Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве
Автор: Мирошниченко Игорь Павлович, Погорелов Вадим Алексеевич, Сизов Валерий Павлович
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 3 (82) т.15, 2015 года.
Бесплатный доступ
Целями работы являются обобщение метода скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах на задачи для сред, вращающихся с постоянной угловой скоростью, а также разработка научно-методического аппарата для описания влияния вращения на параметры поверхностных акустических волн. На основе указанного метода предложен научно-методический аппарат для конструирования новых гироскопов на акустических волнах. Получены и обоснованы соотношения для расчета параметров поверхностных акустических волн (ПАВ), распространяющихся на границе вращающегося полупространства из трансверсально-изотропного материала с произвольно расположенной осью материальной симметрии. Приведен пример численного моделирования для случая изотропного вращающегося полупространства. Предлагаемый научно-методический аппарат и примеры численного моделирования могут быть использованы для разработки новых видов гироскопов на акустических волнах для систем навигации, ориентации и управления различными подвижными объектами в авиации, робототехнике и т.п.
Метод скаляризации, трансверсально-изотропная среда, акустические волны, поверхностные акустические волны
Короткий адрес: https://sciup.org/14250158
IDR: 14250158 | DOI: 10.12737/12600
Текст научной статьи Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве
конструкции при многократном воздействии локальных динамических нагрузок. В [6] дан анализ динамического поведения анизотропных многослойных конструкций и т. д.
Целью настоящей работы является обобщение данного метода на задачи для трансверсально-изотропных сред, вращающихся с постоянной угловой скоростью Ω , а также получение соотношений для описания влияния вращения на параметры поверхностных акустических волн (ПАВ), которые могут использоваться в гироскопах [7–9]. Исходные соотношения. Уравнение движения в перемещениях для монохроматических волн (e’i “t), содержащих массовые силы, по [10, 11] имеет вид:
- to2 р U = VjCijr V( rus)+ F1, где Fi - вектор плотности объемных сил; р — плотность; to — частота.
Для трансверсально-изотропных материалов тензор коэффициентов упругости C ijrs может быть разложен на неприводимые части следующим образом [12]:
C irs=Cig ijg rs+C2 (g irg^+gisgr)+C3 [(3 n in j-gij) g-s+(3 n rn s-g rs)g j]+ +C4[(3ninr-gi)gjs+(3njn s-gis)gr+(3n ins-gis)gjr+(3njnr -gF)gir]+ +C5(35 ninjnrns-30 n(in grs))+3 g(ijgrs), где ni — единичный вектор главной оси симметрии;
C = 3 (c|4} + 2C,") ; C2 = 3 (c|4>-c|22^);(2)
c - — (ri4} + гс^22})' r (r''4i X--1221V c -- H4} c3 = 12 C + 2cg ); c4 = 12 Cg cg ); c5 = 8 cn ;(3)
c | 4} = 115 ( 8 C 11 + 3 C 33 + 4 C 13 + 8 C 44 ) ;
C l 22! = 1 ( - C n + 3 C 12 + 4 C 13 - 4 C 44 ) ; C^ = ( - 8 C n + 6 C 33 + 2 C n + 4 C 44 ) ;
C?! = 3 (2CH - 6C12 + 4C13 - 4C44); C{4} = 35 (Cn + C33 - 2C13 - 4C44).(4)
Константы, входящие в коэффициенты разложения (4), являются элементами матрицы упругих постоянных, записанной по свернутому индексу.
Пренебрегая центробежными силами как малой величиной второго порядка, а также учитывая, что О = const , представим массовые силы в виде сил Кориолиса. Тогда вектор плотности объемных сил можно записать следующим образом:
F s =- i 2to2p - 8 sjk О j u k , (5)
ω
где Q j — вектор угловой скорости, £ sjk — дискриминантный тензор.
