ( a + 9 )    \ 2

1 ( T ) ( T )

- d 3 d 4   2

cos

cos

2 θ

( а + 9 )

(T ’) g z

W .

( L )      ( L )      ___ ( T )      ( T )

Здесь ф = ф о el gzz elg xx ; W = W 0 el gzz elg,x

( l ) gx

.

Таким образом, найдены выражения для компонентов полей, которые входят в граничные условия.

Так как в полупространстве существуют падающие и отраженные волны, а в силу закона Снеллиуса

( T )                     _

= g x = g , функции ф и W могут быть записаны в виде:

(       ( L )

Ф =\ ф + eig z z

e

( L ) A

:ig z z e^V 1 ,

_  \     ( T )

W = 1 W + e i g z z + W e

( T ) A

—ig z z I e ig x x e i m t

.

Здесь ф±, W ± — амплитуды, подлежащие определению из граничных условий.

Для удобства дальнейшего изложения представим компоненты перемещений ui и напряжений σij, входящие в граничные условия, в виде вектор-столбца:

B = ( uz,u x , с zz , с zx ) T = ( u, c T .

Для определения этих компонентов запишем следующее матричное соотношение:

B = CF V ,

где:

C = ( C 1 1 )   C 1 2 )1 ; F J F *    0 1 ; T = ( T 1 ;

I C ( 3 )   C ( 4 ) J’         ( 0 F - J’         ( T J’

F *

e№ z

. T )      ;

e ig z z

F

(    ( L )               1

e "igzZ 0

0     e-z ;

V *

ф *

W *

V —

ф

( W

C ( 1 ) =

1 C (1"

I C ( 21 )

C ( 12 )

C ( 22 )

c C (31) C (32)1

I C (41) C (42) J g x   — itot

Здесь опущены фазовый и временной множители e x , e

Блоки C (2) и C ( 4 ) совпадают соответственно с C ( 1 ) и C (3), если у элементов главной диагонали матрицы C ( 1 )

и побочной диагонали матрицы C (3) изменить знаки на противоположные.

Элементы С (у) матрицы C определяются из формул (22)-(25). Они представляют собой выражения, которые являются множителями, стоящими в формулах (22)-(25) перед функциями ф и W . Например, элемент С ( 11 ) — это множитель перед ф в формуле (22), элемент С (12 ) — множитель перед W в этой формуле, элемент С ( 21 ) — множитель перед ф в формуле (23) и т. д.

Зная значения элементов матрицы С, можно для различных материалов определить параметры волны в зависимости от вращения Q полупространства, а также от углов а и 9 .

Граничные условия в данных обозначениях запишутся так:

  • 1    u 1

B = I    I , при z = 0.                                                   (29)

Компоненты вектор-столбца V представляют собой амплитуды падающих и отраженных полей в полупро- странстве. Если представить падающее поле в виде продольной волны с единичной амплитудой, то отраженное поле будет определяться коэффициентами отражения Гфф, ГфЖ и вектор-столбец V = (1, 0, Гфф, ГфW) T. При падающей поперечной волне единичной амплитуды V =(0, 1, rWф,rWW)T. Подставляя эти значения V в соотношение (28) и учитывая, что напряжение на свободной поверхности равно 0 (29), можно найти формулы для компонентов Г . Совокупность этих формул запишем в виде выражения для матрицы Г следующим образом:

( г г=

^Г ф W

r w ф '     C 1 C . = L 1 C ( 42 ) C ( 31 ) * C ( 32 ) C ( 41 )        2 C ( 42 ) C ( 32 )     \                  (30)

I        ( 4 ) ( 3 )                                                                            I ;                       ()

r WW J                  A 1 (      2C ( 41 ) C ( 31 )         C ( 41 ) C ( 32 ) * C ( 31 ) C ( 42) J

^ 1 = C ( 33 ) C ( 44 ) C ( 43 ) C ( 34 ) .                                                   (31)

Механика

Для определения скорости распространения ПАВ вдоль свободной границы достаточно приравнять к нулю определитель A 1 (31) и решить получившееся уравнение относительно g x = ю/ V R , где V R - скорость ПАВ.

Компоненты перемещений для волн, распространяющихся в приграничном слое, могут быть найдены из выражений:

(                  (L)( i g7 z                 ig7 z   ig-Л -- iюt uz = A01 C(11) C(42)e     - C(12) C(41) e     Ie e ;

Г                  (L)(

Ux = A о I C(21) C(42) eigzz - C(22) C(41) e8*1 Ieigxe-i" t.(32)

Для поверхностных волн, когда они убывают при удалении от границы, величины gz являются мнимыми (L)     (L) (T)( gz = iaz, gz = iaz, и вещественные значения uz и ux описывают траекторию частиц, участвующих в переносе ПАВ.

