Метод сумм Хаара численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата
Автор: Кириллов К.А., Овчинникова Е.В., Сафонов К.В., Титов Г.П., Хохлов А.И., Гашин А.А.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 3 т.24, 2023 года.
Бесплатный доступ
В представленной работе предложен метод численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата (КА), по которой определяют матрицу перехода от связанной с КА системы координат в выбранный момент времени t1 к связанной с КА системе координат в текущий момент времени t2. Указанная матрица перехода используется в ходе решения задачи определения трехосной ориентации КА по показаниям магнитометра с использованием информации о его угловых скоростях. Предложенный метод основан на замене производных искомых функций в кинематических уравнениях Пуассона на частичные суммы рядов по масштабированной системе Хаара. Эти суммы представляют собой обобщенные многочлены по масштабированной системе Хаара и, следовательно, являются ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями. Выведены оценки погрешности предложенного метода, показывающие, что в случае коэффициентов уравнений, представляющих собой функции, удовлетворяющие условию Липшица, абсолютная погрешность вычисления каждого из элементов матрицы перехода от одной системы координат к другой есть величина O(N-1) при N ® ¥, где N - число разбиений отрезка [t1, t2] при построении сетки узлов, задействованных в данном методе. Доказано, что трудоемкость построенного алгоритма приближенного решения системы кинематических уравнений Пуассона незначительно превышает трудоемкость решения указанной системы методом Эйлера, который имеет первый порядок точности. Приведены результаты численных экспериментов, показывающие, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутты 2-го порядка, трудоемкость которых примерно в два раза превосходит трудоемкость метода сумм Хаара.
Трехосная ориентация космического аппарата, система координат, связанная с космическим аппаратом, система кинематических уравнений пуассона, система функций хаара
Короткий адрес: https://sciup.org/148328176
IDR: 148328176 | УДК: 519.622 | DOI: 10.31772/2712-8970-2023-24-3-450-467
The method of Haar sums for numerical solution of kinematic Poisson equations system that determine an evolution of a spacecraft position
In the present paper the method for the numerical solution of Poisson kinematic equations system that determine the evolution of the spacecraft position is proposed. The system of Poisson kinematic equations is used to determine the transition matrix from the coordinate system associated with the spacecraft at the selected time t1 to the coordinate system associated with the spacecraft at the current time t2. This matrix is used in the process of solving problems of determining a three-axis orientation of the spacecraft from the readings of the magnetometer using information about its angular velocities. The proposed method is based on replacing the derivatives of the desired functions in the Poisson kinematic equations by partial sums of series in the scaled Haar system. The partial sums of these series are generalized polynomials in the scaled Haar system. Hence these sums are step (piecewise constant) functions. The estimates of the proposed method error are derived, which reveal that in the case of the coefficients of the equations which are functions matching the Lipschitz condition, the absolute error in calculating each of the elements of the transition matrix from one coordinate system to another is the value O(N-1) at N ® ¥, where N is the number of partitions of the segment [t1, t2] when constructing a grid of nodes involved in this method. It is proved that the complexity of constructing an algorithm for approximating the system of Poisson kinematic properties insignificantly exceeds the complexity of solving this system by Euler method, which has the first order of accuracy. The results of numerical experiments are presented, showing that in certain cases the Haar sums method gives an error that is much smaller than the Euler method, and is almost identical to the errors of the Euler - Cauchy and Runge - Kutta methods of the 2nd order, the complexity of which is approximately two times greater than the complexity of the Haar sums method.
Список литературы Метод сумм Хаара численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата
- Пат. 2691536 Российская Федерация, МПК B64G 1/32. Способ определения трехосной ориентации космического аппарата / Нуждин А. Н., Титов Г. П., Омельниченко В. Б. и др. № 2018105409 ; заявл. 13.02.2018 ; опубл. 14.06.2019, Бюл. № 17. 9 с.
- Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2: Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1960. 487 с.
- Барышев В. А., Крылов Г. Н. Контроль ориентации метеорологических спутников. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 210 с.
- Голован А. А., Парусников Н. А. Математические основы навигационных систем. Ч. 1: Математические модели инерциальной навигации. М.: МАКС Пресс, 2011. 136 с.
- Кэрт Б. Э., Андреева Ж. Н., Агошков О. Г. Кинематика (с дополнительными главами). СПб.: Балт. гос. техн. ун-т, 2014. 222 с.
- Фомичев А. В. Кинематика точки и твердого тела. М.: МФТИ, 2021. 128 с.
- Богданов О. Н. Методика согласованного моделирования измерений инерциальных датчиков, траекторных параметров объекта с приложением к задачам инерциальной и спутниковой навигации: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2015. 142 с.
- Богданов О. Н., Коростелева С. С. Кухтевич С. Е., Фомичев А. В. О выборе алгоритма и тактовой частоты расчета матрицы ориентации для бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Труды МИЭА. 2010. Вып. 2. С. 60-67.
- Джепе А. Задача навигации и ориентации искусственного спутника Земли на основе датчиков угловой скорости и многоантенного спутникового приемника: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2016. 94 с.
- Маштаков Я. В. Использование прямого метода Ляпунова в задачах управления ориентацией космических аппаратов: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2019. 94 с.
- Savage P. G. Strapdown inertial navigation integration algorithm design. Part 1: attitude algorithms // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1998. Vol. 21, no. 1. P. 19-28.
- Лукомский Д. С., Лукомский С. Ф., Терехин П. А. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка // Изв. Са-рат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2. С. 151-159.
- Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.
- Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. М.: Интернет-ун-т инф. технологий, 2006. 523 с.
- Пантелеев А. В., Якимова А. С., Рыбаков К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практикум. М.: Инфра-М, 2016. 432 с.
- Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге - Кутта. М.: НИВЦ МГУ, 2014. 58 с.