Для квазипродольных и квазипоперечных волн, учитывая работу [3] и принимая во внимание выражение (5), уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы:
-
(k) (k)(k) (k) i 1,
V s V sUJ + bl UJ + b 2V J V sus =-7Г" 2to2p-8 Jjs 0 jus;(6)
C44ω
-
(k) (k)(k) (k) i 9 1,
VeVa ua + b3 uв + b4VJVe Uj = -—2to2p-8ejs0j us.(7)
C11
Здесь:
( k ) 1
b 1 = —
C 44
( ( к )
®2 p - h 2 ( - C 13 + C 33
I
-
2 C 44 )
J
b 2 =7^( C 13 + C 44 ) ;
C 44
( k ) 1
b = —
3 C 11
-P - У C 44 I J
b 4 = 7^ ( C 13 + C 44 );
C 11
( к ) = L, T, индекс L относится к квазипродольным волнам, а индекс T — к квазипоперечным;
( к )
h - проекция волново-
( к )
го вектора g на ось материальной симметрии; индекс J — фиксированный, он соответствует главной оси симметрии материала, в = K,N; фиксированные индексы J, K, N относятся к локальному аффинному реперу eJ, eK, eN, имеющему один инвариантный базисный вектор eJ, когда справедливы уравнения (6) и (7).
Решаемая научная задача заключается в том, чтобы найти аналитическое решение уравнений (6), (7) для трансверсально-изотропного полупространства, вращающегося с постоянной скоростью.
Постановка задачи. Конкретизируем задачу рассмотрением плоских волн, распространяющихся в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Рассмотрим трансверсально-изотропное полупространство, граница которого представляет собой плоскость. Нормаль к границе составляет угол α с направлением оси симметрии полупространства.
Для описания волн в полупространстве введем соответствующую аффинному реперу e J , eK, eN Декартову систему координат x J , x K , x N , где ось x J совпадает с осью симметрии материала полупространства, а ось x K лежит в плоскости распространения волн. Вращение полупространства производится вокруг оси x N с угловой скоростью Ω .
( K ) ( K )
Направление распространения волн определяется волновым вектором g . Вектор g составляет угол θ с осью x J (рис.1).

Рис. 1. Расчетная схема плоских волн, распространяющихся в плоскости, перпендикулярной оси вращения
Компоненты перемещений квазипродольных и квазипоперечных волн во вращающемся полупространстве являются решением уравнений движения (6), (7).
Компоненты напряжения могут быть определены из закона Гука:
a ij = C ir V ( rus ) . (9)
Поле также должно удовлетворять граничным условиям свободной поверхности полупространства.
Механика
Решение задачи.
Объемные волны. Используя метод скаляризации, запишем компоненты перемещений через скалярные потенциалы для квазипродольных волн ф и для квазипоперечных волн W , как это сделано в [3]:
где 5 J — символ Кронекера.
д
U =—7 д x i
1 ф + - g
(
5 J g +
V
д г дxi дxJ
)
W,
Функции ф и W являются решениями уравнений Гельмгольца с собственными значениями
V ( l ) и V ( т ) — скорости квазипродольных и квазипоперечных волн.
Представим решение уравнений Гельмгольца в виде плоских волн:
.(L) J -(L) K .<т) J .<т) K i h x i ^ x i h x i E x ф = фоe e W = Woe e E ,
( K ) ( K ) ( K )
где h 2 +^ 2 = g 2 .
Используя (10), из выражений (6) и (7) соответственно получим:
P 11 Ф + P 12 W = 0; P 21 Ф + P 22 W = 0,
где:
( L ) ( к ) ( K ) ( LL ) -
P 11 = ih [ — g 2 ( 1 + b 2 ) + b ] + — 2® 2P— ; C 44
ω
( т )
£ 2 (K) ( K )
P 12 =^ K ) ( b1 — g ) +
g
( т )( т )
i ^ h . 2 ^ I K T 2 и Р И ;
С 44
g
(к) , g = И V(к);
(L) (K) (L) (L) Q p21 = i^ (b3 — ^2 — b4h2) — -h-2и2р- ;
Сп и
в 22
(т)(т) м й2Е (т) (K) ' (^ 2 — b 3
—
—
( т )
b 4 5 2 ) +
( т )
g
^ 2? 2 - -----r—x 2и p . Cn ( K ) и
i
g
Приравнивая к нулю определитель системы уравнений (12), найдем соотношение для определения
( к )
g . В ре-
зультате получившееся уравнение отличается от аналогичного в [3, 11] наличием слагаемых, учитывающих вращение среды. Если вращение отсутствует (— = 0), то это соотношение совпадает с соответствующим уравнением для одно- осных кристаллов [11].
