Методика численного решения задачи термоупругости для осесимметричного тела из ортогонально армированного композита

В данной работе рассматривается конечноэлементная процедура решения задачи термоупругости для осесимметричных тел на двумерной сетке осесимметричных кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения. Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций в декартовой системе координат определяется тензором модулей упругости, который имеет три независимые упругие постоянные (например, модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G ), и коэффициентом линейного температурного расширения (КЛТР) а. В матричном виде эта зависимость запишется следующим образом:

o = D-(e -е_т) ,                                 (1)

I Де О — |О х, О у , О 2 , Т  , Т , Т ху J i ~ х Т у Л- z, Y yz > Y xz > V ху j ’ s т= (a-T,a T, a Т, 0 , 0 , о}Т;                    (2)

Содержащиеся в матрице D упругие модули определяются через технические упругие постоянные:

Е (1 — у ) ______ Е-у

" (l + v)(l-2v) ’    ~ (l + v)-(l-2v) ’

Матрица D имеет вид

А Л Л  О  ОО

Л А Л  О  ОО

Л Л А  О  ОО

°О  О  О  G  ОО '

О  О  О  О  GО

О  О  О  О  ОG

В цилиндрических координатах соотношения между физическими компонентами тензоров напряжений и деформаций могут быть получены из (1) поворотом системы координат на угол ф относительно оси 2 с использованием формул преобразования компонент ортотропного тензора модулей упругости [3] :

s=(d_o + Вф^е-е _г) ,                           (3)

где a = {or,o

Yra, Y ГФ ) ,                 (4)

ет определяется из (2), а матрица упругих постоянных представлена в виде двух слагаемых, одно из которых ( Do ) не зависит от угла ф :

А Л Л-t- А А-А Л Л л А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Л + А А Do- 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G + Д соз(4ф) - cos(4

- С08(4ф) 0 0 0 - 2 siы(4<р) cos(4

О   ООО О

О ООО О

О    ООО О О

-2з1п(4ф) 2з1п(4ф) ООО - соз(4ф)

1                       \

Здесь А = — (А - Л - 2G) . Как легко видно, А = 0 для изотропного композита.

Следуя [4], будем разыскивать компоненты вектора перемещений ^ur,u^,uzj в виде рядов по окружной координате ф, учитывая осевую симметрию термосиловой нагрузки и симметрию рассматриваемого материала в отношении осей х и у :

ur = uro + Zum со$(4пф), иф = УХ„ 'Ып^пф);

п=1                           п=1

u. =uz0+^uzn-cos(4nV) .

П=1

Для кольцевого конечного элемента с треугольным поперечным сечением и узлами с номерами i, j, к вектор un = jum,uvi,uzn ? ,n = 0, 1,2,..

выражается через вектор узловых переменных ^п и соответствующую матрицу формы, линейно зависящую от координат г, z.

Деформации для центра тяжести поперечного сечения конечного элемента определяются следующим образом:

е(гс,Ф, zJ^Bg-Sg+^Z^B.-S,. n=l

Диагональная матрица Zn имеет вид

сок(4ф) 0        0 0     cos(4(p)     0 ,         0         0     соз(4ф) 11 ”     0          0          0	0        0        0   ' 0       0       2 ООО з!п(4ф)     0        0
ООО	0 сов(4ф)     0
ООО	0       0 зт(4ф)

Матрица В„ = [Bni, В^^В,^]; соответствующие матрицы записываются как

	cq ■ 3rc	2S	0	0      bq • 3rc	-4n-2S
ПТ ... 1 ”пч - 6rcS ■	0	4n • 28	0	bq3re    0	cq ■ 3rc - 28
	0	0	bq ■ 3rc	- 4n • 28 cq ■ 3rc	0
(q = i,j,k)

Здесь S - площадь поперечного сечения треугольного конечного элемента, с; = zk - Zj, bj = rj - rk ; выражения для Cj,ck,b,, bk получаются циклической переста новкой индексов.

