Методические особенности обучения учащихся функционально-графической линии

Содержание функционально-графической линии согласно программам общего образования нацелено на получение учащимися знаний о функциях как о важнейших математических моделях разнообразных процессов и явлений в природе и обществе. Освоение этого материала способствует развитию у учащихся умения использовать словесные, символические и графические средства языка математики. Функциональнографическая линия является довольно объемной и вариативной по содержанию, требует достаточно высокого уровня развития теоретического мышления, способности к абстрагированию, анализу, владения чертежными навыками. Именно поэтому она является трудной для освоения учащимися.

В 2025 году треть участников ОГЭ по математике не справились с заданием № 11 базового уровня, оценивающее умение читать графики, определять свойства элементарных функций. С заданием № 22 высокого уровня сложности на умение строить графики функций в 2024 году справилось только 3,9% девятиклассников, а в 2025 году и того меньше – 2,9%. Только 62% участников ЕГЭ профильного уровня в 2025 году справились с заданием № 11 на умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций [3].

К типичным ошибкам при выполнении заданий функционально-графической линии относятся следующие: неумение идентифицировать функцию; незнание алгоритмов построения графиков элементарных функций и способов их преобразования; неумение считывать свойства функции, неумение использовать производную для исследования функций и проч. Функционально-графическая линия является затруднительной не только для учащихся, но и для учителей математики.

Приведем результаты проведения «Декады диагностических работ по математике», организованной ГАУ ДПО «ВГАПО» в марте 2025 года. Задание № 22 ОГЭ успешно выполнили только 50,7% педагогов (114 из 225 участников). Причем ошибки учителей были сопоставимы с ученическими.

Важнейшее направление совершенствования методики обучения функционально-графической линии лежит в области открытия свойств функций в преломлении реальной действительности. Для учащихся крайне важно насыщать «открываемые» свойства функций практическим смыслом посредством внутрипредметных и межпредметных связей. Необходимо показывать, как выглядят функциональные зависимости не только на примере из курсов алгебры, геометрии, вероятности и статистики, но и из других учебных предметов. К примеру, важно открывать с учащимися, что линейная функция визуализирует различные равномерные процессы, которые рассматриваются и в экономике, и в химии; что квадратичная функция демонстрирует равноускоренные процессы, изучаемые в физике и астрономии; тригонометрические функции иллюстрируют периодические процессы в медицине; показательная функция описывает процессы органического роста, исследуемые в биологии и экологии и проч.

• 1.    Так, при изучении линейной функции следует сначала разобрать задания из обществознания: «На рисунке 1 отражено изменение спроса на услуги автосервисов на рынке: линия спроса D переместилась в новое положение – D1 (на рис. 1 P – цена; Q – количество). Какие из перечисленных факторов могут вызвать такое изменение: 1) рост числа владельцев автомобилей; 2) рост предпочтений обращаться в автосервис, а не ремонтировать автомобиль самостоятельно; 3) сокращение доходов целевой группы населения; 4) рост оплаты труда работников автосервисов; 5) увеличение стоимости аренды помещений автосервисов?».

  

  Рис. 1. График изменения спроса на услуги автосервисов на рынке

  
  

• 2.    Прикладной характер свойств функций можно рассмотреть, анализируя различные пословицы и поговорки. Приведем пример, описываемый учителем математики В.В. Гайнатулли-ной: изобразим графиком пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров» (рис. 2).

  Рис. 2. График изменения количества дров по мере продвижения по лесу

  
  
  

• 3.    Далее предлагаем задания, которые можно использовать при изучении показательной функции. На рисунке 3 показано деление простого одноклеточного организма инфузории-туфельки.

  
  
  

• 4.    Дополним описанный выше пример использования дифференцированного подхода как важнейшее направление совершенствования методики обучения функционально-графической линии. Так, в «Статистико-аналитическом отчете о результатах ГИА-9 в 2025 году в Волгоградской области» Г.И. Ковалева, председатель пред-

• метной комиссии по математике, предлагает разбор системы задач на построение графиков функций с учетом разного уровня подготовки учащихся [2].

Это задание может стать основным для описания свойств линейной функции, ее коэффициентов, способов ее преобразования, откроет для многих детей ее экономический смысл.

Здесь ось абсцисс – это лесная дорога, ось ординат – количество дров на данном километре дороги. На графике покажем, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда еще не ступала нога заготовителя [3].

После этого важно поупражняться с построением графиков для различных пословиц и поговорок, предложив учащимся поработать в парах, группой или дома вместе с семьей, обратиться за помощью или консультацией к учителю русского языка и проч. Наконец, сделать вывод, что народная мудрость всегда отражает определенные закономерности и зависимости.

Для учащихся с высоким уровнем подготовки можно предложить такое задание: «Рассмотрите рисунок деления инфузории-туфельки. Используя график, составьте формулу для вычисления количества инфузорий n , которое получается после определенного числа делений d каждой клетки надвое. Определите, какое число инфузорий появится после ее 7-го деления».

Для учащихся с более низким уровнем обученности иное задание: «Схематично изобразите, сколько будет инфузорий после первого, второго, третьего деления, занесите данные в таблицу. Проверьте предложенные формулы функций и отметьте один верный вариант ответа: а) n = 2 + d; б) n = 2d; в) n = d²; г) n = 2^d».

После выполнения задания надо обязательно обсудить полученные решения, открыть с учащимися свойства функции.

На конкретных примерах описывается система заданий по отработке умений строить графики кусочно-заданной функции. В основе системы лежит ключевое задание, где прорабатывается основной алгоритм построения, и вариативные задания на разный уровень подготовки для отработки отдельных свойств функций. Важное требование: базовые алгоритмы должны освоить все учащиеся независимо от уровня обученности. Только после освоения ключевой задачи учащиеся с низким и ниже среднего уровнями обученности выполняют аналогичные задачи (на воспроизведение), в которых меняются буквы, числовые обозначения. Задания на повтор алгоритма можно взять на сайте ФГБНУ «ФИПИ» [1].

А для учащихся с высоким и выше среднего уровнями обученности необходимо давать задания на расширение и углубление материала. Для этого нужно сформулировать задачу на основе ключевой, но она будет задачей-обобщением, или обратной задачей, либо задачей-продолжением на применение знаний в измененных условиях.

В качестве вывода коротко опишем методическую схему обучения любой функции. Ее можно представить в следующем виде:

– сначала предлагаются к рассмотрению конкретные жизненные ситуации или явления в природе, лежащие в основе изучаемой функции; устанавливаются закономерности при решении задач, приводящие к данной функции;

– затем организуем открытие свойств функции, ее сущностных характеристик, предлагаем учащимся для выполнения упражнения на ее распознавание, формулируем вместе с учащимися определение функции и алгебраический способ задания;

– следом учащиеся знакомятся с графиком данной функции и алгоритмом его построения; они выполняют задания по идентификации графиков данной функции от других, учатся устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции;

– далее учащиеся выполняют задания на исследование свойств функции: нахождение области определения, множества значений функции; промежутков возрастания и убывания, промежутков знакопостоянства, нулей функции и т.д.

На системной основе в дальнейшем используем изученные свойства функций при решении уравнений, неравенств и задач.

Эффективный опыт реализации перечисленных методических особенностей обучения функционально-графической линии, характеризующийся четким следованием предлагаемой методике обучения и включающий дифференцированный подход к учащимся в обучении, практико-ориентированный характер освоения свойств функций, указывает на повышение заинтересованности учащихся, улучшение качества усвоения рассмотренной темы и снижение у подростков психологической тревожности, порождаемой ситуациями изучения математики.