Из выражения (12) следует соотношение В= ф Ду =- в;2/Рт] = - Р22/в2р используя которое запишем формулу (10) для определения перемещений через скалярные потенциалы в форме, аналогичной [3]:
f( L ) д ( L ) д J )
U; = I D + D7 —г 5, ф +
1 V 1 д x i 2 д x J 1 7
( L )Г( L ) ( L )
( L )
D = 1
—
1 (т) д2 (т) J т D1 x + g 5i
W ;
V g
( L )( L )
( L ) ( l ) ( L )
h2 b1— g2(1 + b2) + i7^2®2p~ J С44 и wn —;
L L ( L )c L ) i о
^2 (b — g 2 ) + i^ h -^2rn2p-
C 44 И
( L )
D 2 =
( L ) ( L ) ( L ) ( L )
i 2 ( 22 — b 3 — 2 2 b 4 )
I—
( L )
1 2 2, 2 □
2to p —
C 44 ( L ) to
44 h
(L)(L) (L1 (L1 (L) 2 Q i2 (b3 — 22—b4 h2) — -h-2to2p-
C 11 to
;
( t )
D 1 = 1 +
( T )
12 ( T ) 1 ( T )
i I) (b — g 2 ) — I V| p'’
( 1 ) C44 m
h
( t )Г ( t )
ih
—
T"
.
Компоненты тензора напряжений находятся из закона Гука:
<3 =
U j
+
g 2 ( 1 + b 2 ) + b 1 + -|- 2to2p° C 44 to
(L) (L) , , (L )1 , d 15 ij + d 2 5 J 5 J + d 3 2 5 J
/
V
J
i
"( t ) 5 ( t ) , , 5
d 5,-, -^7 + d 2 5 J 5 J -d7 +
1 j 5 xJ 2 i j 5 xJ
где в соответствии с [3] имеем:
( l ) ( L 2 ( L ) f ( l ) ( l )
d 1 = — g a i + h a 3 I D i + D 2
;
( L )
( L )
( L ) ( L )
d 3 = 2 a 2 D 2 + 2 a 4 I 2 D 1 + D 2 I ;
( t ) ( t / ( t )) f ( t ) ( T ) ( T ) ( T ))
d 1 = a 1 g 11 — D 1 1 + a 3 g — h 2 g 1 D 1
V
5 2
5 xj d xJ
+ 5'
■ j 5
A
j 5 x i 5 x J 7
d
5 J —- + 5' 5 x j
( L ) d 2 =
( L )
—
;
( t ) ( t ) f ( t ) ( t 2 ( T ) ( t )
d 3 = 2 a 2 g + 2 a 4 g — 2 h 2 g 1 D 1
;
V
a 1 = C12 ; a 2 = 2 (C 11 — C 12 ) ;
a 4 = 2 (C 11
—
C 12 ) + C 44 ;
5 ( l ) d 2
^”7 + d 4~^~ d xJ d x d xj
J 5 ) ( T )
---7 I + d 4
5 x 7 5 x 5 x j 5 xJ
( L )
g 2 a
( L )
Ф +
W ,
( L 2 )f ( l ) ( l ) ( l )
— h I 2 a 4 D 2 + a 5 D 2 + a 5 D 1
d 4 = 2 a 2 D 1 ;
;
f( t ) ( T H t )( t )
(T) (T )f (t )^ (t ) [_ d2 = a3 g| 1 — D1 | + 2a4 g + a5 g — h2 g1 D1
( T )
( t ) ( t )
d 4 = 2 a 2 D i g
;
a 3 = — C 12 + C 13;
Л
;
V
a5 = C 11 + C 33 — 2 (C 13 + 2 C 44 ) .