Таким образом, полученные соотношения позволяют исследовать влияние вращения на параметры ПАВ в трансверсально-изотропном полупространстве. Для этого достаточно найти коэффициенты C ij из выражений (22)– ( к )

(25), где g определяются из (12) при А = 0. Далее по формуле (31) при А1 = 0 вычислить фазовую скорость и, сле- довательно, частоту ПАВ. Затем, используя (32), можно определить изменение амплитуды колебаний частиц, участвующих в переносе ПАВ, а также форму эллиптической траектории движения частиц.

Изотропные среды. В качестве примера рассмотрим изменение параметров ПАВ в изотропном вращающемся полу- пространстве.

В изотропном случае имеем:

С 11 = С зз = X + 2ц;    С 13 =- С 12 = X ;    С 44 = ц ;

а 1 = X ;          а 2 = ц;    а3 = a 4 = а5 = 0;

( L )            2            ( L )                  ( L )

d 1 =- Xq х 2; d 2 = 0; d 3 = 2p R 2 ;

( t )

d 2 = 0;

( L )      ( a      ( t )           *

d 4 = 2 ц ( 1 R 3 ) ;    d 1 = - XqR 1 ;

( t )

d 3 = 2цх ;

( T )

d 4 = 2ц- ( 1 + R ) . χ

( L )            * ( L )       » ( T )           .

Здесь D 1 = 1 + R 3 ; D 2 = R 2 ; D 1 = 1 + R 1 ; R 1

-2

- q

Ω

ω

R * =

V ( 1 - q ) ю

w                     „      Г П A2

Малой величиной второго порядка I — I l ю ;

пренебрегли.

(,K)   (L)  (T)   Ю2р , X + ц b1 = b1 = b1 =      ; b 2 =       ;

μμ

( K )_ Ю 2 Р - h2Ц . ,  _ X + ц .

3 " X + 2ц ;  4 = X + 2ц ;

λ, μ — упругие константы Ламе.

Элементы матрицы C имеют вид:

C ( 11 ) = i ( r 2 - R 3 )X V q - 5 + i X V q - 5 ;

C ( 12 ) = - > k 5 - x ( 1 - 5 ) R * ] ;

C ( 21 ) - - i^R + i ^ s ; C ( 22 ) - i (xV1 - S + xV1 - SR i ) ;

C ( 31 ) - -MX2 ( 1 - 2 S ) - 2цх 2 ( q - S X R * - R * ) ;

C(32) - --4 fMX2f1 - 2SJЛ-SR* - 2mx2SЛ-S V S (   (q JJ

C ( 41 ) - - X 2 Jq-S Ss 2M f 1 + 2 R ** J + X 2 V q - S V S 2p R * ;

C(42)--X2(1 -S)2mR* + X22pfS -2J.(35)

„          K2   „ g 2 to to        to          I X + 2ц

Здесь q -—у ; S - —x ; k - —; x - — ; g x - —; Vi -J-----; v t -    ; v l — скорость продольных волн; v t —ско-

χ 2 χ2      vl      vt        vR             ρρ рость поперечных волн; vR — скорость ПАВ.

Скорость распространения ПАВ определяется при А1 - 0 из уравнения (31), которое в явном виде выглядит следующим образом:

[ ( 1 - 2 S ) 2 + 4 S V q - S Л- S ] + 2

( 1 - 2 S )( 1 - S ) - V q - S ЛЛ ? 1 1 - 2 S I q .

R * +

+ 2 [ ( 1 - 2 S X q - S ) + S Л- Svq SR* - 2 [ ( 1 - 2 S X q - S ) + 2 S Л- Svq SR* - 0,

где необходимо брать вещественные корни.

Это уравнение отличается от известного [14] наличием слагаемых, учитывающих вращение полупространства. Определив из уравнения (36) величину S при заданных q и Ω , можно использовать формулы (35) для нахож- дения компонентов поля (27).

Для волн, распространяющихся в приграничном слое, эти компоненты могут быть записаны в виде:

(L)( uz - C(П)ф++ C(12)^+eigzz;

(L)(

Ux - CИФ+eigzz + C(22W+eigzz;(37)

(L)( azz - CФ +eigz + C(32W+eigzz ;

(L)( azx - C(41)Ф+eigzz + C(42W+eigzz.(38)

Найдем амплитуды потенциалов ф + и W + . Для этого предположим, что источники в виде давления расположены на границе. Тогда, используя граничные условия, можно решить систему уравнений (38) и, подставив решение в (37), получим выражение для компонентов перемещений. Восстанавливая множитель e i ю t e ig x x , имеем:

(                  ( l )                        ( t ) А g7 z    z-ч             i g7 z    -itot igvx uz - A0 IC(11)C(42)e     - C(12) C(41)e      Iee

Механика

f                       ,( L )                              ,( T ) A

^ i g? z                  i g7 z - i to t ^igYx

I C(21)C(42)e z - C(22)C(41)e z Iee

Для поверхностных волн, когда волны убывают при удалении от границы, величины g z являются мнимыми

(L)     (L) (T)( gz - i a, gz - i а и вещественные значения uz и ux описывают траекторию частиц, участвующих в переносе ПАВ.

