Методика дискретного управления электродвигателем постоянного тока

Введение. Электродвигатели постоянного тока являются непрерывными объектами. В то же время для реализации управления всё большее применение находят средства, использующие представление информации в дискретной форме. Причём управление должно строиться с учётом нелинейных свойств объектов управления и реальных ограничений на фазовые координаты и управляющее воздействие.

Для решения задач оптимального управления большое распространение получили методы, опирающиеся на использовании минимизируемых функционалов. Существующие методы синтеза можно разделить на две группы: методы, использующие косвенные критерии качества, и методы, использующие прямые критерии качества.

К методам синтеза оптимальных систем управления с использованием косвенных критериев качества относятся принцип максимума Понтрягина [1] и принцип оптимальности Беллмана [2]. Эти принципы являются мощными математически обоснованными способами решения оптимизационных задач в отношении минимизации выбранного критерия качества. Синтез систем управления с помощью принципа максимума Понтрягина сводится к решению двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений [1]. Получение аналитического выражения для оптимального управления в замкнутой форме связано с большими трудностями и представляет собой самостоятельную задачу для каждого класса объектов [3]. Трудности решения двухточечных краевых задач стимулировали поиск разного рода прямых методов [4-6].

В данной статье предлагается методика сведения задачи нахождения управляющего воздействия для нелинейной системы управления к решению системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге квантования по времени. При этом требуется обеспечить отсутствие перерегулирования, колебательности и учесть ограничения на фазовые координаты и управляющее воздействие.

Для задания желаемых свойств переходного процесса предлагается использовать квадратичный критерий качества, характеризующий отклонение переходного процесса от эталонного в равноотстоящие моменты времени.

Математическая модель объекта управления. При упрощённом исследовании электродвигателей постоянного тока с использованием линеаризованных математических моделей обычно принимают следующие допущения: гистерезис в магнитной цепи отсутствует, то есть намагничи-

Работа выполнена по теме № 01201259781 в рамках выполнения Госзадания Минобрнауки России в части НИР.

вающая сила однозначно определяет магнитный поток; размагничивающее действие реакции скомпенсировано; сопротивление и индуктивность якоря не зависят от значения тока возбуждения, тока якорной цепи и других факторов и считаются неизменными; к валу двигателя со стороны машины приложен электромагнитный момент М, а все моменты, обусловленные механическими потерями, входят в момент сопротивления нагрузки М_с = M_c(t, а, со); момент инерции привода не зависит от параметров его движения; управление осуществляется по одному каналу.

Таким образом, электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением описывается системой дифференциальных уравнений следующего вида:

da

—— = CD, dt

dm k_m   k_mk    1

dt  JR    JR    J где R — сопротивление якорной цепи; а — угол поворота вала двигателя; со — угловая скорость вала двигателя; Мс(со) — момент сопротивления на валу двигателя; J — момент инерции, приведённый к валу двигателя; km, km — параметры, характеризующие электромеханические свойства электродвигателя; и — напряжение в цепи якоря.

Без потери общности момент нагрузки на валу двигателя будем считать равным

MC(J) = С • to , где с — некоторый коэффициент. В случае нелинейного момента на линеаризацию на каждом шаге квантования.

Система уравнений, описывающая электродвигатель является представлена в матрично-векторном виде [7]:

x(t) = Ax(t) + Bu(t),

валу можно осуществить

линейной и может быть

О

где х^ =

со

— вектор-столбец состояния электродвигателя; А =

матрица параметров системы; В =

О

А

JR,

О

JR

R

— постоянная

— постоянный вектор-столбец параметров системы;

u(t) — управляющее воздействие.

Методика управления. Дискретные модели объектов строятся в предположении, что управляющие воздействия, формируемые в ЭВМ в виде цифровых кодов, преобразуются в непрерывные процессы с помощью экстраполяторов нулевого порядка. На практике в качестве экстраполя-торов нулевого порядка используются цифроаналоговые преобразователи [6].