Таким образом, формулы (14) и (16) описывают тензорные поля перемещений и напряжений через скалярные потенциалы и могут использоваться при расчете параметров упругих волн, находящихся в поле сил Кориолиса. Заметим, что форма соотношений (14) и (16) совпадает с формулами для полей, записанных через скалярные потенциалы в [3]. Отличие заключается в значении коэффициентов (15), в которых есть слагаемые, учитывающие вращение.
Поверхностные волны. С целью удовлетворения граничным условиям для удобства введем связанную с границей декартову систему координат x, y, z , которая образуется поворотом системы координат x J , x K , x N путем против часовой стрелки вокруг оси x N на угол α (см. рис. 1). В этом случае уравнения преобразования имеют вид:
z = — xK sin a + xJ cos a; xK = xcos a — zsin a ;
x = xK cos a + xJ sin a; xJ = xsin a + zcos a ;
y = x N ; xN = y . (19)
При этом ось z совпадает с нормалью к границе, а оси x, y направлены параллельно ей.
Компоненты полей в системе координат x, y, z могут быть выражены через компоненты в системе координат x J , x K , x N следующим образом [13]:
dxJ dxK uz = -^uj+ -^uK; dz dz
ux
5 x J
d x K
Механика
5 x
J
+--u
K ;
_ 5 xJ 5 x m 5 xK 5 xm ,
^ zz = - - ^ Jm + - - ^ Km ;
o z d z d z о z
_ 5 xJ 5 x m 5 x K 5 x m
^ zx = -. ^ Jm + ^ Km- dz dx dz dx
Зависимости проекций h , £, волнового вектора g на оси координат x J , x K , xN и проекции этого вектора на оси
координат x, y, z выглядят так:
h =
cos θ
cos θ
sin ( a + 9 ) g x cos ( a + 9 ) gz ’
5 =
sin θ
sin θ
sin ( a + 9 ) g x cos ( a + 9 ) gz ’
g 2 = h 2 + ^ 2 = gz 2 + g x 2 .
Используя выражения (19)–(21) из соотношений (14), (16) и (20), после несложных преобразований получим
формулы для описания полей в системе координат x, y, z :
( t )
.(L ’"(L ’ cos 9 cos а (L )7 (T)" n(T ’ cos а 7 g uz = igz\D1+ D2 |ф+igz\— cos9D1+ krW;
V cos ( а + 9 ) J V cos ( а + 9 ) 7( T ’
(.1
( L )| cos 9 cos а\( L ’ ( L ’7 sin 9 cos а^ ^ ’)- g (T )i u x = igz\ l D - + D 2 | + D - ф + i -ay g z I
| cos ( а + 9 ) cos ( а + 9 ) J ( T ’
—
sin ( а + 9 ) cos 9 ( T ’ sin а 7
—v— — D1 +-- 7 ---z | W ;
cos ( а + 9 ) cos ( а + 9 ) J
σ zz
= S cos a
( L ’ ( L ’ "( L ’ ( L )7 cos 2 9 ( L 2 d 1 + d 2 — \ d 3 + d 4 1 “7 g z
V J cos 2 ( a + 9 )
\ 1 ( L ) ( L )) sin 29 ( L 2
+ sin 2al d 3 + d 4 |-----—,-----г g 2 +
V 2 3 4 J 2 cos 2 ( a + 9 ) z
\( L ) ( L )
+ sin2 а d 1 — d
sin 2 9
( L Л1-
V
4 cos 2 ( а + 9 )
g z 2
^Ф 7j
( t )
g 2
— cos а ^
cos 9 cos ( а + 9 )