Движение частиц вблизи поверхности может быть найдено из (39) при z = 0 и после подстановки элементов матрицы C ( ij ) из (35) определяется следующими формулами:

u z = A 2 V s - q [ - 1 +( s - 1 ) R * + R* ] sin ( g x x - ® t ) ;

ux

= A W [o , 5 - s +

s - 0 , 5

-

*

s -1 V s - q R *

+

+ 0 , 5V s -1V s - qR * ] cos ( g x x - № t ) .

Здесь s находится из уравнения (36).

Из этих формул видно, что траектория смещения частиц в поверхностной волне представляет собой эллипс, оси которого зависят от скорости вращения различным образом.

Численное моделирование и анализ его результатов. В качестве иллюстрации на рис. 2 приведен график, со- v2

ответствующий зависимости скорости распространения ПАВ S = 2 от скорости вращения полупространства vR2

Ω w = при q = 0,33 .

ω

Рис. 2. График зависимости скорости распространения ПАВ от скорости вращения полупространства

Как видно из данного графика, фазовая скорость увеличивается или уменьшается в зависимости от направления вращения Ω полупространства. При малом вращении эта зависимость имеет почти линейный характер.

На рис. 3 приведены траектории движения частиц на поверхности при w = 0 , w = 0 , 01 , w = 0 , 02 и w = 0 , 08 соответственно для q = 0 , 33 .

Рис. 3. Траектории движения частиц на поверхности при различных скоростях вращения полупространства

Как видно, траектория движения частиц вблизи поверхности изменяется при вращении полупространства. Причем малая ось эллипса изменяется в большей степени, чем большая.

Вывод. Таким образом, с помощью метода скаляризации найдено аналитическое решение задачи исследования параметров ПАВ при вращении трансверсально-изотропного полупространства. Кроме того, приведены соотношения для расчета фазовой скорости (и, следовательно, частоты ПАВ), а также амплитуды и формы движения частиц, участвующих в переносе ПАВ. Все эти факторы могут использоваться при конструировании гироскопов на акустических волнах.

Список литературы Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве

  • Фельсен, Л. Излучение и рассеяние волн/Л. Фельсен, Н. Маркуш. -Москва: Мир, 1978. -Т. 1. -547 с.
  • Морс, Ф. М. Методы теоретической физики/Ф. М. Морс, Г. Фешбах. -Москва: Издательство иностранной литературы, 1960. -Т. 2. -896 с.
  • Сизов, В. П. О скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах/В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -1988. -№ 5. -С. 55-58.
  • Петров, А. М. Определение напряженно-деформированного состояния в многослойной цилиндрической трубе при динамических нагрузках/А. М. Петров, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -1994. -№ 5. -С. 69-75.
  • Мирошниченко, И. П. Определение напряженно-деформированного состояния в слоистой цилиндрической конструкции при многократном воздействии локальных динамических нагрузок/И. П. Мирошниченко, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -2000. -№ 1. -С. 97-104.
  • Петров, А. М. Динамическое поведение анизотропных многослойных цилиндрических конструкций/А. М. Петров, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -2000. -№ 3. -С. 34-39.
  • Микроакустомеханический гироскоп: патент 2543706 Рос. Федерация: МПК G 01 C 19/56, H 03 H 9/25/Ю. В. Вахтин . -№ 2013143420/28; заявл. 25.09.2013; опубл. 10.03.2015, Бюл. № 7. -8 с.
  • Гироскоп на поверхностных акустических волнах: патент 2390727 Рос. Федерация/В. А. Калинин . -№ 2009109734/28; заявл. 17.03.2009; опубл. 27.05.2010, Бюл. № 15. -8 с.
  • Apparatus and method for detecting a rotation: patent 7895892 В2 US/R. Aigner. -01.03.2011.
  • Новацкий В. Теория упругости/В. Новацкий. -Москва: Мир, 1975. -872 с.
  • Федоров, Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах/Ф. И. Федоров. -Москва: Наука, 1965. -386 с.
  • Сиротин, Ю. И. Основы кристаллографии/Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. -Москва: Наука, 1975. -680 с.
  • Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ/П. К. Рашевский. -Москва: Наука, 1967. -664 с.
  • Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах/Л. М. Бреховских. -Москва: АН СССР, 1957. -502 с.
Еще
Статья научная