Систему уравнений для нахождения узловых переменных получим, применяя принцип возможных перемещений для кольцевого конечного элемента. Она выглядит следующим образом:

к00 ■ 5 о 4 к01 • 6 ] = f0T + f0 + g0; (7) кю • 5 0 + к^ ■ 6 ] + к|2 • б 2 = fIT + g,; (8) k2i • 8 , + к22 • 5 2 + к23 ■ б з = g2; (9)

^i.i-i ' б ■ б j + ки₊1 • б _|+] = g|. (10)

Отметим, что в отличие от случая неосесимметричной деформации изотропного тела вращения [4], системы уравнений для различных гармоник оказываются связан- ними. Вектор f0 в правой части уравнений (7) обусловлен приложенной осесимметричной нагрузкой от механического давления, вектора g0,g;,. . . , gt - реакциями соседних конечных элементов, вектора f0T и f1T-осесимметричной температурной нагрузкой:

f0T = rcS Bq • Do ет ; f,,= r.S ДБ,’-1^-ет(И)

Матрицы в уравнениях (7) - (10) представляются следующим образом:

k„ = rcS В,1' ■ О0 ■ В, ;(12)

к01 = rc S уВ J-1] ■ Bj; к10=2к011,(13)

ku+i=rcS| В^Ап к^к^; 1=1,2,...(14)

В приведенных выше выражениях (13) и (14) присутствуют матрицы 1ли 12, полученные как результат интегрирования по окружной координате следующих матричных произведений:

		" 1 -1 0 0 0-	2
		-110002
2к		0   0 0 0 0 0
I,                йф
i     Л Д J <Р      1     Г 0		0   0 0 0 0 0
		0   0 0 0 0 (
		0   0 0 0 0 0
		-1 0 0 0 -2'
	-	1    1   0 0 0 2
2к •         2 Г г	с	0 0 0 0 0
^2 "    J ^1 " ®<р " ^hl ^Ф ” 0	(	0 0 0 0 0		= 1,2,
	(	0 0 0 0 0
	2	-2 0 0 0 - 1

Проводя обычную для МКЭ процедуру построения глобальных систем уравнений, используя уравнения для конечного элемента (7) - (10), получим следующую цепочку систем уравнений:

Kqo • А 0 + Ко, • Aj = F0T + Fo;

К10 • А 0 + Kn • А, + К12 • Д2 = F1T;

К21-А,+К22-А2+К23-А3 =0;(17)

^1,1 1' ^i-i + ^н ' ^i + ^1,1+1" ^i+i ~   .

В системах уравнений (15) - (18) глобальные матрицы жесткости Klm построены из соответствующих матриц жесткости конечных элементов klm, глобальный вектор Fo в правой части уравнений (15) обусловлен приложенной осесимметричной нагрузкой от механического давления, вектора F0T и Frr в (15) и (16) - осесимметричной температурной нагрузкой.

Цепочку систем уравнений (15) - (18) предлагается решать с помощью последовательных приближений. Ограничиваясь гармониками с номером 1, для первого приближения будем иметь:

Коо ' ^о = ^от + 1*о ’(19)

К||.Ар! = Егг-К10.А<1,;(20)

K^A^-K^A;0;(21)

К в А'0 ^Ki^-A!1-’(22)

Последующие приближения вычисляются из решения следующих систем урав нений (т=1,2, 3 . . .):

Куо'^о ' = Цт + ^о “ К0) ■ А,(23)

Кп-АГ” -Ffr-K^.A^’-K^.A’"1’;

К22 ■ А’ш+,) = -К2| ■ А<|тН) - К23 ■ А*”1*,(25)

Кц А|(26)

Данная работа выполнена при поддержке грантом № 96-10-1.1-20 по фундаментальным исследованиям в области транспортных наук и грантом по фундаментальным исследованиям в области авиационной и ракетно-космической техники Министерства общего и профессионального образования РФ.