( T )(( T ) ( T ) ( T ) ( T )
g z d 1 + d 2 + d 3 V
— d
cos 2 9
4 cos 2 ( а + 9 )
(T )) g
—
— sin 2 а
sin 9 g z
/
cos ( а + 9 ) 2
1 ( t ) ( t )
- d 3 — ’
d
cos 2 9
4 cos 2 ( а + 9 )
( T ) ) g z
( t )
cos 9 g + sin а---z---z cos (а + 9)
" ( T ) ( T ) d 1 — d 4
V
sin 2 9 T2
cos 2 ( а + 9) ^ z 7
W ;
σ zx
f 1 ( L )
= < — sin 2а d2
1 2 2
( L )
( L )
—
d 3 + d 4
cos2θ cos 2 (a + 9)
( L 2) ( L )
g z + d 4
cos
sin 2 θ
2 ( а + б )
( L )" g 2
( 2 f 1 ( L ) ( L ’7
— ( 1 — 2 sin 2al — d 3 + d 4 I x
sin 29
x"—
2 cos 2 ( а + 9 )
( L ’b gT ’f 1
g z 2 :ф : \sin 2а
^ 2
cos 9 cos ( а + 9 )
( T )\ ( T ) ( T ) ( T )
g z d 2 + d 3
V
— d
cos 29
4 cos 2 ( а + 9 )
( T ’7 g
+
+ ( 1 — 2 sin 2 a
\ sin 9 ( T ’"
; ’ gz ?
cos ( a + 9 ) \ 2
1 ( T ) ( T )
- d 3 — d 4 2
cos
cos
2 θ
( а + 9 )
(T ’) g z
W .
( L ) ( L ) ___ ( T ) ( T )
Здесь ф = ф о el gzz elg xx ; W = W 0 el gzz elg,x
( l ) gx
.
Таким образом, найдены выражения для компонентов полей, которые входят в граничные условия.
Так как в полупространстве существуют падающие и отраженные волны, а в силу закона Снеллиуса
( T ) _
= g x = g , функции ф и W могут быть записаны в виде:
( ( L )
Ф =\ ф + eig z z
—
+Ф e
( L ) A
:—ig z z e^V 1 ,
_ \ ( T )
W = 1 W + e i g z z + W e
( T ) A
■—ig z z I e ig x x e — i m t
.
Здесь ф±, W ± — амплитуды, подлежащие определению из граничных условий.
Для удобства дальнейшего изложения представим компоненты перемещений ui и напряжений σij, входящие в граничные условия, в виде вектор-столбца:
B = ( uz,u x , с zz , с zx ) T = ( u, c T .
Для определения этих компонентов запишем следующее матричное соотношение:
B = CF V ,
где:
C = ( C 1 1 ) C 1 2 )1 ; F J F * 0 1 ; T = ( T ‘ 1 ;
I C ( 3 ) C ( 4 ) J’ ( 0 F - J’ ( T — J’
F *
e№ z
. T ) ;
e ig z z
F —
( ( L ) 1
e "igzZ 0
0 e-z ;
V *
ф *
W *
V —
ф
( W —
C ( 1 ) =
1 C (1"
I C ( 21 )
C ( 12 )
C ( 22 )
c (И C (31) C (32)1
I C (41) C (42) J g x — itot
Здесь опущены фазовый и временной множители e x , e
Блоки C (2) и C ( 4 ) совпадают соответственно с C ( 1 ) и C (3), если у элементов главной диагонали матрицы C ( 1 )
и побочной диагонали матрицы C (3) изменить знаки на противоположные.
Элементы С (у) матрицы C определяются из формул (22)-(25). Они представляют собой выражения, которые являются множителями, стоящими в формулах (22)-(25) перед функциями ф и W . Например, элемент С ( 11 ) — это множитель перед ф в формуле (22), элемент С (12 ) — множитель перед W в этой формуле, элемент С ( 21 ) — множитель перед ф в формуле (23) и т. д.