Рассмотрим задачу перевода системы из начального состояния в нулевое. На управление и вектор состояния наложены ограничения [8]:

Ain О(П < Umax , xmm

• (3)

• (4)

На каждом k-м интервале дискретизации по времени объект управления (2) будет описываться уравнением [9]:

х_к ^ = Ах_к ^ + Ви_к, а решение этого уравнения в моменты дискретизации описывается линейными разностными матричными уравнениями вида:

xM=eMxtW)uk kT+T где Р(Т) = J" eA<-kT+T~^Bdi; Т — период дискретизации кТ

Для решения задачи перевода вала из начального состояния х₀ = {а(0) = а_о;ю(О) = ю₀} в конечное х„_пн =ta(t_H )= а ■ ® 1 с минимальными потерями энергии в якоре, эталонный переходный процесс будем выбирать на основе известной процедуры построения оптимальной диаграммы тока и скорости, так чтобы переходный процесс заканчивался за 4 шага дискретизации по времени (период дискретизации Тпримем равным 0,013 с).

Определим последовательность uk таким образом, чтобы минимизировать сумму квадра тов отклонений от эталонного переходного процесса в моменты квантования. Тогда критерий ка чества представляется в виде:

IX Л min, k=0

где 6_k = x_k -x_k — вектор ошибки размерности 2 в моменты дискретизации; х_к — вектор состояния эталонного переходного процесса размерности 2 в моменты времени кТ.

Тогда задача синтеза как задача о наименьших квадратах с линейными ограничениями-неравенствами формулируется следующим образом [10]: минимизировать

Г<М1                        (5)

при условии

GU>h,                           (6)

где Е, f, G, h, U— соответственно /?х m-матрица, /т-вектор, I х m -матрица, /-вектор, лт-вектор.

Для сформулированной задачи необходимо минимизировать:

I * 1^ I * I X Х+1 “ ^Хк+1 ' к+1 “ **+1 к-0

с учётом ограничений (3) и (4).

Поскольку переходный процесс заканчивается за 4 шага, выражение (7) примет вид:

-> min.

Метод наименьших квадратов для решения задачи

менное нахождение всех неизвестных с помощью решения

оптимизации предполагает одновре-одной системы линейных уравнений

[10]. Поэтому при нахождении u^i = 0,3) необходимо в вектор неизвестных (/включить все

UjU = G,$.

Введём вектор неизвестных U = lu₀,u_vu₂,u₃Y.

Определение такого вектора неизвестных позволяет построить программное управление. С целью построения замкнутой системы управления после нахождения вектора неизвестных на первом шаге дискретизации на вход подаётся управляющее воздействие, сформированное с помощью системы базисных функций и вектора и₀. Векторы u_lzu₂,u₃ не участвуют в формировании управляющего воздействия. Однако вектор и₃ используется для определения действия ограничений на управляющее воздействие на шаге дискретизации 4.

Нахождение управляющего воздействия для второго шага дискретизации по времени происходит путём решения системы уравнений с ограничениями после измерения состояния на

"i первом шаге. В этом случае вектор неизвестных равен U =

Для формирования управления

на втором шаге используется вектор и1.

Следовательно, включение в вектор неизвестных управлений на всём периоде действия ограничений позволяет синтезировать оптимальную систему управления путём решения последовательности линейных алгебраических уравнений.

Предлагаемый способ учёта ограничений позволяет гарантировать их жёсткое соблюдение в отличие от использования штрафных функций.

Формирование матриц для решения задачи управления. Сформируем матрицу Е и вектор f, входящие в матричное выражение (5). Для этого найдём выражение для вектора состояния системы и эталонного вектора состояния в моменты времени КТ + Т, где к = 0,3.