Зная значения элементов матрицы С, можно для различных материалов определить параметры волны в зависимости от вращения Q полупространства, а также от углов а и 9 .
Граничные условия в данных обозначениях запишутся так:
-
1 u 1
B = I I , при z = 0. (29)
Компоненты вектор-столбца V представляют собой амплитуды падающих и отраженных полей в полупро- странстве. Если представить падающее поле в виде продольной волны с единичной амплитудой, то отраженное поле будет определяться коэффициентами отражения Гфф, ГфЖ и вектор-столбец V = (1, 0, Гфф, ГфW) T. При падающей поперечной волне единичной амплитуды V =(0, 1, rWф,rWW)T. Подставляя эти значения V в соотношение (28) и учитывая, что напряжение на свободной поверхности равно 0 (29), можно найти формулы для компонентов Г . Совокупность этих формул запишем в виде выражения для матрицы Г следующим образом:
( г г= ^Г ф W |
r w ф ' C — 1 C . = L 1 C ( 42 ) C ( 31 ) * C ( 32 ) C ( 41 ) 2 C ( 42 ) C ( 32 ) \ (30) I ( 4 ) ( 3 ) I ; () r WW J A 1 ( 2C ( 41 ) C ( 31 ) C ( 41 ) C ( 32 ) * C ( 31 ) C ( 42) J ^ 1 = C ( 33 ) C ( 44 ) — C ( 43 ) C ( 34 ) . (31) |
Механика
Для определения скорости распространения ПАВ вдоль свободной границы достаточно приравнять к нулю определитель A 1 (31) и решить получившееся уравнение относительно g x = ю/ V R , где V R - скорость ПАВ.
Компоненты перемещений для волн, распространяющихся в приграничном слое, могут быть найдены из выражений:
( (L)( i g7 z ig7 z ig-Л -- iюt uz = A01 C(11) C(42)e - C(12) C(41) e Ie e ;
Г (L)(
Ux = A о I C(21) C(42) eigzz - C(22) C(41) e8*1 Ieigxe-i" t.(32)
Для поверхностных волн, когда они убывают при удалении от границы, величины gz являются мнимыми (L) (L) (T)( gz = iaz, gz = iaz, и вещественные значения uz и ux описывают траекторию частиц, участвующих в переносе ПАВ.
Таким образом, полученные соотношения позволяют исследовать влияние вращения на параметры ПАВ в трансверсально-изотропном полупространстве. Для этого достаточно найти коэффициенты C ij из выражений (22)– ( к )
(25), где g определяются из (12) при А = 0. Далее по формуле (31) при А1 = 0 вычислить фазовую скорость и, сле- довательно, частоту ПАВ. Затем, используя (32), можно определить изменение амплитуды колебаний частиц, участвующих в переносе ПАВ, а также форму эллиптической траектории движения частиц.
Изотропные среды. В качестве примера рассмотрим изменение параметров ПАВ в изотропном вращающемся полу- пространстве.
В изотропном случае имеем:
С 11 = С зз = X + 2ц; С 13 =- С 12 = X ; С 44 = ц ;
а 1 = X ; а 2 = ц; а3 = a 4 = а5 = 0;
( L ) 2 ( L ) ( L )
d 1 =- Xq х 2; d 2 = 0; d 3 = 2p R 2 ;
( t )
d 2 = 0;
( L ) ( a ( t ) *
d 4 = 2 ц ( 1 — R 3 ) ; d 1 = - XqR 1 ;
( t )
d 3 = 2цх ;
( T )
d 4 = 2ц- ( 1 + R ) . χ
( L ) * ( L ) » ( T ) .
Здесь D 1 = 1 + R 3 ; D 2 = R 2 ; D 1 = 1 + R 1 ; R 1
-2

- q
Ω
ω

R * =

V ( 1 - q ) ю
w „ Г П A2
Малой величиной второго порядка I — I l ю ;
пренебрегли.
(,K) (L) (T) Ю2р , X + ц b1 = b1 = b1 = ; b 2 = ;
μμ
( K )_ Ю 2 Р - h2Ц . , _ X + ц .
3 " X + 2ц ; 4 = X + 2ц ;
λ, μ — упругие константы Ламе.
Элементы матрицы C имеют вид:
C ( 11 ) = i ( r 2 - R 3 )X V q - 5 + i X V q - 5 ;
C ( 12 ) = - > k 5 - x ( 1 - 5 ) R * ] ;
C ( 21 ) - - i^R + i ^ s ; C ( 22 ) - i (xV1 - S + xV1 - SR i ) ;
C ( 31 ) - -MX2 ( 1 - 2 S ) - 2цх 2 ( q - S X R * - R * ) ;
C(32) - --4 fMX2f1 - 2SJЛ-SR* - 2mx2SЛ-S V S ( (q JJ
C ( 41 ) - - X 2 Jq-S Ss 2M f 1 + 2 R ** J + X 2 V q - S V S 2p R * ;
C(42)--X2(1 -S)2mR* + X22pfS -2J.(35)
„ K2 „ g 2 to to to I X + 2ц
Здесь q -—у ; S - —x ; k - —; x - — ; g x - —; Vi -J-----; v t - ; v l — скорость продольных волн; v t —ско-
χ 2 χ2 vl vt vR ρρ рость поперечных волн; vR — скорость ПАВ.
Скорость распространения ПАВ определяется при А1 - 0 из уравнения (31), которое в явном виде выглядит следующим образом:
[ ( 1 - 2 S ) 2 + 4 S V q - S Л- S ] + 2
( 1 - 2 S )( 1 - S ) - V q - S ЛЛ ? 1 1 - 2 S I q .
R * +
+ 2 [ ( 1 - 2 S X q - S ) + S Л- Svq SR* - 2 [ ( 1 - 2 S X q - S ) + 2 S Л- Svq SR* - 0,
где необходимо брать вещественные корни.
Это уравнение отличается от известного [14] наличием слагаемых, учитывающих вращение полупространства. Определив из уравнения (36) величину S при заданных q и Ω , можно использовать формулы (35) для нахож- дения компонентов поля (27).
Для волн, распространяющихся в приграничном слое, эти компоненты могут быть записаны в виде:
(L)( uz - C(П)ф++ C(12)^+eigzz;
(L)(
Ux - CИФ+eigzz + C(22W+eigzz;(37)
(L)( azz - CФ +eigz + C(32W+eigzz ;
(L)( azx - C(41)Ф+eigzz + C(42W+eigzz.(38)
Найдем амплитуды потенциалов ф + и W + . Для этого предположим, что источники в виде давления расположены на границе. Тогда, используя граничные условия, можно решить систему уравнений (38) и, подставив решение в (37), получим выражение для компонентов перемещений. Восстанавливая множитель e i ю t e ig x x , имеем:
( ( l ) ( t ) А g7 z z-ч i g7 z -itot igvx uz - A0 IC(11)C(42)e - C(12) C(41)e Iee
Механика
f ,( L ) ,( T ) A
^ i g? z i g7 z - i to t ^igYx
I C(21)C(42)e z - C(22)C(41)e z Iee
Для поверхностных волн, когда волны убывают при удалении от границы, величины g z являются мнимыми
(L) (L) (T)( gz - i a, gz - i а и вещественные значения uz и ux описывают траекторию частиц, участвующих в переносе ПАВ.
Движение частиц вблизи поверхности может быть найдено из (39) при z = 0 и после подстановки элементов матрицы C ( ij ) из (35) определяется следующими формулами:
u z = A 2 V s - q [ - 1 +( s - 1 ) R * + R* ] sin ( g x x - ® t ) ;
ux
= A W [o , 5 - s +
s - 0 , 5
-
*
s -1 V s - q R *
+
+ 0 , 5V s -1V s - qR * ] cos ( g x x - № t ) .