Для каждого /с-го шага (к = 1,4) вычислим значения эталонного переходного процесса по формуле у _ ^кп у лк ~с л0

Переходный процесс в системе определяется выражениями

'хм = еАТх( +P(T)ui, х,_2 = еАТ xul + py^u^ = егАТX; + еАТРУ') • и, + P(DuKV xj+3 = eATxi+2 + Р(Г)у/+2 = e^Xj + е2АТР(Г)и/ + еАТР(Г) • ui+1 + P(T)uit2, xM = eATxi+3 + P(T^u,+3 = еААТх, + еЗАТР(Г)и, + e2ATP^Uj^ + e^P^ • u/+2 + Р(Г)у,+3

Согласно методу обратной задачи динамики [4, 11] подставим выражение (8) для

х*_к+1 (к = 0, 3) в левую часть системы уравнений (9) вместо х_к+1, получим

Р^Т)         0          00

еАТ .Р(Т)     Р(Т)        00

е2^ . р(т)  еАТ ■ Р(Г)    Р(Т)0

еЗАТ Р^ е2АТ Р(Т) еАТ Р(Г) Р(Г)

Матрица Е имеет размерность 8x4, а вектор f — размерность 8.

Сформируем матрицу G и вектор h. Запишем ограничения (3) и (4) на управление и век тор состояния в виде

“к > Vmin,

-ик > "Umax,

у > У лк+1 - ^min'

_у > _ У . Ак*\- А max для всех к = 0,3.

Подставив выражения (9) для х_к+1 в систему неравенств (10), получим

'о

о

ч

(И)

-e^ATx₀-P(JX^-X_max, e^2ATx₀+e^ATP(JX+Pmm, -е^2АТх₀ -е^АТР(ТХ-Р(ГХ^-Х_тах, е^ЗАТх_{0 +}е^2АТРУХ +e^ATP^u_i+P^uxX_mm. -е^ЗАТх₀ -e^2AWX -e^AWX-PUX -^ах, е^4АТх₀ +е^ЗАГР(ТХ +е^2АГР(ТХ +е^АГР(ТХ + Р(^Х ^п, __е4^_о_е^ЗАТР(ТХ -e^2ATP(JX -е^АТР(ГХ-Р<Т^₃>-Х_тах.

Представляя неравенства (11) в матричном виде, получаем выражения для матрицы G размерности 16 х 4 и вектора h размерности 16:

G =

"   1        0        0      0"
-10   0  0		"^max
0   10  0
0-100		"^max
0   0   10
0  0-10		-Umax
0           0           0         1		uZ
0          0          0       -1		"^max
р(П   о   оо	h =	Y _ aAT у Amin c л0
-Р(Г)       0         0       0		— Y -I-     y лтах c л0
еАТРУ^    Р(Т)       0       0		Amin c л0
-еАТР(Л -Р(Т)      0       0		_ Y _i_ p2-AT у Amax c л0
e2ATP(T) eATPU^    Pd)     0		Y       v Лт1п “ “ Л/
-e2"?^ -eATP{T) -P(T)    0		_ y -I-      y лтах      л0
e2ATP(J^ e2ATP{T) eAT P(T)   P(J)		%min - e4/,rxz
-e^P^T) -e2ATP(J) -еАТР(Л -Р<Л		_ Y   _i_ p^AT у _ Amax^c л0_

Результаты моделирования. Синтезируем систему управления электродвигателем постоянного тока ДПМ-25. На рис. 1 приведены графики переходного процесса в системе управления, эталон- ного переходного процесса и

их производных, полученные при равенстве матриц

^1 = ^2 = ^3 =

И

«а =

1000 0

. Выбор матрицы R на 4-м шаге со значительно большим

первым диагональным

элементом

объясняется желанием обеспечить на последнем шаге мини

мально возможное отклонение положения от эталонного

Переходный процесс получен путём численного решения системы дифференциальных уравнений — (1), описывающих исследуемую систему с учётом электрической цепи якоря, с шагом равным Т/8. При синтезе учитывались ограничения на величину управляющего воздействия (напряжение на якоре) вида -1 < t/(f) <1 и величину скорости вала двигателя вида -1 < m(f) <1. Для того чтобы гарантировать отсутствие перерегулирования вала двигателя, наложены ограничения «(f) > 0.

Заключение. На примере синтеза управления электродвигателем постоянного тока показано, что благодаря заданию желаемых свойств в виде эталонного переходного процесса и квадратичному критерию качества, характеризующего отклонение переходного процесса от эталонного, нахождение управления сводится к решению системы линейных уравнений с линейными ограничениями-неравенствами в реальном масштабе времени.