Здесь s находится из уравнения (36).
Из этих формул видно, что траектория смещения частиц в поверхностной волне представляет собой эллипс, оси которого зависят от скорости вращения различным образом.
Численное моделирование и анализ его результатов. В качестве иллюстрации на рис. 2 приведен график, со- v2
ответствующий зависимости скорости распространения ПАВ S = 2 от скорости вращения полупространства vR2
Ω w = при q = 0,33 .
ω

Рис. 2. График зависимости скорости распространения ПАВ от скорости вращения полупространства
Как видно из данного графика, фазовая скорость увеличивается или уменьшается в зависимости от направления вращения Ω полупространства. При малом вращении эта зависимость имеет почти линейный характер.
На рис. 3 приведены траектории движения частиц на поверхности при w = 0 , w = 0 , 01 , w = 0 , 02 и w = 0 , 08 соответственно для q = 0 , 33 .

Рис. 3. Траектории движения частиц на поверхности при различных скоростях вращения полупространства
Как видно, траектория движения частиц вблизи поверхности изменяется при вращении полупространства. Причем малая ось эллипса изменяется в большей степени, чем большая.
Вывод. Таким образом, с помощью метода скаляризации найдено аналитическое решение задачи исследования параметров ПАВ при вращении трансверсально-изотропного полупространства. Кроме того, приведены соотношения для расчета фазовой скорости (и, следовательно, частоты ПАВ), а также амплитуды и формы движения частиц, участвующих в переносе ПАВ. Все эти факторы могут использоваться при конструировании гироскопов на акустических волнах.
Список литературы Метод скаляризации в задачах распространения поверхностных упругих волн во вращающемся трансверсально-изотропном полупространстве
- Фельсен, Л. Излучение и рассеяние волн/Л. Фельсен, Н. Маркуш. -Москва: Мир, 1978. -Т. 1. -547 с.
- Морс, Ф. М. Методы теоретической физики/Ф. М. Морс, Г. Фешбах. -Москва: Издательство иностранной литературы, 1960. -Т. 2. -896 с.
- Сизов, В. П. О скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах/В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -1988. -№ 5. -С. 55-58.
- Петров, А. М. Определение напряженно-деформированного состояния в многослойной цилиндрической трубе при динамических нагрузках/А. М. Петров, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -1994. -№ 5. -С. 69-75.
- Мирошниченко, И. П. Определение напряженно-деформированного состояния в слоистой цилиндрической конструкции при многократном воздействии локальных динамических нагрузок/И. П. Мирошниченко, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -2000. -№ 1. -С. 97-104.
- Петров, А. М. Динамическое поведение анизотропных многослойных цилиндрических конструкций/А. М. Петров, В. П. Сизов//Известия РАН. Механика твердого тела. -2000. -№ 3. -С. 34-39.
- Микроакустомеханический гироскоп: патент 2543706 Рос. Федерация: МПК G 01 C 19/56, H 03 H 9/25/Ю. В. Вахтин . -№ 2013143420/28; заявл. 25.09.2013; опубл. 10.03.2015, Бюл. № 7. -8 с.
- Гироскоп на поверхностных акустических волнах: патент 2390727 Рос. Федерация/В. А. Калинин . -№ 2009109734/28; заявл. 17.03.2009; опубл. 27.05.2010, Бюл. № 15. -8 с.
- Apparatus and method for detecting a rotation: patent 7895892 В2 US/R. Aigner. -01.03.2011.
- Новацкий В. Теория упругости/В. Новацкий. -Москва: Мир, 1975. -872 с.
- Федоров, Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах/Ф. И. Федоров. -Москва: Наука, 1965. -386 с.
- Сиротин, Ю. И. Основы кристаллографии/Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. -Москва: Наука, 1975. -680 с.
- Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ/П. К. Рашевский. -Москва: Наука, 1967. -664 с.
- Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах/Л. М. Бреховских. -Москва: АН СССР, 1957. -502 с.